アルキメデスの円周率計算

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普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見たいと思って 最近のブログを書いています。
今回はアルキメデス (287 BC? – 212 BC?) の円周率の計算法についてです。

アルキメデスは 直径が 1 となる円に対し
かどが円に内から接する正六角形の周の寸法と
辺 が円に外から接する正六角形の周の寸法との中間の値が
円周率だとして多角形の周の寸法を求めています。

円に接する多角形の角数を多くすればするほど
かどが接する多角形と 辺が接する多角形との
周の寸法の差が 縮まり円周率に近づくということです。

彼は 六角形の周の寸法をもとに その倍の12角形を計算し
その倍の24角形を計算しそして 48角形 96角形と行ったそうです。
そして 3+10/71 < 円周率 < 3+1/7 の結果になったとのことです。
つまり 3.14084507042254 < 円周率 < 3.14285714285714 です。

当時の記数法で どのように計算したかは あまり判っていないようです。

現代風に計算すると以下のようになります。 



     角数 内 周寸 an  外 周寸 An     差 


 1  6×1= 6a1 = 3            A1= 2×√3                A1-a1 


 2  6×2=12a2 = √( a1×A2 )  A2= 2×a1×A1 / ( a1+A1 ) A2-a2 


 3 12×2=24a3 = √( a2×A3 )  A3= 2×a2×A2 / ( a2+A2 ) A3-a3 


 4 24×2=48a4 = √( a3×A4 )  A4= 2×a3×A3 / ( a3+A3 ) A4-a4 


 5 48×2=96a5 = √( a4×A5 )  A5= 2×a4×A4 / ( a4+A4 ) A5-a5
計算結果です。


      角数 内側 n角形の周寸 外側 n角形の周寸          差        


         6 3                3.46410161513775 0.464101615137755  


        12 3.10582854123025 3.21539030917347 0.109561767943223  


        24 3.13262861328124 3.1596599420975  0.027031328816262  


        48 3.13935020304687 3.14608621513143 0.006736012084568  


        96 3.14103195089051 3.14271459964537 0.001682648754859
以下は Excel 用のデータです。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。

貼り付けのオプションは
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。

B 列 から D 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 3 行目から D 列 3 行目までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
27 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

この範囲での計算になると 小数点以下 14 桁まで正確な計算ができます。

A 列 2 行目の 6 は変更可能で 初期の角数を変えて計算できます。


 n角数  内側 n角形の周寸  外側 n角形の周寸   差   


 6     =SIN(PI()/A2)*A2  =TAN(PI()/A2)*A2  =C2-B2 


 =A2*2 =SQRT(B2*C3)      =2*B2*C2/(B2+C2)  =C3-B3

2017年3月4日

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