Dürer’s solid 未分類
国立国際美術館で開かれている クラーナハの絵画展に行ってきました。
クラーナハ ( Lucas Cranach der Ältere 1472-1553 ) は
ドイツ・ルネッサンスを代表する芸術家で
後世の絵画作品にも大きな影響を与えているとのことです。
絵画にはあまり興味がない私ですが あの有名な宗教改革を興した
マルティン・ルター（Martin Luther 1483- 1546 ）の肖像画作者だと知ったことと
妻が 強く誘うもので 重い腰をあげて 大阪まで行ってきました。
人物の特徴的な表現に魅かれたり
当時のドイツの雰囲気が感じられるような気分になったりで
いつになく感銘を受けていました。
それと 彼に影響を及ぼしたと思われる同時代のドイツの画家
アルブレヒト・デューラー ( Albrecht Dürer 1471-1528 ) の
作品も数点あり 既にお伝えしたことのある メランコリア もあったのです。
以前 メランコリア を見たときは 思った以上に小さく(238mm×186mm)
印象として感動に乏しかったのですが
今回は 小さいと感じてしまったことが不思議で
思いがけず鑑賞することができたことに 大変感動しました。
2017年3月11日
Dürer’s solid 多面体
下の立体は 私がデューラーの多面体の形状を理解し納得するために作りました。
これらの三つの立体に共通した要素は。
菱形を 短い対角線に沿って二分してできた形状の稜部品 unit が
三つ連なって輪になっているものです。
反角柱 antiprism の一種であり 全ての頂が 球に接しています。
この条件をもとに 諸量の計算をしています。
上左は 正六面体で 稜の開き角度は 90度 右上は 正八面体で 60度の開き角です。
つまり デューラーの多面体の鋭角は 60度から 90度までの間だということです。
上中が 鋭角 360/5 の 72度で 鈍角が 正五角形の内角と同じ 108度の
デューラー多面体と 形状がよく似ていると思われる立体です。
三角形にカットした面の稜寸が 他の短い二本の稜寸より少し長いのが特徴です。
2014年2月13日
Dürer’s solid 多面体
下の画像の上中ほどの立体が平行六面体です。
この多面体は 球に全ての頂が接するほどの symmetricさ がないので
接合部分に 乱れが生じています。
同様に デューラーの多面体もこの平行六面体の特徴をもつため
角棒を稜として作る sashimono には 製作の対象としづらいものがあります。
画像下 四つの立体は 全ての頂が球に接するように
平行六面体の長方向の両端をカットした形状です。
四つのうちの左右の立体が その極端な場合で
左は カットのした面積が 0 右は 菱形の半分の面の部分までカットです。
ここでは デューラーの多面体は 全ての頂が球に接すると前提していますが
その条件をはずせば 形状の可能性は 大きく広がります。
日本語の “外接” とか “内接” とかの用語は あまりいい訳語とは思えませし
用語としても 私は使用に混乱しそうです。これからは 使わないようにしています。
下の左から二つ目の立体の 鋭角は 77.142857142857142857 です。
360/(3+5/3) とか 540/7 の値と同値です。
カットされたほうの三つの稜の寸法が等しい値になっています。
2014年2月11日
Dürer’s solid 多面体
デューラーの多面体の 作品1 (左) と 作品2 (右) です。
計算した諸量が正しい値なのかどうか 不安な気持ちで作品1 を作りました。
加工し易いようにバルサ材を使用しています。
作品2 は製作に必要な諸量に問題はなさそうなので ラミン材で作ってみました。
高さは約 90mm で 球に外接する形状になっています。
デューラーが活躍していた当時はもう 天体観測などの測量では
かなり精度の高い三角関数の数値が用いられていたようですが
構造物などのの計算には
どれほど三角関数が寄与していたのか 知りたいところです。
ラミン材は 絶滅危惧種としてワシントン条約にも登録されています。
20年ほど前にストックしていた材を使っています。
2014年2月6日
BASIC Dürer’s solid ポーカーの確率 多面体
レオナルド・ダ・ヴィンチ Leonardo da Vinci (1452-1519) と
同時代に ドイツで活躍した
アルブレヒト・デューラー Albrecht Dürer (1471-1528)
の銅版画 メランコリア I (Melencolia I) の中にある
特殊な八面体の製作をしようと思っています。
http://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_D%C3%BCrer 参照
本来なら 作品を完成してから 製作方法を伝えるべきですが
やっと 諸量の計算ができたところです。
早く お伝えしようと思い 作ったばかりの BASIC のプログラムを
載せておきます。計算方法の思い違いがあるかもしれませんが
実際に作品を作ってゆけば 発見できるでしょう。
この多面体の諸量については諸説あるようですが
石津秀子さんの 論文を参考にさせていただきました。
http://www.seijo.ac.jp/pdf/falit/188/188-4.pdf
!! コピー開始
! メランコリア I (Melencolia I) の八面体の製作に
! 必要な諸量の計算 <試案>
! 菱形の鋭角を 72度とする
! 菱形の短いほうの対角線を 1とする
! 短いほうの対角線を底とする二等辺三角形を考える
! この二等辺三角形で
! 底を周方向とする二つの三角錐と一つの反角柱を作る
! 二つの三角錐に反角柱を挟んで 平行六面体を作り
! 長方向の両端をカットした形状を作る
! 八面体は球に外接するとして計算
OPTION ANGLE DEGREES
LET m001=sqr(3)/6
LET m002=sqr(3)/3
LET m003=72 ! 72 菱形鋭角
LET m004=0.5/tan(m003/2) ! .688190960235587 対角線長寸/2
LET m005=sqr(m004^2-m001^2) ! .62471870823327 三角錐の高さ 反角柱の高さ
LET m006=sqr((m002)^2+m005^2) ! .85065080835204 稜寸
LET m007=acos((m002)/m006) ! 47.2566160617882 三角錐の稜の仰角
LET m008=sqr(m002^2+(m005/2)^2) ! .656431031744764 反角柱の外接球半径
LET m009=atn((m005/2)/m002) ! 28.4143751956601 反角柱の高さ巾角/2
LET m010=m007+m009 ! 75.6709912574483 稜の球内侵入角度
LET m011=m008*sin(90-m010)*2 ! .324919696232906 三角錐のカット残の稜寸
LET m012=m006-m011 ! .525731112119134 切り離しする三角錐の稜寸
LET m013=m012/m011 ! 1.6180339887499 切り分け稜寸比 (黄金比)
LET m014=m012*sin(m003/2)*2 ! .618033988749895 カット面三角の辺寸
LET m015=asin((m006/2)/m008) ! 40.3861775591967 長稜巾角/2
LET m016=asin((m011/2)/m008) ! 14.3290087425517 短稜巾角/2
LET m017=asin((m014/2)/m008) ! 28.0831980645294 底稜巾角/2
LET m018=90-m015 ! 49.6138224408033 長稜端角
LET m019=90-m016 ! 75.6709912574483 短稜端角
LET m020=90-m017 ! 61.9168019354706 底稜端角
LET m021=90+m003/2 ! 126 五角底角
LET m022=(90-m003/2)*2 ! 108 菱形鈍角
LET m023=90-m018 ! 40.3861775591967 長稜仰角
LET m024=m006*cos(m023) ! .647936163294299 長稜投影寸
LET m025=asin(0.5/m024)*2 ! 101.010156834313 長・長稜開き角
LET m026=(360-m025)/2 ! 129.494921582844 長・短稜開き角
LET m027=90-m019 ! 14.3290087425517 短稜仰角
LET m028=90-m020 ! 28.0831980645294 底稜仰角
LET m029=cos(m028) ! .882264951894171 底稜投影縮小比
LET m030=asin(0.5/m029)*2 ! 69.0440756710915 底・底稜開き角
LET m031=(360-m030)/2 ! 145.477962164454 底・短稜開き角
LET m032=m005+m011*cos(m003/2)*2! 1.1504498203524 八面体長寸
LET m033=(1+sqr(5))/2 ! 1.61803398874989 黄金比
LET m034=atn(1/m033)*2 ! 63.4349488229222 黄金比の鋭角
LET m035=sqr(2) ! 1.4142135623731 白銀比
LET m036=atn(1/m035)*2 ! 70.5287793655091 白銀比の鋭角
PRINT "《メランコリア》の八面体"
PRINT "菱形対角線短寸",1 ! 1
PRINT "菱形対角線長寸",m004*2 ! 1.37638192047117
PRINT "菱形鋭角" ,m003 ! 72
PRINT "長稜寸" ,m006 ! .85065080835204
PRINT "短稜寸" ,m011 ! .324919696232906
PRINT "底稜寸" ,m014 ! .618033988749895
PRINT "長稜仰角" ,m023 ! 40.3861775591967
PRINT "短稜仰角" ,m027 ! 14.3290087425517
PRINT "底稜仰角" ,m028 ! 28.0831980645294
PRINT "長・長稜開き角/2",m025/2 ! 50.5050784171565
PRINT "長・短稜開き角/2",m026/2 ! 64.747460791422
PRINT "底・底稜開き角/2",m030/2 ! 34.5220378355458
PRINT "底・短稜開き角/2",m031/2 ! 72.738981082227
PRINT "八面体長寸" ,m032 ! 1.1504498203524
PRINT "外接球直径",m008*2 ! 1.31286206348953
PRINT
PRINT "参考数値"
PRINT "黄金比" , "1 :" ;m033 ! 1 : 1.61803398874989
PRINT "黄金比菱形の鋭角" ,m034 ! 63.4349488229222
PRINT "白銀比" , "1 :" ;m035 ! 1 : 1.4142135623731
PRINT "白銀比菱形の鋭角" ,m036 ! 70.5287793655091
END ! コピー終わり
以下は 整数比に変換した値です
.85065080835204 131 / 154
.324919696232906 77 / 237
.618033988749895 144 / 233
40.3861775591967 131 / 154
14.3290087425517 47 / 184
28.0831980645294 127 / 238
50.5050784171565 182 / 150
64.747460791422 212 / 100
34.5220378355458 119 / 173
72.738981082227 177 / 55
追伸
新しいパソコンに買い替えてこのブログを作っています。
以前お伝えした ポーカーの確率計算のプログラムを
このパソコンで run してみました。すると 32秒で output です。
以前は 半日もかかったのに
隔世の感を 新たにしているところです。
2014年1月25日
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