ヘロンの公式で外接球半径

Excel 多面体 諸量

ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を以前 お伝えしたことがあります。
ブラーマグプタの公式 の扱う対象は
ブレートシュナイダーの公式 ( Bretschneider’s formula )と違って
四角形の全てのかどが円に接しているという条件があります。
プラトン多面体や アルキメデス多面体での計算では それで充分でした。

でも なじみが無いのも事実で
ヘロンの公式 ( Heron’s formula ) と対比してみました、
どちらの公式も 面積計算として説明されていることがほとんどですが
ここでは 多角形のかどから面の中心までの 距離の計算に用いています。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。

41 行目から 58 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。

a b c d e 頂芯寸別解
18 [4,6,10] 4 6 10 0 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))
多角形 角数 開き寸 ( 稜寸 = 1 として )
a =B2 =COS((PI()/B5))*2
b =C2 =COS((PI()/B6))*2
c =D2 =COS((PI()/B7))*2
d =E2 =IF(B8=0,0,COS((PI()/B8))*2)
e =F2 =IF(B9=0,0,COS((PI()/B9))*2)
ヘロンの解法 プラームグプタの解法
s=(a+b+c)/2 s=(a+b+c+d)/2
=SUM(D5:D7)/2 =SUM(D5:D8)/2
s-a s-b s-a s-b s-c s-d
=A14-D5 =A14-D6 =D14-D5 =D14-D6 =D14-D7 =D14-D8
s-c
=A14-D7 ac+bd ad+bc ab+cd
=D5*D7+D6*D8 =D5*D8+D6*D7 =D5*D6+D7*D8
u=a*b*c U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) √U
=D5*D6*D7 =D20*E20*F20 =SQRT(D23)
D=s(s-a)(s-b)(s-c) D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
=A14*A17*B17*B19 =D17*E17*F17*G17
S=√D S=√D
=SQRT(A26) =SQRT(D26)
R=1/4*u/S R=1/4*√U/S
=1/4*D5*D6*D7/A29 =1/4*SQRT(D23)/D29
h=√(1-R^2) H=1/2/h h=√(1-R^2) H=1/2/h
=SQRT(1-A32^2) =1/2/A35 =SQRT(1-D32^2) =1/2/D35
角錐高 頂芯寸 角錐高 頂芯寸
=IF(B8=0,A35,"計算不可") =IF(B8=0,B35,"計算不可") =IF(B9=0,D35,"計算不可") =IF(B9=0,E35,"計算不可")
a b c d e 頂芯寸別解
01 [3,3,3] 3 3 3 0 =SQRT(3/2)/2
02 [3,3,3,3] 3 3 3 3 =1/SQRT(2)
03 [4,4,4] 4 4 4 0 =SQRT(3)/2
04 [3,3,3,3,3] 3 3 3 3 3 =COS(PI()/10)
05 [3,4,3,4] 3 4 3 4 1
06 [3,6,6] 3 6 6 0 =SQRT(11/2)/2
07 [3,3,3,3,4] 3 3 3 3 4 =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3)))))
08 [3,4,4,4] 3 4 4 4 =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2)
09 [5,5,5] 5 5 5 0 =COS(PI()/5)*SQRT(3)
10 [4,6,6] 4 6 6 0 =SQRT(5/2)
11 [3,5,3,5] 3 5 3 5 =SQRT(1/2*(3+SQRT(5)))
12 [3,8,8] 3 8 8 0 =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2))
13 [3,3,3,3,5] 3 3 3 3 5 =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))
14 [3,4,5,4] 3 4 5 4 =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5)))
15 [4,6,8] 4 6 8 0 =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2))
16 [5,6,6] 5 6 6 0 =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5)))
17 [3,10,10] 3 10 10 0 =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5)))
18 [4,6,10] 4 6 10 0 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))

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