16[5,6,6]

sashimono[5,6,6]の双対多面体 Pentakis Dodecahedron 3

16[5,6,6] 多面体



Pentakis Dodecahedron 五方12面体 がもう少しでできます。
組み立ての 秘訣は 六角形と五角形をまたぐ稜の部品を星型にして 12個作ります。
そして星型と星型とを 六角形と六角形をまたぐ稜部品を間にして 組み合わせて行きます。



接着作業は終わりました。接合面の微調整をし 接着剤のはみ出しを取ります。

右側の Truncated Icosahedron は この Pentakis Dodecahedron と一緒に作っていました。
5×5 のすす竹で 約 70mm の大きさです。

次回は [3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体 と
その双対多面体の Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体 について お伝えします。

sashimono[5,6,6]の双対多面体 Pentakis Dodecahedron 2

16[5,6,6] 多面体 製作道具



[5,6,6]の双対多面体の製作準備をしているところです。
部品製作の方法を伝える場合 双対多面体は 元の多面体の構造を基準として説明します。

この多面体に必要な部品は
六角形と六角形をまたぐ部品と 六角形と五角形をまたぐ部品の二種類です。

六角形と六角形をまたぐ部品は 元の多面体の稜寸を 1とした場合 1.854 の稜寸。
部品の両端は六角形の中心の上に来て 左右それぞれ 30度 の接合角で仰角は 20.91度。
30個必要です。

六角形と五角形をまたぐ部品は 元の多面体の稜寸を 1とした場合 1.645 の稜寸。
片端が 六角形の中心の上に来て 左右それぞれ 30.00度 の接合角で仰角は 20.91度。
もう一つの端は 五角形の中心の上に来て
左右それぞれ 36.00度 の接合角で仰角は 16.47度。60個必要です。

次に稜の寸法の決定についてお伝えします。
完成の多面対の面芯寸を 1 とすると
六角形と六角形をまたぐ部品の稜寸は 0.7800。0.7800 対 1 は 156 対 200です。
六角形と五角形をまたぐ部品の稜寸は 0.6919。0.6919 対 1 は 128 対 185です。
二つの部品の寸法の比例関係を正確にするために 罫線紙から求めます。
六角形と六角形をまたぐ部品の場合は
縦方向に 200 横方向に 156 の点に 座標 0,0 から斜線をプロットします。
六角形と五角形をまたぐ部品の場合は
縦方向に 185 横方向に 128 の点に 座標 0,0 から斜線をプロットします。
完成の多面体の高さを 70mm としていますので 面芯寸を 35mm とします。
縦方向に 35の位置から横方向に向けた直線と斜線の交点から
それぞれの稜寸が 実寸として得られます。
六角形と六角形をまたぐ部品の稜寸は 0.7800×35 で 27.30mm。
六角形と五角形をまたぐ部品の稜寸は 0.6919×35 で 24.22mm のはずです。
この操作を 写真右の用紙で行っています。

写真左の用紙で 六角形の上に来る部品の cradle を作ろうとしています。
左右それぞれ 30度 の接合角で仰角は 20.91度。
30.00度のタンジェントは 112/194。20.91度のタンジェントは 089/233 です。

写真中の用紙で 五角形の上に来る部品の cradle を作ろうとしています。
左右それぞれ 36.00度 の接合角で仰角は 16.47度。
36.00度のタンジェントは 178/245。16.47度のタンジェントは 055/186 です。

sashimono[5,6,6]の双対多面体 Pentakis Dodecahedron 1

16[5,6,6] 多面体

[5,6,6] Truncated Icosahedron 切頂20面体 (サッカーボール)の
双対多面体 Pentakis Dodecahedron 五方12面体 についてお伝えします。
すす竹 5×5 で 高さ約70mm の立体模型をつくる予定です。
すでにお伝えしている Truncated Icosahedron 切頂20面体も含めて
諸量を表示します。

16 [5,6,6] Truncated Icosahedron 切頂20面体
16 .97943208548641418658 16[5,6,6]基本数
16 11.640723136770606678 16[5,6,6]仰角( 048/233 )
16 2.4780186590676155376 16[5,6,6]頂芯寸( 223/090 )
16 2.4270509831248422723 16[5,6,6]稜芯寸( 233/096 )
16 62.154680232796997218 16[5,6,6]6 接合角( 248/131 )
16 55.690639534406005565 16[5,6,6]5 接合角( 233/159 )
16 2.2672839422285121914 16[5,6,6]6 面芯寸( 229/101 )
16 2.3274384367663271103 16[5,6,6]5 面芯寸( 135/058 )
16 72.607253034133921879 16[5,6,6]面積
16 55.287730758122739236 16[5,6,6]体積
16 69.094842552110700967 16[5,6,6]6 面角
16 73.527789307239603390 16[5,6,6]5 面角
16 138.18968510422140193 16[5,6,6]6 6 面角
16 142.62263185935030436 16[5,6,6]6 5 面角
16 [5,6,6] 6 6 個数 30, 6 5 個数 60

16 双[5,6,6] Pentakis Dodecahedron 五方12面体
16 156.71855372645878664 双[5,6,6]二面角
16 2.3771316059838161118 双[5,6,6]面芯寸( 145/061 )
16 20.905157447889299033 双[5,6,6]6 仰角( 089/233 )
16 16.472210692760396610 双[5,6,6]5 仰角( 055/186 )
16 .92705098312484227231 双[5,6,6]6 稜寸( 178/192 )
16 .71764499555916901903 双[5,6,6]5 稜寸( 122/170 )
16 55.690639534406005565 双[5,6,6]6 かど角
16 68.618720931187988871 双[5,6,6]5 かど角
16 2.5980762113533159403 双[5,6,6]6 頂芯寸( 239/092 )
16 2.5309268686270615215 双[5,6,6]5 頂芯寸( 205/081 )
16 75.565544704433850714 双[5,6,6]面積
16 59.876414880097563514 双[5,6,6]体積
16 30.000000000000000000 双[5,6,6]6 接合角/2( 112/194 )
16 36.000000000000000000 双[5,6,6]5 接合角/2( 178/245 )
16 1.8541019662496845446 双[5,6,6]6 6 稜寸( 178/096 )
16 1.6446959786840112913 双[5,6,6]6 5 稜寸( 250/152 )
16 .77997447073711053264 双[5,6,6]6 6 稜寸/面芯寸( 156/200 )
16 .69188259267762587725 双[5,6,6]6 5 稜寸/面芯寸( 128/185 )
16 双[5,6,6] 6 6 個数 30, 6 5 個数 60

サッカーボール2 [5,6,6] Truncated Icosahedron

16[5,6,6] 多面体



五角形面と六角形面のある部品を お互いの 五角形面を接着し
正五角形を形成する部品を12個 つくり
左右に六角形面のある部品を それぞれに ひとつずつ接着します。
この組み合わせた部品を 三つ接合し
六角形のまわりに五角形が三つあるセットを四つ つくります。



六角形のまわりに五角形が三つあるセットを二つ 左右に六角形面のある部品で 連結しました。
同じように 左右に六角形面のある部品で連結してゆきます。
この結合方法は今回この多面体を作る作業で たまたま思い浮かんだ方法です。
色々な方法が考えられます。



完成です 約 18cm の サッカーボール風多面体です。
接着剤は 接着後の少しの時間は接着部に可塑性が残っている合成ゴム系です。

次回は正八面体について そして正六面体と正八面体との
複合多面体 compounds についてもお伝えしようかなと思っています。

サッカーボール1 [5,6,6] Truncated Icosahedron

16[5,6,6] 多面体 製作道具



サッカーボル風多面体を製作するための 基本図です( 画面クリックで 拡大図が現れます )。

底辺 248 対辺 131 で 左右対称に斜線を引き 中心に縦線をいれます。
上に 角度 11.641 の 斜線 (底辺 233 対辺 48) をいれます。



62.155度でカットした 板二枚をあわせた クレィドルと
左 62.155度 右 55.691度 の板でつくる クレィドル。
それとは逆に 右 62.155度 左 55.691度 の板でつくる クレィドル
を作ろうとしています。
傾斜は 三つのクレィドルすべて 11.641度 です。



11.641度 の余角 78.359度で 両端をカットし 整形します。

62.155度で 削った部品の面は 六角形をつくり 55.691度は 五角形です。
この多面体に必要な部品は
両端とも左右 62.155度で削ったのが 30個。
稜にそって左右それぞれを見ると 片方両端ともが62.155度で
もう一方が 両端とも55.691度 の 部品が 60個 です。
六角形 五角形 の面をもつ部品は 必ず二つのクレィドルで作ってください。
そうでないとその部品は 全体を混乱させる 異物になってしまいます。
線対称ではなく 面対象です。

削った面の角度が 六角形用か 五角形用か 即座に判断がつかないことがあります。
加工後は 速やかに区別をができる しるしをを付けることを お勧めします。
私はホワイトボード用のマークペンを使っています 接着剤の影響を受けにくいようです。

今回の部品の大きさは 10×10の バルサ材で 4cm で作ろうとしています。
この多面体の稜の寸法を 1とし 六角形を底にした場合高さは 4.535cm になります。
ですから 完成品は 18cm ほどの大きさになります。

正六面体 [4,4,4] Hexahedron

03[4,4,4] 16[5,6,6] 多面体 製作道具



レオナルドスタイルでの正六面体(Hexahedron) のつくり方を お伝えします。
画面の中にある クレィドルだけで加工ができます。
角材を 45度斜めに加工できる添え板にあわせ切断 整形するものです。
加工した角材の45度斜めの面を上にして 横側を同じく 45度斜めに整形します。
両端をこのように加工し 12個そろえれば部品は完成です。
この正六面体が きれいに正確に作れるようになると ちょっとした指物師気分です。

正六面体の正方形の中に 斜めに棒がついているのがありますが
その六面体の各面に 棒が斜めにあり 正四面体を形成しています。
さらに その斜めの棒に直角に棒を組み合わせると 前回お伝えした星型八面体になります。
そして 斜めの棒の稜にそって 正六面体を二分すると
この切断面は ダイヤモンド結晶模型製作図面として使った A4 の用紙と相似です (1:√2)。



次回は
サッカーボールでおなじみの 多面体の製作方法を お伝えしようかと思っています。

画面左には 以前作ったすす竹の多面体を載せたかったのですが
事故でばらばらになっていて修復を待っています。

右側は多面体ではなく
炭素結晶のフラーレン fullerene の模型として 作ったものです。