18[4,6,10]
11[3,5,3,5] 18[4,6,10] Excel 多面体 諸量
[3,5,3,5] を板棒で 簡易に作れるエレガントな方法を求めて試作を繰り返しています。
部材と部材の接合部分の形状はどうしようかとか その形状にするための治具や加工方法 そして 組み立て手順は と 気が付けば 以下のような作品群ができてしまいました。
じゃまくさがりや の私にしてはよく頑張ったものです。
最小努力の 最大効果 とか 労少なくして 益多し などの言葉を 頭にうかべながら あれこれとやっているのですが なかなかです。
しかし エレガントではなくても 比較的容易で まずまずと思える作り方が解ってきた気がします。でも どう表現し伝えようか と苦慮しています。すこし 時間をください。
別の話題をもう一つ。
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で解く 外接球半径 ( 頂芯寸 )です。
この公式で作った Excelの計算式は
一つの頂に集まる多角形の数が四つまでの多面体について 解が得られます。
ですから 多角柱 prisms と 反角柱 antiprisms も対象になります。
多角柱 [4,4,n] は 面が三つしかないので 四つ目は 0 ということです。
面が五つある [3,3,3,3,3] [3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] は無理ということですが
[3,3,3,3,3] は 正多面体なので 他の方法でも簡単に求まります。
転記方法は 今までと同じです。
| | a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| | | | | | |
| 多角形 | 角数 | 開き寸 | | | | |
| a | =B2 | =SIN((PI()/2-PI()/B5))*2 | | | U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) | |
| b | =C2 | =SIN((PI()/2-PI()/B6))*2 | | | =B15*C15*D15 | |
| c | =D2 | =SIN((PI()/2-PI()/B7))*2 | | | | |
| d | =E2 | =IF(B8=0,0,SIN((PI()/2-PI()/B8))*2) | | | D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | |
| e | =F2 | | | | =A18*B18*C18*D18 | |
| | | | | | |
| s=(a+b+c+d)/2 | | | | | T=1/4*√U/√D | |
| =SUM(C5:C8)/2 | | | | | =1/4*SQRT(F6)/SQRT(F9) | |
| | | | | | |
| ac+bd | ad+bc | ab+cd | | h=√(1-T^2) | H=1/2/h |
| =C5*C7+C6*C8 | =C5*C8+C6*C7 | =C5*C6+C7*C8 | | =SQRT(1-F12^2) | =1/2/F15 |
| | | | | | |
| s-a | s-b | s-c | s-d | | 角錐高 | 頂芯寸 |
| =A12-C5 | =A12-C6 | =A12-C7 | =A12-C8 | | =IF(B9=0,F15,"計算不可") | =IF(B9=0,G15,"計算不可") |
| | | | | | |
| | | | | | |
| a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 01 [3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 0 | | =SQRT(3/2)/2 |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | | =1/SQRT(2) |
| 03 [4,4,4] | 4 | 4 | 4 | 0 | | =SQRT(3)/2 |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | =COS(PI()/10) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | 3 | 4 | | 1 |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(11/2)/2 |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | 4 | 4 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) |
| 09 [5,5,5] | 5 | 5 | 5 | 0 | | =COS(PI()/5)*SQRT(3) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(5/2) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | 3 | 5 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 4 | | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | 6 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| |
2016年10月27日
18[4,6,10] sphericity
Wikipedia は 色々な言語でも 調べものができる 大変便利なツールです。
多面体 [4,6,10] を Wikipedia の なにか一つの言語で調べると 以下の言語でも
検索できるよう リンクがされています。
ca Icosidodecàedre truncat カタロニア語
de Großes Rhombenikosidodekaeder ドイツ語
el Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο ギリシャ語 **
en Truncated icosidodecahedron 英語
eo Senpintigita dudek-dekduedro エスペラント語
es Icosidodecaedro truncado スペイン語
eu Ikosidodekaedro moztu バスク語
fr Icosidodécaèdre tronqué フランス語
it Icosidodecaedro troncato イタリア語
ja 斜方切頂二十・十二面体 日本語
ko 깎은 십이이십면체 韓国語
nl Afgeknotte icosidodecaëder オランダ語
no Avstumpet ikosidodekaeder ノルウェー語
pt Icosidodecaedro truncado ポルトガル語
th ทรงสามสิบสองหน้าปลายตัด タイ語
zh 大斜方截半二十面体 中国語
計算式や 数値にはまだ いくつかの言語では 混乱がみられます。 (2015年5月15日 現在)
ロシア語への リンクが追加されています。 (2015年8月27日 確認)
ru Ромбоусечённый икосододекаэдр
スロベニア語への リンクが追加されています。 (2017年1月14日 確認)
sl Prisekani ikozidodekaeder
ポーランド語への リンクが追加されています。 (2017年7月31日 確認)
pl Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki
** ギリシャ語版が 英語版と同じ 計算式 数値に変更されました。(2017年 8月 5日)
2015年5月15日
18[4,6,10] sphericity 多面体 諸量
以前 英語版の Wikipedia での表面積計算が 多面体[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron (=Rhombitruncated Icosidodecahedron)
では私の計算と異なると書きましたが
今日 (2015年1月8日) 確認したところ
英語版の Wikipedia で 計算式が変更され 答えが 174.2920303 (稜寸=1として)
になっていました。
私の計算結果と同じになったことに 嬉しく思っています。
2015年1月8日
18[4,6,10] BASIC Excel sphericity 多面体 諸量
前回 英語版の Wikipedia での表面積計算が 多面体[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron (=Rhombitruncated Icosidodecahedron)
では私の計算と異なると書きましたが *注
英語版や他の多くの言語の Wikipediaに載せられた 計算式を
BASICで実行すると以下です。(稜寸=1として)
LET a=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(6)))))
PRINT a
END
答=175.031044595664
ドイツ語版(Großes Rhombenikosidodekaeder)
の式です。(稜寸=1として)
LET b=30*(1+SQR(3)+SQR(5+2*SQR(5)))
PRINT b
END
答=174.292030342324
イタリア語版(Icosidodecaedro troncato)は (稜寸=1として)
LET x=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(5)))))
PRINT x
END
答=174.292030342324
式の最後の 6*SQR(5) が 英語版の 6*SQR(6) と異なっています。
オランダ語版(Afgeknotte icosidodecaëder)や
ポルトガル語版(Icosidodecaedro truncado スペイン語と同じスペル)では
式は英語版と同じなのに
答えの記述は 174,2920 になっています。
少しためらいもありましたが くどくどと書いてしまいました。
*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)
上記 三種類の計算式を Excel で表示すると以下です。
=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(6)))))
=30*(1+SQRT(3)+SQRT(5+2*SQRT(5)))
=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(5)))))
2014年7月25日
18[4,6,10] BASIC sphericity 多面体 諸量
2013年8月11日に多面体の球形度をお伝えしていますが
数値だけで 計算根拠を載せていませんでした。
別々に作ったプログラムでの計算数値を比較して 正確性をチェックしていました。
その時点では 公表されている 資料が手元になく少し不安が残っていました。
先日 英語版の Wikipedia での表面積計算が Truncated icosidodecahedron
斜方切頂20･12面体 [4,6,10] で 175.031045 となっているのを発見しました。 *注
私の計算結果は174.29203034232392088 です。
また やってしまったかと思い 他の言語の Wikipedia も調べると、
ドイツ語版の数式を計算すると 私と同じ結果になりました。すこし安心しました。
不安を一掃するために もう一度計算プログラムを作ってみました。
2013年1月11日に掲載した 計算プログラムで算出した諸量をもとに
表面積計算を追加して求めています。判断を仰ぎます。
OPTION ANGLE DEGREES
OPTION BASE 0
DIM x001(10) ! 多角形の面積
DIM x002(18,6) ! 既知諸量
DIM x003$(18) ! 名称
DIM x004(18,4) ! 頂芯寸 面芯寸
FOR x=1 TO 6
READ m
LET x001(m)=0.5/TAN(180/m)*m*0.5 ! 多角形面積入力
NEXT x
FOR y=1 TO 18
FOR z=1 TO 6
READ x002(y,z) ! 数値入力
NEXT z
READ x003$(y) ! 名称入力
NEXT y
FOR p=1 TO 18
FOR q=1 TO 4
READ x004(p,q)
NEXT q
NEXT p
PRINT "名称",
PRINT " 外接球半径 = R",
PRINT " 表面積 = S ",
PRINT " 体積 = V ",
PRINT " V/(S*R)"
FOR u=1 TO 18
LET f11=x002(u,1)
LET f12=x002(u,2)
LET f13=x002(u,3)
LET f21=x002(u,4)
LET f22=x002(u,5)
LET f23=x002(u,6)
LET g10=x004(u,1)
LET g11=x004(u,2)
LET g12=x004(u,3)
LET g13=x004(u,4)
LET h01=x001(f11)*f21
LET h02=x001(f12)*f22
LET h03=x001(f13)*f23
LET i01=h01*g11
LET i02=h02*g12
LET i03=h03*g13
PRINT x003$(u),
PRINT g10,
PRINT h01+h02+h03,
PRINT (i01+i02+i03)/3,
PRINT (i01+i02+i03)/3 / ( g10 * (h01+h02+h03) )
NEXT u
DATA 3,4,5,6,8,10 ! 多角形の種類
! 角数 総数
DATA 3, 0, 0, 4, 0, 0, "01[3,3,3]"
DATA 3, 6, 0, 4, 4, 0, "06[3,6,6]"
DATA 3, 0, 0, 8, 0, 0, "02[3,3,3,3]"
DATA 4, 0, 0, 6, 0, 0, "03[4,4,4]"
DATA 3, 8, 0, 8, 6, 0, "12[3,8,8]"
DATA 3, 4, 0, 8, 6, 0, "05[3,4,3,4]"
DATA 3, 0, 0, 20, 0, 0, "04[3,3,3,3,3]"
DATA 5, 0, 0, 12, 0, 0, "09[5,5,5]"
DATA 4, 6, 0, 6, 8, 0, "10[4,6,6]"
DATA 3,10, 0, 20,12, 0, "17[3,10.10]"
DATA 3, 4, 0, 8,18, 0, "08[3,4,4,4]"
DATA 3, 5, 0, 20,12, 0, "11[3,5,3,5]"
DATA 4, 6, 8, 12, 8, 6, "15[4,6,8]"
DATA 3, 4, 0, 32, 6, 0, "07[3,3,3,3,4]"
DATA 5, 6, 0, 12,20, 0, "16[5,6,6]"
DATA 4, 6,10, 30,20,12, "18[4,6,10]"
DATA 3, 4, 5, 20,30,12, "14[3,4,5,4]"
DATA 3, 5, 0, 80,12, 0, "13[3,3,3,3,5]"
! 頂芯寸 S面芯寸 M面芯寸 L面芯寸
DATA .612372435695795, .204124145231932, 0 , 0 ! 01
DATA 1.17260393995586, 1.02062072615966, .6123724356958 , 0 ! 06
DATA .707106781186549, .408248290463865, 0 , 0 ! 02
DATA .866025403784443, .500000000000007, 0 , 0 ! 03
DATA 1.77882364566394, 1.68252198471218, 1.20710678118657, 0 ! 12
DATA 1 , .816496580927726, .707106781186547, 0 ! 05
DATA .951056516295157, .755761314076175, 0 , 0 ! 04
DATA 1.40125853844408, 1.11351636441161, 0 , 0 ! 09
DATA 1.58113883008421, 1.41421356237312, 1.22474487139162, 0 ! 10
DATA 2.96944901586351, 2.91278116659653, 2.48989828488292, 0 ! 17
DATA 1.39896632596592, 1.27427369424832, 1.20710678118656, 0 ! 08
DATA 1.6180339887499 , 1.51152262815235, 1.37638192047118, 0 ! 11
DATA 2.3176109128928 , 2.20710678118658, 2.09077027517606, 1.91421356237313 ! 15
DATA 1.34371337374461, 1.2133558000219 , 1.14261350892597, 0 ! 07
DATA 2.47801865906766, 2.32743843676637, 2.26728394222856, 0 ! 16
DATA 3.80239449985143, 3.73606797749993, 3.66854248067273, 3.44095480117809 ! 18
DATA 2.23295050941571, 2.15701985252026, 2.11803398874992, 2.06457288070678 ! 14
DATA 2.15583737511568, 2.07708965974325, 1.98091594728188, 0 ! 13
END
計算結果の諸量は 以下です 有効桁数は 13 ぐらいです。
外接球半径 = R 表面積 = S 体積 = V V/(S*R)
01 .612372435695795 1.73205080756888 .117851130197758 .111111111111111
06 1.17260393995586 12.1243556529822 2.71057599454846 .190656480332432
02 .707106781186549 3.46410161513775 .471404520791033 .192450089729876
03 .866025403784443 6 1.00000000000001 .192450089729877
12 1.77882364566394 32.4346643636149 13.5996632910746 .235714258446495
05 1 9.46410161513775 2.35702260395516 .249048742268904
04 .951056516295157 8.66025403784438 2.18169499062492 .264884824097256
09 1.40125853844408 20.6457288070676 7.66311896062467 .264884824097255
10 1.58113883008421 26.7846096908266 11.313708498985 .26714660435952
17 2.96944901586351 100.990760153102 85.0396645593756 .283572442725136
08 1.39896632596592 21.4641016151378 8.71404520791042 .290201619765406
11 1.6180339887499 29.305982844912 13.8355259362495 .291777461485733
15 2.3176109128928 61.7551724393037 41.798989873224 .292046442752428
07 1.34371337374461 19.856406460551 7.88947739997544 .295692931258246
16 2.47801865906766 72.607253034134 55.2877307581239 .307286999289469
18 3.80239449985143 174.292030342324 206.803398874998 .31204912568704
14 2.23295050941571 59.305982844912 41.6153237824984 .314250279590291
13 2.15583737511568 55.2867449584451 37.6166499627341 .315604435116589
*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)
2014年7月22日
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体
[4,6,8]双対多面体の 六方8面体 Hexakis Octahedron の製作方法を お伝えします。
その画像が下右の立体です。左の Rhombitruncated Cuboctahedron と双対関係にあります。
Hexakis Octahedron は Rhombitruncated Cuboctahedron の双対多面体のため稜部品は三種類あります。この三つの稜部品のそれぞれの寸法,接合角,そして仰角の正確さが作品の優劣の決定に大きく影響します。
立体を形成している面 (三角形で全ての辺の寸法が異なる) は一種類で ( 鏡面対称も含めてですが)
面芯寸も 1種類ですので 面芯寸を 1 としたときの稜部品の寸法は以下となります。
A4 のグラフ用紙を用いて説明します。(用紙の長い方を上下 縦方向に置いたとして)
8,6 稜寸は 1.070 ( 107/100 ) つまり 横方向に 107 縦方向に 100 のところに点を打ち 左下かどの 0,0点とで直線を描きます。
8,4 稜寸は .8778 ( 158/180 ) で
6,4 稜寸は .6562 ( 147/224 ) です。
今回製作した多面体は 10×10 の角材で 高さを 180mm にしています。
ですから グラフ用紙の 下から 90 のところを右に寸法を読み取っています。
15[4,6,8] は 18[4,6,10] の簡略版のようなもので 18[4,6,10] のカテゴリーを クリックしてもらうと この説明と一緒に表示され 製作方法がわかると思います。
2013年9月26日
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体 製作道具
[4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron を製作しています。
この多面体は 準正多面体なので
稜寸は 1種類 (今回は 40mm ) 仰角も 1種類 ( 12.46度 038/172 ) です。
右上の cradleで 正八角形を作る稜部品の接合角( 71.11度 228/078 )に加工します。
右中の cradleで 正六角形を作る稜部品の接合角( 62.49度 240/125 )に加工します。
右下の cradleで 正四角形を作る稜部品の接合角( 46.40度 189/180 )に加工します。
三つのcradleの横に 縦方向 三種類の稜部品があります。
準正多面体の稜部品は 稜を垂直方向に向けた場合
右側の稜の接合角は上下とも同じ角度
左側の稜の接合角も上下とも同じ角度です。
上にある塊の稜部品は 8,4形稜部品です。つまり 片側上下が 八角形用接合角で他が 四角形用です。
中の塊が 6,4形稜部品で その下が 8,6形稜部品です。
その横の Y字型の結合部品は 全て同じ形状をしています。
左斜めの稜部品は 8,4形で 右斜めの稜部品は 4,6形で 下縦方向が 8,6形です。
これとは鏡面対称な 結合部品の状態も考えられますが
どちらか一つの形状での組み合わせで作ってゆくほうが 間違いが避けられ作業が容易です。
Y字型結合部品を二つ合わせたものを 三つ組み合わせて左下の 形状になります。
今回の作品も 10×10 のバルサ材で作っていますが
切削作業中には 木粉が多く発生し 防塵マスクを使用しています。
接着剤も 透明な合成ゴム系のもので 揮発成分の ガスが気になりました。
作業環境の整えや 装備の配慮も必要です。
完成に近づきました。
完成です。
右の立体は [4,6,10] Rhombitruncated Icosidodecahedron 斜方切頂20･12面体です。
形状も 作り方もよく似ています。
2013年8月26日
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体
[4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron 斜方切頂立方8面体と
その双対の Hexakis Octahedron 六方8面体の諸量を載せておきます。
[4,6,10] とは関係が深いです。
15 [4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron 斜方切頂立方8面体 (稜寸=1として)
15 .97645097624651324115 [4,6,8]基本数
15 12.458910191690793901 [4,6,8]仰角( 038/172 )
15 2.3176109128927665138 [4,6,8]頂芯寸( 197/85 )
15 2.2630334384537146236 [4,6,8]稜芯寸( 215/095 )
15 71.113329958433603686 [4,6,8] 8 接合角( 228/078 )
15 62.487651925548662356 [4,6,8] 6 接合角( 240/125 )
15 46.399018116017733958 [4,6,8] 4 接合角( 189/180 )
15 1.9142135623730950488 [4,6,8] 8 面芯寸( 201/105 )
15 2.0907702751760276959 [4,6,8] 6 面芯寸( 230/110 )
15 2.2071067811865475244 [4,6,8] 4 面芯寸( 245/111 )
15 61.755172439303668108 [4,6,8]面積
15 41.798989873223330683 [4,6,8]体積
15 57.764389682754654315 [4,6,8] 8 面角
15 67.500000000000000000 [4,6,8] 6 面角
15 77.235610317245345685 [4,6,8] 4 面角
15 125.26438968275465432 [4,6,8] 8,6 面角
15 135.00000000000000000 [4,6,8] 8,4 面角
15 144.73561031724534568 [4,6,8] 6,4 面角
15 [4,6,8] 8,6形稜部品 必要個数 24
15 [4,6,8] 8,4形稜部品 必要個数 24
15 [4,6,8] 6,4形稜部品 必要個数 24
15 双対[4,6,8]Hexakis Octahedron 六方8面体
15 2.2630334384537146236 双[4,6,8]稜芯寸 (共通寸)
15 155.08217961661841220 双[4,6,8]二面角
15 2.2097412102566332828 双[4,6,8]面芯寸( 137/062 )
15 32.235610317245345685 双[4,6,8] 8 仰角( 099/157 )
15 22.500000000000000000 双[4,6,8] 6 仰角( 070/169 )
15 12.764389682754654315 双[4,6,8] 4 仰角( 029/128 )
15 1.4270732708751722817 双[4,6,8] 8 稜寸( 137/096 )
15 .93737914231134747753 双[4,6,8] 6 稜寸( 180/192 )
15 .51266967637086882424 双[4,6,8] 4 稜寸( 081/158 )
15 37.773340083132792629 双[4,6,8] 8 かど角
15 55.024696148902675288 双[4,6,8] 6 かど角
15 87.201963767964532083 双[4,6,8] 4 かど角
15 2.6754174373368364913 双[4,6,8] 8 頂芯寸( 206/077 )
15 2.4494897427831780982 双[4,6,8] 6 頂芯寸( 218/089 )
15 2.3203772410170407352 双[4,6,8] 4 頂芯寸( 239/103 )
15 67.424848155089284364 双[4,6,8]面積
15 49.663821854532241004 双[4,6,8]体積
15 22.500000000000000000 双[4,6,8] 8 接合角/2( 070/169 )
15 30.000000000000000000 双[4,6,8] 6 接合角/2( 112/194 )
15 45.000000000000000000 双[4,6,8] 4 接合角/2( 180/180 )
15 2.3644524131865197592 双[4,6,8] 8,6 稜寸( 227/096 )
15 1.9397429472460411059 双[4,6,8] 8,4 稜寸( 161/083 )
15 1.4500488186822163018 双[4,6,8] 6,4 稜寸( 232/160 )
15 1.0700132677128824247 双[4,6,8] 8,6 稜寸/面芯寸( 107/100 )
15 .87781453241792267648 双[4,6,8] 8,4 稜寸/面芯寸( 158/180 )
15 .65620752871500803910 双[4,6,8] 6,4 稜寸/面芯寸( 147/224 )
15 双[4,6,8] 8,6形稜部品 必要個数 24
15 双[4,6,8] 8,4形稜部品 必要個数 24
15 双[4,6,8] 6,4形稜部品 必要個数 24
2013年8月12日
18[4,6,10] 多面体
[4,6,10] 双対多面体の接合が完了したところです。
まだまだ結合にむらがあり 修正をしてゆきます。
接合面にまだ可塑性が残っているためそれが可能です。
しかし 色々と修正を加えてもシィメトリではない いびつな部分が残ってしまいました。
角度 寸法 加工 等の誤差や 材質のばらつきなどが どうしても発生しています。
いつも誤差との戦いです より完全なシィメトリに強くあこがれます。
2012年10月3日
18[4,6,10] 多面体
[4,6,10] の双対多面体の製作途中です。
三角形が基本の形ですが 鏡面対象の 二種類あります。
前回お伝えした [4,6,10] 多面体と同じく どちらか一つの形状を基本部品として
部分から 中間的形状を作り それらを組合せ 全体的形状に組み立ててゆきます。
接着剤は 透明タイプの合成ゴム系です。
バルサ材は 白っぽいので 透明タイプではないと 接着剤の色が気になることがあります。
合成ゴム系の接着剤は 素早く接着できて 接着面に可塑性がしばらく残り
組み立て作業がスムーズに進みます。
2012年10月2日
18[4,6,10] 多面体 製作道具
10角形と06角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 68.93mm です。
左が 10角形の上の稜の形状をつくるクレィドル cradle で
接合角は左右それぞれ 18度 ( 077 / 237 ) 仰角は 24.095度 ( 072/161 ) です。
右が 06角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 30度 ( 112 / 194 ) 仰角は 13.283度 ( 055/233 ) です。
10角形と04角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 58.61mm です。
左が 10角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 18度 ( 077 / 237 ) 仰角は 24.095度 ( 072/161 ) です。
右が 04角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 45度 ( 180 / 180 ) 仰角は 7.623度 ( 019/142 ) です。
06角形と04角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 37.31mm です。
左が 06角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 30度 ( 112 / 194 ) 仰角は 13.283度 ( 055/233 ) です。
右が 04角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 45度 ( 180 / 180 ) 仰角は 7.623度 ( 019/142 ) です。
2012年9月28日
18[4,6,10] 多面体 製作道具
双対 [4,6,10] をつくるための治具や図です。
私は左ききのため画像は 左右反転しています。
今回は 10×10 のバルサ材で 高さ 20cm の大きさに作る予定です。
画面の右の図は 面芯寸 100mm に対する稜の寸法を決定するためのものです。
前回お伝えした 諸量 (下の三行 )をもとにしてグラフ用紙に 図を描いています。
18 0.6893 ( 122 / 177 ) 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.5861 ( 143 / 244 ) 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.3731 ( 075 / 201 ) 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
用紙の上に置いている部品の 一番上の寸法の長いのが
10角形と06角形とをまたぐ稜で
面芯寸 100 に対し68.93 であることを 実寸で確認できます。
対辺 122 底辺 177 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
上からみて 次の部品は 10角形と04角形とをまたぐ稜寸で
面芯寸 100 に対し 58.61 であることを 実寸で確認できます。
対辺 143 底辺 244 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
そして 次の部品は 06角形と04角形とをまたぐ稜寸で
面芯寸 100 に対し 37.31 であることを 実寸で確認できます。
対辺 075 底辺 201 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
左側にあるのが 上から 10角形用 6角形用 4角形用 の cradle と
寸法カット用 治具です 以下の諸量をもとにしています。
18 24.094842552110700967 双対[4,6,10] 10角形上の稜の仰角 ( 072/161 )
18 13.282525588538994676 双対[4,6,10] 06角形上の稜の仰角 ( 055/233 )
18 7.6226318593503043571 双対[4,6,10] 04角形上の稜の仰角 ( 019/142 )
18 18.000000000000000000 双対[4,6,10] 10角形上の接合角 ( 180/10度 )
18 30.000000000000000000 双対[4,6,10] 06角形上の接合角 ( 180/06度 )
18 45.000000000000000000 双対[4,6,10] 04角形上の接合角 ( 180/04度 )
18度は 077 / 237 30度は 112 / 194 45度は 180 / 180 で得られます。
2012年9月27日
18[4,6,10] 多面体 諸量
[4,6,10] の双対多面体 六方20面体 Hexakis Icosahedron についてお伝えします。
諸量 ( もとの多面体の稜芯寸と こちらの稜芯寸とが同じ値として)
18 24.094842552110700967 双対[4,6,10] 10角形上の稜の仰角 ( 072/161 )
18 13.282525588538994676 双対[4,6,10] 06角形上の稜の仰角 ( 055/233 )
18 7.6226318593503043571 双対[4,6,10] 04角形上の稜の仰角 ( 019/142 )
18 18.000000000000000000 双対[4,6,10] 10角形上の接合角 ( 180/10度 )
18 30.000000000000000000 双対[4,6,10] 06角形上の接合角 ( 180/06度 )
18 45.000000000000000000 双対[4,6,10] 04角形上の接合角 ( 180/04度 )
18 4.1291457614135206146 双対[4,6,10] 10角形上の頂芯寸
18 3.8729833462074168852 双対[4,6,10] 06角形上の頂芯寸
18 3.8029832481815887597 双対[4,6,10] 04角形上の頂芯寸
18 2.5755459331956214849 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸
18 2.1901744798065037825 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸
18 1.3942870166557737040 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸
18 0.6893 ( 122 / 177 ) 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.5861 ( 143 / 244 ) 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.3731 ( 075 / 201 ) 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 3.7693771279217166027 双対[4,6,10] 稜芯寸
18 3.7366464560831424485 双対[4,6,10] 面芯寸
18 183.19554518150396045 双対[4,6,10] 面積
18 228.17899489089532558 双対[4,6,10] 体積
18 双対[4,6,10] 10角形と 06角形の間の稜の必要個数は 60
18 双対[4,6,10] 10角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
18 双対[4,6,10] 06角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
双対多面体の名称一覧です。
双対多面体の名称 ( 括弧内は もとの多面体の名称 )
01[3,3,3] Tetrahedron 正4面体
( 正4面体 Tetrahedron )
02[3,3,3,3] Hexahedron 正6面体
( 正8面体 Octahedron )
03[4,4,4] Octahedron 正8面体
( 正6面体 Hexahedron )
04[3,3,3,3,3] Dodecahedron 正12面体
( 正20面体 Icosahedron )
05[3,4,3,4] Rhombic Dodecahedron 菱形12面体
( 立方8面体 Cuboctahedron )
06[3,6,6] Triakis Tetrahedron 三方4面体
( 切頂4面体 Truncated Tetrahedron )
07[3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体
( 変形立方体 Snub Cube )
08[3,4,4,4] Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
( 斜方立方8面体 Rhombicuboctahedron )
09[5,5,5] Icosahedron 正20面体
( 正12面体Dodecahedron )
10[4,6,6] Tetrakis Hexahedron 四方6面体
( 切頂8面体Truncated Octahedron )
11[3,5,3,5] Rhombic Triacontahedron 菱形30面体
( 20･12面体Icosidodecahedron )
12[3,8,8] Triakis Octahedron 三方8面体
( 切頂6面体Truncated Hexahedron )
13[3,3,3,3,5] Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体
( 変形12面体Snub Dodecahedron)
14[3,4,5,4] Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体
( 斜方20･12面体Rhombicosidodecahedron )
15[4,6,8] Hexakis Octahedron 六方8面体
( 斜方切頂立方8面体Rhombitruncated Cuboctahedron )
16[5,6,6] Pentakis Dodecahedron 五方12面体
( 切頂20面体Truncated Icosahedron )
17[3,10,10] Triakis Icosahedron 三方20面体
( 切頂12面体Truncated Dodecahedron )
18[4, 6,10] Hexakis Icosahedron 六方20面体
( 斜方切頂20･12面体Rhombitruncated Icosidodecahedron )
2012年9月25日
18[4,6,10] 多面体
[4,6,10] が完成しました 高さは約 20cm です。
Y 字型の基本部品の組合せで 今回は組み立ててゆきました。
基本部品 60組の結合作業のみでは 完成は無理でしたが
ほとんどの結合はこの作業でうまくゆきました。
三種類の部品のあやまった結合をふせげ シィメトリーな状態の維持が容易でした。
[5,6,6] 切頂20面体 Truncated Icosahedron の製作でもお伝えしたとおり
部品の形状の区別に 混乱が生じる場合があります。
正しい組合せ状態の基本部品をもとに製作を行うことで それの回避が容易です。
2012年9月24日
18[4,6,10] 多面体
[4,6,10] の製作中です。
2012年9月22日
18[4,6,10] 多面体
[4,6,10] の製作中です。
Y 字型の 基本部品を二つ合わせて 四角形から対称的に稜がのびている形状を作ったり
その形状を三つ合わせて 四角形が三方から六角形を囲む形状にしたり
部分から 中間的形状を作り それらを組合せ 全体的形状に組み立ててゆきます。
少し話を変えます。
このブログを立ち上げてから 4ヶ月ほど 経過しています。
日本以外の複数の国の方たちからも このブログを見てもらっていることに
驚きと喜びを感じています。
アクセス数はそれほど多くありませんが 日本より 海外のほうが多くあります。
私の日本語の表現が 自動翻訳でどれほど 正確に伝わっているか分かりません。
また 私の説明している内容を日本語で 解釈する場合でも
うまく伝わっているかと 大いに悩むところです。
2012年9月21日
18[4,6,10] 多面体 製作道具
[4,6,10] 製作のクレィドル cradle です。
画面上中は 四角形に接する稜を作る cradle で
左右の接合角がそれぞれ 45.504度 ( 対辺 172 / 底辺 169 の角度 )
仰角が 7.556度 ( 対辺 026 / 底辺 196 の角度 ) になっています。
画面下左は 六角形に接する稜を作る cradle で
左右の接合角がそれぞれ 60.881度( 対辺 228 / 底辺 127 の角度 )
仰角は上と同じく 7.556度 になっています。
画面下右は 十角形に接する稜を作る cradle で
左右の接合角がそれぞれ 73.615度( 対辺 238 / 底辺 070 の角度 )
仰角はこれも同じく 7.556度 になっています。
画面上右は
部品の接合面の加工をする前の 一定の稜寸にカット整形する cradle です。
今回は
10×10 のバルサ材を 29mm の稜寸でカットします ( 完成品の高さは約 20cm )。
カットと整形を この cradle 一つで行っています。
カットの角度は 仰角 7.556度 ( 対辺 026 / 底辺 196 ) の余角
82.444度 ( 対辺 196 / 底辺 026 ) です。
画面下にあるのは 寸法カットし角度整形した部品です 180個必要です。
接合面の加工をする 三種類の部品の説明をします。
画面上左から一つ目の縦状態の部品が 十角形と六角形との間の稜部品。
画面上左から二つ目の縦状態の部品が 六角形と四角形との間の稜部品。
画面上左から三つ目の縦状態の部品が 十角形と四角形との間の稜部品。
画面上右が 三種類の部品を接合したもので。
この組合せ形状 ( 鏡面対称を含めて ) で [4,6,10] の頂を形成します。
私は この組合せ形状 ( 鏡面対称を含めず ) を 60個を作り
それを基本部品として 組み立ててゆこうと思っています。
2012年9月20日
18[4,6,10] 多面体 諸量
[4,6,10] 斜方切頂20･12面体 を説明します。
私のブログでは 正・準正多面体 の種類を 18としていますが
頂芯寸を 1 としたときの 稜芯寸 (基本数) を
小さいほうから並べると 18番目になります。
基本数
01 .5773 [3,3,3] 正4面体 Tetrahedron
02 .7071 [3,3,3,3] 正8面体 Octahedron
03 .8164 [4,4,4] 正6面体 Hexahedron
04 .8506 [3,3,3,3,3] 正20面体 Icosahedron
05 .8660 [3,4,3,4] 立方8面体 Cuboctahedron
06 .9045 [3,6,6] 切頂4面体 Truncated Tetrahedron
07 .9281 [3,3,3,3,4] 変形立方体 Snub Cube
08 .9339 [3,4,4,4] 斜方立方8面体 Rhombicuboctahedron
09 .9341 [5,5,5] 正12面体 Dodecahedron
10 .9486 [4,6,6] 切頂8面体 Truncated Octahedron
11 .9510 [3,5,3,5] 20･12面体 Icosidodecahedron
12 .9596 [3,8,8] 切頂6面体 Truncated Hexahedron
13 .9727 [3,3,3,3,5] 変形12面体 Snub Dodecahedron
14 .9746 [3,4,5,4] 斜方20･12面体 Rhombicosidodecahedron
15 .9764 [4,6,8] 斜方切頂立方8面体 Rhombitruncated Cuboctahedron
16 .9794 [5,6,6] 切頂20面体 Truncated Icosahedron (サッカーボール)
17 .9857 [3,10,10] 切頂12面体 Truncated Dodecahedron
18 斜方切頂20･12面体 Rhombitruncated Icosidodecahedron
18 .99131668954105939137 [4,6,10] 基本数
18 7.5560540461687591650 [4,6,10] 稜の仰角 ( 026/196 )
18 73.614860764356080665 [4,6,10] 10角形の 接合角 ( 238/070 )
18 60.881040189555234516 [4,6,10] 06角形の 接合角 ( 228/127 )
18 45.504099046088684819 [4,6,10] 04角形の 接合角 ( 172/169 )
18 3.8023944998512935848 [4,6,10] 頂芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.7693771279217166027 [4,6,10] 稜芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.4409548011779338455 [4,6,10] 10角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.6685424806725857361 [4,6,10] 06角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.7360679774997896964 [4,6,10] 04角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 174.29203034232392088 [4,6,10] 面積 (稜寸を 1としたとき)
18 206.80339887498948482 [4,6,10] 体積 (稜寸を 1としたとき)
18 [4,6,10] 10角形と 06角形の間の稜の必要個数は 60
18 [4,6,10] 10角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
18 [4,6,10] 06角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
2012年9月13日
18[4,6,10] 多面体
右側の多面体が 斜方切頂20･12面体 Rhombitruncated Icosidodecahedron 。
左側の多面体が その双対多面体で 六方20面体 Hexakis Icosahedron と呼ばれています。
名称と形状が 一致しにくいです。
私のブログでは [4,6,10]多面体と [4,6,10]双対多面体と表記しようと思っています。
この画像の [4,6,10]多面体や その双対多面体の高さは約 100mm です。
10年ほど前に作った どちらもプロトタイプで まだまだ sashimono とは呼べない作品です。
これから この二つの多面体製作の説明をしてゆこうと思っています。
2012年9月10日
