多面体

04[3,3,3,3,3]

外接球半径 2

04[3,3,3,3,3] 07[3,3,3,3,4] 13[3,3,3,3,5] Excel 多面体諸量

かなりオタクな計算遊びのつづきです。

前回 [ 3,3,3,3,5 ] の外接球半径の計算式を Wolfram Alpha 計算知能で求めました。
今回その入力の値を (PI/2-PI/5) から (PI/2-PI/4) に変え
[ 3,3,3,3,4 ] の値として

(ASIN(1/2/(1-0.5^2/X^2)^(1/2)))*8+(ASIN(SIN((PI/2-PI/4))*2/2/(1-0.5^2/X^2)^(1/2)))*2=2*PI
と入力し Wolfram Alpha →　
計算式が表示されました。

Excel や Wolfram の入力用に変換した式は以下です。

1/(4*SQRT(6/(80+(101888-1536*SQRT(33))^(1/3)+8*(199+3*SQRT(33))^(1/3))))
Wolfram Alpha →

私が以前ご報告した計算式は
SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) でした。

同様に [ 3,3,3,3,3 ] の値として
その入力の値を (PI/2-PI/4) から (PI/2-PI/3) に変えるとか

すべて三角形なので
ASIN(1/2/(1-0.5^2/X^2)^(1/2)))*2*5=2*PI にすると

1/2*SQRT(5/2+SQRT(5)/2) が返えってきました。
以前報告の計算式は
1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5)))　でした。

三種類それぞれ計算式は異なっていても計算数値は全てどれもイコールでした。

もうオタクな計算遊びはやめにして
次回のブログはダイヤモンド結晶模型について載せようかと思っています。

2021年6月6日

正多面体 Platonic solid 2

01[3,3,3] 02[3,3,3,3] 03[4,4,4] 04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体諸量

2×10 の板棒で作った正多面体です。
画像手前の多面体はこれからお伝えしようとしている立体です。
左から 01[ 3,3,3 ] , 02[ 3,3,3,3 ] , 03[ 4,4,4 ] です。
後方左は 09[5,5,5] そして 04[3,3,3,3,3]。

諸量を表示しておきます (稜寸は 1 として)。

     面積     体積     基本数   頂芯寸   稜芯寸   面芯寸   仰角   片接合角   二面角
01  1.73205  .117851  .577350  .612372  .353553  .204124  54.7356  60.0000  70.5288
02  3.46410  .471405  .707107  .707107  .500000  .408248  45.0000  45.0000  109.471
03  6.00000  1.00000  .816497  .866025  .707107  .500000  35.2644  60.0000  90.0000
04  8.66025  2.18169  .850651  .951057  .809017  .755761  31.7175  36.0000  138.190
09  20.6457  7.66312  .934172  1.40126  1.30902  1.11352  20.9052  60.0000  116.565


作り方については 現在 資料作成中です。

画像下側左右は複合多面体です。

2016年2月24日

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] 再掲2

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体製作道具

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] の前回作品の改良版です。
画像下右がそれで接合部分に空洞がないのがお判りでしょうか。
寸法の補正はせず 30mm と 49mm の部材で作っています。

二種類の台形状の部材の作り方は同じで加工作業を一つ追加しました。
その作業に必要な治具が下の二つです。
稜線の集合している多面体の頂の部分に部材が届くように
接合部分を尖らせる加工を施すものです。

このブログでお伝えしている
角材でつくる多面体の クレィドル cradle と言っている治具と同じ機能です。

下左は稜部品が 5本均等に一点に集まるように 360/5 となる 36 × 2 の角度に整形します。
36° の角度に加工した6mm 厚のファルカタ材二つで作っています。

加工部分を垂直にするために仰角の 31.72° と同じ傾斜角度になっています。
部材と同じ 2mm 厚の板棒で傾きと添え板をつくっています。

もう一つの治具は同じように 360/3 となる 60 × 2 の角度の開き角と
20.91° の仰角になっています。

2016年2月7日

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] 再掲

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体製作道具諸量

今回は [5,5,5] と [3,3,3,3,3] を複合させた立体についてお伝えします。
この複合多面体はバルサ材の棒での製作説明でも既にお伝えしています。

下画像右上がそれです。
大きさはその左側の二つと比べると少し大きめです。

[5,5,5] に対応する稜の寸法は約 30mm で
前回まで説明している [5,5,5] と同じ寸法ですが
稜芯寸 × 2 が高さになるため少し大きくなっています。

本来多角形の組み合わせでてきる多面体の面と面の接する部分(稜線) は線ですが
ここでは幅のある線を用いるため
線と線とが交わる点(頂) は仮想空間上に存在します。
一点に集まる稜線の幅を一辺とする多角錐の頂点ともみなせます。

そのため幅のある線の端から頂までの距離は多面体の形状によって異なります。
複合多面体模型の幅のある稜線を作る部材の寸法には補正が必要ということです。

補正する前の計算としては
[5,5,5] の稜寸 30mm に対し [3,3,3,3,3] のは約 49mm です。

補正の計算では
[5,5,5] の 30mm を稜線の厚み分の丁度 2mm をたした 32mm と
[3,3,3,3,3] は約 49mm のそのままとなりました。

しかし実際に製作してみると 30mm と 48mm の値でうまくいったようです。
下画像がそれです。

全体の寸法のわりに稜の幅が大きく接着剤の厚みや部材の加工誤差等々
理由は補正値の計算間違えの可能性も含めて色々と考えられます。

部材の加工について説明します。

[5,5,5] の部材は 30mm から板棒の厚み 2mm を引いた 28mm の半分にし
片側が約69.1 度もう一方が直角の台形に整形し60個つくります。

[3,3,3,3,3] は 48mm の左右約 58.3 度の角度をもつ台形にし 30個。

二種類の部材を十字状のユニットに木工用ボンドで 30 組作り
合成ゴム系ボンドで組み立てれば完成です。

上画像の四角い板でできた治具を台にして十字状に加工します。
既に作った十字状ユニットを板に貼ってあるだけです。

長い部材を短い二つの材で挟むように台の上で合わせます。
しばらくすると長いほうの部材を持って上にあげても
形を維持しながらもちあがります。

慣れてくればスムーズな作業ができます。
十字状ユニットをまとめて電子レンジで乾燥させ
(安全に対してはそれぞれの方の責任にてお願いします)
あとは合成ゴム系ボンドで接着すれば意外と早く完成します。

以前は製作説明を 10 × 10 のバルサ材の棒で主にしていたので
作品の数が増えて収納に困難をきたしました。

そのためバルサ材の棒で作った作品はフリーマーケットに出店し処分しました。
[5,5,5]+[3,3,3,3,3] の多面体も含めてです。

後で少し後悔です。プロトタイプの一点ものでした。

2016年1月24日

[3,3,3,3,3] Platonic solid 再掲

04[3,3,3,3,3] ポーカーの確率多面体製作道具

[3,3,3,3,3] 正二十面体 Icosahedron の板棒での製作についてお伝えします。
前回までの [5,5,5] の説明を理解されているものとして説明します。

[5,5,5] と同じ大きさにしようとしています。
[5,5,5] の稜寸は 30mm でしたので
面芯寸 1.11 × 30 × 2 で高さは約 67mm てした。

[3,3,3,3,3] の面芯寸は稜寸 1 に対して約 0.756 なので
[3,3,3,3,3] の稜寸は 67 / 2 / 0.756 で約 44mm となります。

治具の加工角度は 90 – 31.72 で約 58.28 度です。
直角を挟む二辺の比としては 233/144 もしくは 288/178 が近似値です。
下画像中ほどがその治具と完成品です。

部材と部材の接合部分は正五角形の筒状の空洞ができるようにします。
あとは正三角形に正三角形を次々と付けてゆくだけです。

三十枚の部材全部の両端に合成ゴム系接着剤を塗布し
最初に塗った部材から順次接着してゆけばあっけなく完成です。

画像右に電卓が二つ写っています。
上が Casio FX-915 で三十年ほど前に買ったものです。
ソーラーバッテリーを電源とし今も正常ですが
薄型のため入力操作に円滑さは不足しています。
ポーガーの確率計算で組み合わせの数 52 C の 5 で
2598960 の値が簡単に出てきたのに感激したのを覚えています。

下は現在活用している Canon F-502G です。
今最もリーズナブルに購入できる関数電卓の一つです。

2016年1月18日

多面体諸量　個別表示　04[3,3,3,3,3]　09[5,5,5] Platonic solid

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体

04[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
09[5,5,5] Dodecahedron 正12面体とその複合多面体 compounds の諸量をお伝えします。

04　[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
04　1.0000000000000000000　[3,3,3,3,3]稜寸
04　.85065080835203993218　[3,3,3,3,3]基本数
04　31.717474411461005324　[3,3,3,3,3]仰角( 144/233 )
04　.95105651629515357212　[3,3,3,3,3]頂芯寸( 136/143 )
04　.80901699437494742410　[3,3,3,3,3]稜芯寸( 144/178 )
04　36.000000000000000000　[3,3,3,3,3]片接合角( 178/245 )
04　.75576131407617073048　[3,3,3,3,3]面芯寸( 164/217 )
04　8.6602540378443864676　[3,3,3,3,3]面積
04　2.1816949906249123735　[3,3,3,3,3]体積
04　69.094842552110700967　[3,3,3,3,3]片面角( 233/089 )
04　138.18968510422140193　[3,3,3,3,3]ニ面角
04　[3,3,3,3,3] 稜部品必要個数 30

09 [5,5,5] Dodecahedron 正12面体
09　1.0000000000000000000　[5,5,5]稜寸
09　.93417235896271569645　[5,5,5]基本数
09　20.905157447889299033　[5,5,5]仰角( 089/233 )
09　1.4012585384440735447　[5,5,5]頂芯寸( 220/157 )
09　1.3090169943749474241　[5,5,5]稜芯寸( 233/178 )
09　60.000000000000000000　[5,5,5]片接合角( 194/112 )
09　1.1135163644116067352　[5,5,5]面芯寸( 157/141 )
09　20.645728807067603073　[5,5,5]面積
09　7.6631189606246319687　[5,5,5]体積
09　58.282525588538994676　[5,5,5]片面角( 233/144 )
09　116.56505117707798935　[5,5,5]ニ面角
09　[5,5,5] 稜部品必要個数 30

[3,3,3,3,3]+[5,5,5] compounds 複合多面体制作に必要な諸量
.61803398874989484820　[3,3,3,3,3] 0.5稜寸/稜芯寸( 144/233 )
.38196601125010515180　[5,5,5] 0.5稜寸/稜芯寸( 089/233 )
[3,3,3,3,3] 稜部品必要個数 60
[5,5,5] 稜部品必要個数 60

2013年2月14日

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3]

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体組物製作道具

正十二面体と正二十面体との複合多面体 compounds 製作の
基本図面とその部品です。

二つの多面体を複合するには
稜から中芯点までの寸法が同じであることが必要です。
今回寸法を統一して高さを 140mm とします。

部品の結合作業中です。

完成です　この複合多面体は私にとってプロトタイプです。
すす竹では作ろうという元気が起こりませんでした。

次回は四つの三角リングでつくるシィメトリーな組み物をお伝えします。
準正多面体の立法八面体とは兄弟関係にあります。
この組み物はよく目にするのですがどう呼ばれているのか知りません。

2012年6月25日

正二十面体 [3,3,3,3,3] Icosahedron

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] 多面体製作道具

正二十面体製作の基本図面とクレィドルです。

対辺 178 底辺 245 の斜線を上下対称に二本引きます。
両サイド 36度の接合面をつくるクレィドルをこの角度に合せ作成します。

対辺 144 底辺 233 を示す斜線を引きます。
1 対 1.618 の比率を表し稜寸 1 に対し稜線から多面体の中芯点までの寸法の二倍を表示。
そして底辺と斜辺でできる角度はクレィドルの傾き(仰角) 31.717度になります。

もう一本斜線を引きます。
対辺 131 底辺 198 で 1 対 1.512 の比率を表し稜寸 1 に対し面芯寸の二倍を示します。
今回も他の多面体と寸法を合わせるため高さ 140mm と決定すると
その稜寸が底辺 140のところの対辺の実寸として得られます (92.6)。

左のクレィドルで仰角の余角 58.283 で角材を寸法をあわせカットしそして整形。

右のクレィドルは傾き 31.717度の V型溝に 58.283度に面をカットした角材をのせ
面を垂直にして接合面が左右 36度になるように整形します。
この部品をひたすら 30個と少しの予備として作ってゆきます。

今回画面に載せているのこぎりが以前のと違っていますがどれも細密加工用ののこぎりです。

完成しました　これで正多面体の全種類ができました。

2012年6月23日

正十二面体 [5,5,5]　Dodecahedron

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] 多面体製作道具

正十二面体を製作するための基本図面です。
底辺 194 対辺 112 の斜線を左右対称に二本書き接合角左右60度のクレィドル用と
底辺 233 対辺 089 の比を表す斜線を引きます。
これは正十二面体の稜寸を 1 としたとき稜から芯のまでの二倍の寸法をあらわし
それと斜辺と底辺とでできる角度がクレィドルの仰角になっています。

この斜線のうえの斜線は稜寸を 1 としたとき五角形の面を底にしたときの
多面体の高さを表示する比例関係の斜線です ( 1 対 2.227)。
今回 140mmの高さの多面体をつくろうとしていますが
底辺 140としたときの対辺が実寸(62.9)の稜の寸法になります。

製作途中です。

完成です (稜寸 62.9mm 高さ140mm)。