多面体
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体
[4,6,8]双対多面体の 六方8面体 Hexakis Octahedron の製作方法を お伝えします。
その画像が下右の立体です。左の Rhombitruncated Cuboctahedron と双対関係にあります。
Hexakis Octahedron は Rhombitruncated Cuboctahedron の双対多面体のため稜部品は三種類あります。この三つの稜部品のそれぞれの寸法,接合角,そして仰角の正確さが作品の優劣の決定に大きく影響します。
立体を形成している面 (三角形で全ての辺の寸法が異なる) は一種類で ( 鏡面対称も含めてですが)
面芯寸も 1種類ですので 面芯寸を 1 としたときの稜部品の寸法は以下となります。
A4 のグラフ用紙を用いて説明します。(用紙の長い方を上下 縦方向に置いたとして)
8,6 稜寸は 1.070 ( 107/100 ) つまり 横方向に 107 縦方向に 100 のところに点を打ち 左下かどの 0,0点とで直線を描きます。
8,4 稜寸は .8778 ( 158/180 ) で
6,4 稜寸は .6562 ( 147/224 ) です。
今回製作した多面体は 10×10 の角材で 高さを 180mm にしています。
ですから グラフ用紙の 下から 90 のところを右に寸法を読み取っています。
15[4,6,8] は 18[4,6,10] の簡略版のようなもので 18[4,6,10] のカテゴリーを クリックしてもらうと この説明と一緒に表示され 製作方法がわかると思います。
2013年9月26日
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体 製作道具
[4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron を製作しています。
この多面体は 準正多面体なので
稜寸は 1種類 (今回は 40mm ) 仰角も 1種類 ( 12.46度 038/172 ) です。
右上の cradleで 正八角形を作る稜部品の接合角( 71.11度 228/078 )に加工します。
右中の cradleで 正六角形を作る稜部品の接合角( 62.49度 240/125 )に加工します。
右下の cradleで 正四角形を作る稜部品の接合角( 46.40度 189/180 )に加工します。
三つのcradleの横に 縦方向 三種類の稜部品があります。
準正多面体の稜部品は 稜を垂直方向に向けた場合
右側の稜の接合角は上下とも同じ角度
左側の稜の接合角も上下とも同じ角度です。
上にある塊の稜部品は 8,4形稜部品です。つまり 片側上下が 八角形用接合角で他が 四角形用です。
中の塊が 6,4形稜部品で その下が 8,6形稜部品です。
その横の Y字型の結合部品は 全て同じ形状をしています。
左斜めの稜部品は 8,4形で 右斜めの稜部品は 4,6形で 下縦方向が 8,6形です。
これとは鏡面対称な 結合部品の状態も考えられますが
どちらか一つの形状での組み合わせで作ってゆくほうが 間違いが避けられ作業が容易です。
Y字型結合部品を二つ合わせたものを 三つ組み合わせて左下の 形状になります。
今回の作品も 10×10 のバルサ材で作っていますが
切削作業中には 木粉が多く発生し 防塵マスクを使用しています。
接着剤も 透明な合成ゴム系のもので 揮発成分の ガスが気になりました。
作業環境の整えや 装備の配慮も必要です。
完成に近づきました。
完成です。
右の立体は [4,6,10] Rhombitruncated Icosidodecahedron 斜方切頂20･12面体です。
形状も 作り方もよく似ています。
2013年8月26日
10[4,6,6] 多面体
[4,6,6] Truncated Octahedron 切頂8面体と
その双対の Tetrakis Hexahedron 四方6面体の諸量を載せておきます。
これで 18種類の諸量個別表示は全て完了しました。
10 [4,6,6] Truncated Octahedron 切頂8面体 (稜寸=1として)
10 .94868329805051379960 [4,6,6]基本数
10 18.434948822922010648 [4,6,6]仰角( 083/249 )
10 1.5811388300841896660 [4,6,6]頂芯寸( 185/117 )
10 1.5000000000000000000 [4,6,6]稜芯寸( 249/166 )
10 65.905157447889299033 [4,6,6] 6 接合角( 161/072 )
10 48.189685104221401934 [4,6,6] 4 接合角( 161/144 )
10 1.2247448713915890491 [4,6,6] 6 面芯寸( 218/178 )
10 1.4142135623730950488 [4,6,6] 4 面芯寸( 239/169 )
10 26.784609690826527522 [4,6,6]面積
10 11.313708498984760390 [4,6,6]体積
10 54.735610317245345685 [4,6,6] 6 面角
10 70.528779365509308631 [4,6,6] 4 面角
10 109.47122063449069137 [4,6,6] 6,6 面角
10 125.26438968275465432 [4,6,6] 6,4 面角
10 [4,6,6] 6,6形稜部品 必要個数 12
10 [4,6,6] 6,4形稜部品 必要個数 24
10 双対[4,6,6]Tetrakis Hexahedron 四方6面体 *下記参照
10 1.5000000000000000000 双[4,6,6]稜芯寸 (共通寸)
10 143.13010235415597870 双[4,6,6]二面角
10 1.4230249470757706994 双[4,6,6]面芯寸( 222/156 )
10 35.264389682754654315 双[4,6,6] 6 仰角( 169/239 )
10 19.471220634490691369 双[4,6,6] 4 仰角( 070/198 )
10 1.0606601717798212866 双[4,6,6] 6 稜寸( 175/165 )
10 .53033008588991064330 双[4,6,6] 4 稜寸( 105/198 )
10 48.189685104221401934 双[4,6,6] 6 かど角
10 83.620629791557196132 双[4,6,6] 4 かど角
10 1.8371173070873835736 双[4,6,6] 6 頂芯寸( 248/135 )
10 1.5909902576697319299 双[4,6,6] 4 頂芯寸( 245/154 )
10 30.186917696247160902 双[4,6,6]面積
10 14.318912319027587369 双[4,6,6]体積
10 30.000000000000000000 双[4,6,6] 6 接合角/2( 112/194 )
10 45.000000000000000000 双[4,6,6] 4 接合角/2( 180/180 )
10 2.1213203435596425732 双[4,6,6] 6,6 稜寸( 210/099 )
10 1.5909902576697319299 双[4,6,6] 6,4 稜寸( 245/154 )
10 1.4907119849998597976 双[4,6,6] 6,6 稜寸/面芯寸( 161/108 )
10 1.1180339887498948482 双[4,6,6] 6,4 稜寸/面芯寸( 161/144 )
10 双[4,6,6] 6,6形稜部品 必要個数 12
10 双[4,6,6] 6,4形稜部品 必要個数 24
*お詫び
2013 8月18日に 掲載した このブログの記述の中で
10 双対[3,8,8]Triakis Octahedron 三方8面体
と記した部分は
10 双対[4,6,6]Tetrakis Hexahedron 四方6面体 と記すべきでした。
お詫びし 訂正いたします。 2013 9月29日
2013年8月18日
12[3,8,8] 多面体
[3,8,8]Truncated Hexahedron 切頂6面体と
その双対の Triakis Octahedron 三方8面体の諸量を載せておきます。
12 [3,8,8]Truncated Hexahedron 切頂6面体 (稜寸=1として)
12 .95968298226066728914 [3,8,8]基本数
12 16.324949936895235112 [3,8,8]仰角( 070/239 )
12 1.7788236456639244509 [3,8,8]頂芯寸( 185/104 )
12 1.7071067811865475244 [3,8,8]稜芯寸( 169/099 )
12 74.300142595040478895 [3,8,8] 8 接合角( 185/052 )
12 31.399714809919042210 [3,8,8] 3 接合角( 141/231 )
12 1.2071067811865475244 [3,8,8] 8 面芯寸( 204/169 )
12 1.6825219847121646795 [3,8,8] 3 面芯寸( 212/126 )
12 32.434664363614895173 [3,8,8]面積
12 13.599663291074443561 [3,8,8]体積
12 45.000000000000000000 [3,8,8] 8 面角
12 80.264389682754654315 [3,8,8] 3 面角
12 90.000000000000000000 [3,8,8] 8,8 面角
12 125.26438968275465432 [3,8,8] 8,3 面角
12 [3,8,8] 8,8形稜部品 必要個数 12
12 [3,8,8] 8,3形稜部品 必要個数 24
12 双対[3,8,8]Triakis Octahedron 三方8面体
12 1.7071067811865475244 双[3,8,8]稜芯寸 (共通寸)
12 147.35010012620952978 双[3,8,8]二面角
12 1.6382813268065143234 双[3,8,8]面芯寸( 231/141 )
12 45.000000000000000000 双[3,8,8] 8 仰角( 180/180 )
12 9.7356103172453456846 双[3,8,8] 3 仰角( 035/204 )
12 1.7071067811865475244 双[3,8,8] 8 稜寸( 169/099 )
12 .29289321881345247560 双[3,8,8] 3 稜寸( 070/239 )
12 31.399714809919042210 双[3,8,8] 8 かど角
12 117.20057038016191558 双[3,8,8] 3 かど角
12 2.4142135623730950488 双[3,8,8] 8 頂芯寸( 169/070 )
12 1.7320508075688772935 双[3,8,8] 3 頂芯寸( 194/112 )
12 42.691767495934186821 双[3,8,8]面積
12 23.313708498984760390 双[3,8,8]体積
12 22.500000000000000000 双[3,8,8] 8 接合角/2( 070/169 )
12 60.000000000000000000 双[3,8,8] 3 接合角/2( 194/112 )
12 3.4142135623730950488 双[3,8,8] 8,8 稜寸( 239/070 )
12 2.0000000000000000000 双[3,8,8] 8,3 稜寸( 250/125 )
12 2.0840215331199483086 双[3,8,8] 8,8 稜寸/面芯寸( 248/119 )
12 1.2207915498240954308 双[3,8,8] 8,3 稜寸/面芯寸( 188/154 )
12 双[3,8,8] 8,8形稜部品 必要個数 12
12 双[3,8,8] 8,3形稜部品 必要個数 24
2013年8月18日
15[4,6,8] 18[4,6,10] 多面体
[4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron 斜方切頂立方8面体と
その双対の Hexakis Octahedron 六方8面体の諸量を載せておきます。
[4,6,10] とは関係が深いです。
15 [4,6,8] Rhombitruncated Cuboctahedron 斜方切頂立方8面体 (稜寸=1として)
15 .97645097624651324115 [4,6,8]基本数
15 12.458910191690793901 [4,6,8]仰角( 038/172 )
15 2.3176109128927665138 [4,6,8]頂芯寸( 197/85 )
15 2.2630334384537146236 [4,6,8]稜芯寸( 215/095 )
15 71.113329958433603686 [4,6,8] 8 接合角( 228/078 )
15 62.487651925548662356 [4,6,8] 6 接合角( 240/125 )
15 46.399018116017733958 [4,6,8] 4 接合角( 189/180 )
15 1.9142135623730950488 [4,6,8] 8 面芯寸( 201/105 )
15 2.0907702751760276959 [4,6,8] 6 面芯寸( 230/110 )
15 2.2071067811865475244 [4,6,8] 4 面芯寸( 245/111 )
15 61.755172439303668108 [4,6,8]面積
15 41.798989873223330683 [4,6,8]体積
15 57.764389682754654315 [4,6,8] 8 面角
15 67.500000000000000000 [4,6,8] 6 面角
15 77.235610317245345685 [4,6,8] 4 面角
15 125.26438968275465432 [4,6,8] 8,6 面角
15 135.00000000000000000 [4,6,8] 8,4 面角
15 144.73561031724534568 [4,6,8] 6,4 面角
15 [4,6,8] 8,6形稜部品 必要個数 24
15 [4,6,8] 8,4形稜部品 必要個数 24
15 [4,6,8] 6,4形稜部品 必要個数 24
15 双対[4,6,8]Hexakis Octahedron 六方8面体
15 2.2630334384537146236 双[4,6,8]稜芯寸 (共通寸)
15 155.08217961661841220 双[4,6,8]二面角
15 2.2097412102566332828 双[4,6,8]面芯寸( 137/062 )
15 32.235610317245345685 双[4,6,8] 8 仰角( 099/157 )
15 22.500000000000000000 双[4,6,8] 6 仰角( 070/169 )
15 12.764389682754654315 双[4,6,8] 4 仰角( 029/128 )
15 1.4270732708751722817 双[4,6,8] 8 稜寸( 137/096 )
15 .93737914231134747753 双[4,6,8] 6 稜寸( 180/192 )
15 .51266967637086882424 双[4,6,8] 4 稜寸( 081/158 )
15 37.773340083132792629 双[4,6,8] 8 かど角
15 55.024696148902675288 双[4,6,8] 6 かど角
15 87.201963767964532083 双[4,6,8] 4 かど角
15 2.6754174373368364913 双[4,6,8] 8 頂芯寸( 206/077 )
15 2.4494897427831780982 双[4,6,8] 6 頂芯寸( 218/089 )
15 2.3203772410170407352 双[4,6,8] 4 頂芯寸( 239/103 )
15 67.424848155089284364 双[4,6,8]面積
15 49.663821854532241004 双[4,6,8]体積
15 22.500000000000000000 双[4,6,8] 8 接合角/2( 070/169 )
15 30.000000000000000000 双[4,6,8] 6 接合角/2( 112/194 )
15 45.000000000000000000 双[4,6,8] 4 接合角/2( 180/180 )
15 2.3644524131865197592 双[4,6,8] 8,6 稜寸( 227/096 )
15 1.9397429472460411059 双[4,6,8] 8,4 稜寸( 161/083 )
15 1.4500488186822163018 双[4,6,8] 6,4 稜寸( 232/160 )
15 1.0700132677128824247 双[4,6,8] 8,6 稜寸/面芯寸( 107/100 )
15 .87781453241792267648 双[4,6,8] 8,4 稜寸/面芯寸( 158/180 )
15 .65620752871500803910 双[4,6,8] 6,4 稜寸/面芯寸( 147/224 )
15 双[4,6,8] 8,6形稜部品 必要個数 24
15 双[4,6,8] 8,4形稜部品 必要個数 24
15 双[4,6,8] 6,4形稜部品 必要個数 24
2013年8月12日
sphericity 多面体 諸量
このブログでは それぞれの多面体を 他と区別する一つのの方法として
01 から 18 までの数字をつけて順番づけをしています。
その順番づけは 多面体の中芯と一つの稜とでできる角度の大きさの順です。
別の見方をすれば 稜寸を 同じ値で統一したときの
外接球半径の小さい方から大きい方への順です。
この方法も 多面体がどれだけ球形に近いかの順番を表す簡略な示し方です。
球形度 sphericity を測る もう少し近似的な方法は
体積 / ( 面積 × 外接球半径 ) の値順にすることです。
以下にそれを表にしたものを載せておきます。稜寸=1として。
稜寸=1として 外接球半径 = R 表面積 = S
01[3,3,3] .61237243569579452455 1.7320508075688772935 Tetrahedron
06[3,6,6] 1.1726039399558573886 12.124355652982141055 Truncated Tetrahedron
02[3,3,3,3] .70710678118654752440 3.4641016151377545871 Octahedron
03[4,4,4] .86602540378443864676 6.0000000000000000000 Hexahedron
12[3,8,8] 1.7788236456639244509 32.434664363614895173 Truncated Hexahedron
05[3,4,3,4] 1.0000000000000000000 9.4641016151377545871 Cuboctahedron
04[3,3,3,3,3] .95105651629515357212 8.6602540378443864676 Icosahedron
09[5,5,5] 1.4012585384440735447 20.645728807067603073 Dodecahedron
10[4,6,6] 1.5811388300841896660 26.784609690826527522 Truncated Octahedron
17[3,10.10] 2.9694490158633984670 100.99076015310198854 Truncated Dodecahedron
08[3,4,4,4] 1.3989663259659067020 21.464101615137754587 Rhombicuboctahedron
11[3,5,3,5] 1.6180339887498948482 29.305982844911989541 Icosidodecahedron
15[4,6,8] 2.3176109128927665138 61.755172439303668108 Rhombitruncated Cuboctahedron
07[3,3,3,3,4] 1.3437133737446017013 19.856406460551018348 Snub Cube
16[5,6,6] 2.4780186590676155376 72.607253034133921879 Truncated Icosahedron
18[4,6,10] 3.8023944998512935848 174.29203034232392088 Rhombitruncated Icosidodecahedron
14[3,4,5,4] 2.2329505094156900495 59.305982844911989541 Rhombicosidodecahedron
13[3,3,3,3,5] 2.1558373751156397018 55.286744958445148944 Snub Dodecahedron
体積 = V V/(S*R)
01[3,3,3] .11785113019775792073 .11111111111111111111 正4面体
06[3,6,6] 2.7105759945484321769 .19065648033243096562 切頂4面体
02[3,3,3,3] .47140452079103168293 .19245008972987525484 正8面体
03[4,4,4] 1.0000000000000000000 .19245008972987525484 正6面体
12[3,8,8] 13.599663291074443561 .23571425844649368960 切頂6面体
05[3,4,3,4] 2.3570226039551584147 .24904874226890375670 立方8面体
04[3,3,3,3,3] 2.1816949906249123735 .26488482409725537432 正20面体
09[5,5,5] 7.6631189606246319687 .26488482409725537432 正12面体
10[4,6,6] 11.313708498984760390 .26714660435951728843 切頂8面体
17[3,10.10] 85.039664559370881555 .28357244272513111635 切頂12面体
08[3,4,4,4] 8.7140452079103168293 .29020161976540567443 斜方立方8面体
11[3,5,3,5] 13.835525936249404140 .29177746148573240569 20･12面体
15[4,6,8] 41.798989873223330683 .29204644275242737893 斜方切頂立方8面体
07[3,3,3,3,4] 7.8894773999753902065 .29569293125824584423 変形立方体
16[5,6,6] 55.287730758122739236 .30728699928946831009 切頂20面体
18[4,6,10] 206.80339887498948482 .31204912568703815221 斜方切頂20･12面体
14[3,4,5,4] 41.615323782497967065 .31425027959029074381 斜方20･12面体
13[3,3,3,3,5] 37.616649962733362976 .31560443511658907556 変形12面体
2013年8月11日
17[3,10,10] 多面体
[3,10,10]の双対多面体 Triakis Icosahedron 三方20面体 の製作途中です。
下の画像にある これらの部品全てを結合させると 一個の立体が完成します。
3,10形稜部品 60個を全て三叉の結合部品にします。
三叉の結合部品に 10,10形稜部品を三方から囲んた形が基本形状です。
3,10形稜部品は 隣の３角形状と共有部品なので
三叉の結合部品に一つの10,10形稜部品をつけたのを基本 unitとしています。
下画像の中心手前がTriakis Icosahedron 三方20面体です。
右端の[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体と形状に 共通なところが見られます。
2013年8月9日
17[3,10,10] 多面体
[3,10,10] の製作途中です。
稜寸は同じな 二種類の稜部品で作っています。
10角形 二面に接する稜部品 (10,10形) 30個
3角形と10角形の二面に接する稜部品 ( 3,10形) 60個が必要です。
どちらの稜部品の仰角も 9.69度 (041/240)であり
三角形用接合角は 30.48度(103/175) 十角形用接合角は 74.76度(246/067)です。
3,10形稜部品で 三角形稜部品 20個作り 10,10形稜部品でそれらをつなげてゆきます。
下の 画像を参考にしてください。これは一つの方法です。
完成しました。相当ラフな作りになってしまいました。
[5,5,5] Dodecahedron も一緒に撮っています。
2013年8月3日
17[3,10,10] 多面体 諸量
下画像左が [3,10,10] Truncated Dodecahedron 切頂12面体です。
右の [5,5,5] Dodecahedron の頂をカットし３角の面を増やした形です。
[3,10,10] とその双対の Triakis Icosahedron 三方20面体の諸量を載せておきます。
17 [3,10,10] Truncated Dodecahedron 切頂12面体 (稜寸=1として)
17 .98572191928130191461 [3,10,10]基本数
17 9.6937238953148144071 [3,10,10]仰角( 041/240 )
17 2.9694490158633984670 [3,10,10]頂芯寸( 193/065 )
17 2.9270509831248422723 [3,10,10]稜芯寸( 161/055 )
17 74.759837717322162346 [3,10,10]10 接合角( 246/067 )
17 30.480324565355675308 [3,10,10] 3 接合角( 103/175 )
17 2.4898982848827802734 [3,10,10]10 面芯寸( 249/100 )
17 2.9127811665964150056 [3,10,10] 3 面芯寸( 201/069 )
17 100.99076015310198854 [3,10,10]面積
17 85.039664559370881555 [3,10,10]体積
17 58.282525588538994676 [3,10,10]10 面角
17 84.340106270811309681 [3,10,10] 3 面角
17 116.56505117707798935 [3,10,10]10,10 面角
17 142.62263185935030436 [3,10,10] 3,10 面角
17 [3,10,10]10,10形稜部品 必要個数 30
17 [3,10,10] 3,10形稜部品 必要個数 60
17 双対[3,10,10]Triakis Icosahedron 三方20面体
17 2.9270509831248422723 双[3,10,10]稜芯寸
17 160.61255220937037119 双[3,10,10]二面角
17 2.8852583129200411870 双[3,10,10]面芯寸( 176/061 )
17 31.717474411461005324 双[3,10,10]10 仰角( 144/233 )
17 5.6598937291886903186 双[3,10,10] 3 仰角( 022/222 )
17 1.8090169943749474241 双[3,10,10]10 稜寸( 161/089 )
17 .29008936414773205235 双[3,10,10] 3 稜寸( 038/131 )
17 30.480324565355675308 双[3,10,10]10 かど角
17 119.03935086928864938 双[3,10,10] 3 かど角
17 3.4409548011779338455 双[3,10,10]10 頂芯寸( 234/068 )
17 2.9413907079821512843 双[3,10,10] 3 頂芯寸( 250/085 )
17 115.56968556618976742 双[3,10,10]面積
17 111.14946533380144110 双[3,10,10]体積
17 18.000000000000000000 双[3,10,10]10 接合角/2( 077/237 )
17 60.000000000000000000 双[3,10,10] 3 接合角/2( 194/112 )
17 3.6180339887498948482 双[3,10,10]10,10稜寸( 199/055 )
17 2.0991063585226794765 双[3,10,10] 3,10稜寸( 233/111 )
17 1.2539722951489373231 双[3,10,10]10,10稜寸/面芯寸( 158/126 )
17 .72752805151725482817 双[3,10,10] 3,10稜寸/面芯寸( 179/246 )
17 双[3,10,10]10,10形稜部品 必要個数 30
17 双[3,10,10] 3,10形稜部品 必要個数 60
2013年8月1日
BASIC prism 多面体 諸量
下画像の 手前右が[4,4,5]正五角柱で 左がその双対です。
正多角柱 uniform prisms とその双対の 一般解を求める BASIC プログラムです。
OPTION ANGLE DEGREES ! [ 4,4,n] Archimedean solid
LET b001=5 ! 5 角数を指定 今は 5
LET b002=360/b001 ! 72 360/角数
LET b003=.5/SIN(b002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET b004=.5/TAN(b002/2) ! .688190960235587 四角面芯寸
LET b005=SQR((SQR(2)/2)^2+b004^2) ! .986715155325983 外接球半径
LET b006=SQR(b005^2-.5^2) ! .85065080835204 稜芯寸
LET b007=ASIN(.5/b005) ! 30.4463843170652 仰角
LET b008=COS(b007) ! .862103722396976 角錐底かど・心
LET b009=ASIN(SQR(2)/2/b008) ! 55.1059009029448 4角接合角
LET b010=(360-b009*2*2)/2 ! 69.7881981941104 5角接合角
LET b011=ASIN(b004/b003) ! 54 4面角 5双仰角
LET b012=ACOS(b004/b003) ! 36 5面角 4双仰角
LET b013=.5/COS(b012) ! .618033988749895 双4稜寸
LET b014=b004/COS(b011) ! 1.17082039324994 双5稜寸
LET b015=b013*2 ! 1.23606797749979 双4,4稜寸
LET b016=b013+b014 ! 1.78885438199984 双4,5稜寸
LET b017=360/4/2 ! 45 双4接合角/2
LET b018=360/b001/2 ! 36 双5接合角/2
LET b019=b006/COS(b012) ! 1.05146222423827 4 頂芯寸
LET b020=b006/COS(b011) ! 1.44721359549996 5 頂芯寸
PRINT "正";b001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", b003
PRINT "頂芯寸 = ", b005
PRINT "稜芯寸 = ", b006
PRINT "仰角 =",b007
PRINT "片面 4 角形接合角 =",b009
PRINT "片面";b001;"角形接合角 =",b010
PRINT " "
PRINT "正";b001;"角柱双対"
PRINT " 4 稜寸 = ",b013
PRINT b001;"稜寸 = ",b014
PRINT " S 稜寸 = ",b015
PRINT " L 稜寸 = ",b016
PRINT " S / L ",b015/b016
PRINT " 4 角接合角/2 =", b017
PRINT b001;"角接合角/2 =", b018
PRINT " 4 角仰角 = ", b012
PRINT b001;"角仰角 = ", b011
PRINT " 4 頂芯寸 = ", b019
PRINT b001;"頂芯寸 = ",b020
END ! プログラム終わり
計算数値の整数比
30.446 = 077/131
55.106 = 195/136
69.788 = 201/074
.69098 = 161/233 = S / L
45.000 = 180/180
36.000 = 178/245
54.000 = 245/178
2013年7月30日
prism 多面体 諸量
“辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 反角柱 antiprism の
双対多面体の長さはいくらか？” という問題について お伝えします。
私は 15桁を越す数値計算には 多倍長電卓LM というフリーウエアーを用いています。
( 参照 URL=http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html )
以下がそれで作ったプログラムです。C言語的なソフトです。
//--------------コピー開始------------------
a1=40075*1000*100; // n角形を指定 約40,075 km
b1= pi*2/a1; // 360/角数
c1=0.5/sin(b1/2); // 外接円柱半径
d1=0.5*tan(b1/4); // n角の辺・心寸
e1=sqrt(3)/2; // 3角かど・辺寸
f1=sqrt(e1^2-d1^2); // 3角かど・辺寸 軸面投影
g1=sqrt((f1/2)^2+c1^2); // 外接球半径
h1=0.5/g1; // 角錐高
i1=asin(h1); // 稜仰角
j1=g1*cos(i1); // 稜芯寸
k1=pi*2/a1/2; // 双n接合角/2
l1=0.5/tan(k1); // 双n辺心寸
m1=asin(l1/j1); // 双n仰角
n1=j1/cos(m1); // n頂芯寸
print "";
print "[3,3,3,4007500000] dual polyhedron";
print "";
print "n頂芯寸";
print n1;
print "";
print "光年"; // 9 460 730 472 580 800 m
print n1*2/(9460730472580800*100);
//------------コピー終わり------------------
以下が 20桁指定での計算結果です
[3,3,3,4007500000] dual polyhedron
n頂芯寸
= 939478161669236009.35
光年
= 1.9860584008645899692
2013年7月28日
BASIC prism 多面体
[3,3,3,5] 反角柱 antiprism 諸量計算の BASIC のプログラムを載せておきます。
このプログラムは [3,3,3,5] の諸量計算ですが 角数を変えることで
色々な角数て計算出来ます。
角数を大きくすればするほど 双対多面体の長方向の寸法が格段に大きくなります。
そこで 辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 双対多面体の長さはいくらかと
計算させると エラーになってしまいました。桁数が 大きすぎました。
約 4007500000 角形です。
別のソフトで計算すると 約二光年弱 (1.9861) の長さになりました。
このプログラムについては 次回にお伝えしようかと思っています。
! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! ------------------------------------------------------------
LET a001=5 ! 5 角数入力
! ------------------------------------------------------------
LET a002=360/a001 ! 72 360/角数
LET a003=.5/SIN(a002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET a004=.5*TAN(a002/4) ! .162459848116453 5角の辺・心寸
LET a005=SQR(3)/2 ! .866025403784439 3角かど・辺寸
LET a006=ASIN(a004/a005) ! 10.8123169635717 3角面仰角
LET a007=SQR(a005^2-a004^2) ! .85065080835204 3角かど・辺寸 軸面投影
LET a008=SQR((a007/2)^2+A003^2) ! .951056516295154 外接球半径
LET a009=COS(a002/2) ! .809016994374947 二等辺三角の底寸/2
LET a010=.5/A008 ! .525731112119133 角錐高
LET a011=ASIN(a010) ! 31.717474411461 稜仰角
LET a012=SQR(1-a010^2) ! .85065080835204 三角錐底のかど・心寸
LET a013=a008*COS(a011) ! .809016994374948 稜芯寸
LET a014=ASIN(a009/a012) ! 71.9999999999999 5角形接合角
LET a015=(360-a014*2)/3/2 ! 36 3角形接合角
LET a016=360/3/2 ! 60 双3接合角/2
LET a017=.5/TAN(a016) ! .288675134594813 双3辺心寸
LET a018=ASIN(a017/a013) ! 20.9051574478893 双3仰角
LET a019=a017/COS(a018) ! .309016994374948 双3稜寸
LET a020=360/a001/2 ! 36 双5接合角/2
LET a021=.5/TAN(a020) ! .688190960235587 双5辺心寸
LET a022=ASIN(a021/a013) ! 58.282525588539 双5仰角
LET a023=a021/COS(a022) ! 1.30901699437495 双5稜寸
LET a024=a013/COS(a018) ! .866025403784439 3頂芯寸
LET a025=a013/COS(a022) ! 1.53884176858763 5頂芯寸
PRINT "反";a001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", a003
PRINT "頂芯寸 = ", a008
PRINT "稜芯寸 = ", a013
PRINT "仰角 =",a011
PRINT "片面 3 角形接合角 =",a015
PRINT "片面";a001;"角形接合角 =",a014
PRINT " "
PRINT "反";a001;"角柱双対"
PRINT " 3 稜寸 = ",a019
PRINT a001;"稜寸 = ",a023
PRINT " S 稜寸 = ",a019*2
PRINT " L 稜寸 = ",a019+a023
PRINT " S / L ",a019*2/(a019+a023)
PRINT " 3 角接合角/2 =", a016
PRINT a001;"角接合角/2 =", a020
PRINT " 3 角仰角 = ", a018
PRINT a001;"角仰角 = ", a022
PRINT " 3 頂芯寸 = ", a024
PRINT a001;"頂芯寸 = ",a025
END
! コピー終わり
2013年7月25日
prism 多面体
下左の画像は[3,3,3,5] 反角柱の 双対多面体です。
下右の画像は
[3,3,3,5] 反角柱と諸量に共通なものがみられる[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体と
双対関係にある正十二面体 [5,5,5] Dodecahedronです。
この二つの 諸量にも共通点がみられます。
もとの多面体の稜寸を 1としたときの諸量です。
[3,3,3,5] dual polyhedron 反正５角柱双対
.30901699437494742410 [3,3,3,5]双対 3稜寸( 072/233 )
1.3090169943749474241 [3,3,3,5]双対 5稜寸( 233/178 )
.61803398874989484820 [3,3,3,5]双対 S稜寸( 144/233 )
1.6180339887498948482 [3,3,3,5]双対 L稜寸( 233/144 )
.38196601125010515180 [3,3,3,5]双対 S / L( 089/233 )
20.905157447889299033 [3,3,3,5]双対 3仰角( 089/233 )
58.282525588538994676 [3,3,3,5]双対 5仰角( 233/144 )
60.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 3接合角/2( 194/112 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 5接合角/2( 178/245 )
.86602540378443864676 [3,3,3,5]双対 3頂芯寸
1.5388417685876267013 [3,3,3,5]双対 5頂芯寸
[3,3,3,5]双対 S稜部品 必要個数 10
[3,3,3,5]双対 L稜部品 必要個数 10
2013年7月25日
prism 多面体 諸量
準正多面体でありながら アルキメデス多面体の仲間として言及されることが少ない
多面体についてお伝えします。
今回は [3,3,3,5] 反角柱 antiprism です。
一辺の寸法が同一で角数も同一の二つの正多角形の面があり
それらの多角形の中心点を垂直に通る軸を共有し
一つの面の辺と他の面のかどとが 正三角形になるような稜でできた多面体です。
一つの面の辺と他の面の辺 とが 正四角形になるような稜でできた多面体は
正角柱といいます。
正多角形の角数は無限にあり 角数が増えると 円に近い正多角形の薄い板になります。
美的には評価できず アルキメデス多面体から仲間はずれになった大きな理由でしょう。
下の左の画像が [3,3,3,5] 反角柱で 右が諸量の値がよく似ている
[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体です。
[3,3,3,5] antiprism 反正５角柱
1.0000000000000000000 [3,3,3,5]稜寸
.85065080835203993218 [3,3,3,5]基本数
31.717474411461005324 [3,3,3,5]仰角( 144/233 )
.85065080835203993218 外接円柱半径
.95105651629515357212 [3,3,3,5]頂芯寸( 136/143 )
.80901699437494742410 [3,3,3,5]稜芯寸( 144/178 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]3 接合角/2( 178 / 245 )
72.000000000000000000 [3,3,3,5]5 接合角/2( 237 / 077 )
[3,3,3,5] 3 3 個数 10
[3,3,3,5] 3 5 個数 10
2013年7月24日
04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体
04[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
09[5,5,5] Dodecahedron 正12面体 とその複合多面体 compounds の諸量をお伝えします。
04 [3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
04 1.0000000000000000000 [3,3,3,3,3]稜寸
04 .85065080835203993218 [3,3,3,3,3]基本数
04 31.717474411461005324 [3,3,3,3,3]仰角( 144/233 )
04 .95105651629515357212 [3,3,3,3,3]頂芯寸( 136/143 )
04 .80901699437494742410 [3,3,3,3,3]稜芯寸( 144/178 )
04 36.000000000000000000 [3,3,3,3,3]片接合角( 178/245 )
04 .75576131407617073048 [3,3,3,3,3]面芯寸( 164/217 )
04 8.6602540378443864676 [3,3,3,3,3]面積
04 2.1816949906249123735 [3,3,3,3,3]体積
04 69.094842552110700967 [3,3,3,3,3]片面角( 233/089 )
04 138.18968510422140193 [3,3,3,3,3]ニ面角
04 [3,3,3,3,3] 稜部品 必要個数 30
09 [5,5,5] Dodecahedron 正12面体
09 1.0000000000000000000 [5,5,5]稜寸
09 .93417235896271569645 [5,5,5]基本数
09 20.905157447889299033 [5,5,5]仰角( 089/233 )
09 1.4012585384440735447 [5,5,5]頂芯寸( 220/157 )
09 1.3090169943749474241 [5,5,5]稜芯寸( 233/178 )
09 60.000000000000000000 [5,5,5]片接合角( 194/112 )
09 1.1135163644116067352 [5,5,5]面芯寸( 157/141 )
09 20.645728807067603073 [5,5,5]面積
09 7.6631189606246319687 [5,5,5]体積
09 58.282525588538994676 [5,5,5]片面角( 233/144 )
09 116.56505117707798935 [5,5,5]ニ面角
09 [5,5,5] 稜部品 必要個数 30
[3,3,3,3,3]+[5,5,5] compounds 複合多面体制作に必要な諸量
.61803398874989484820 [3,3,3,3,3] 0.5稜寸/稜芯寸( 144/233 )
.38196601125010515180 [5,5,5] 0.5稜寸/稜芯寸( 089/233 )
[3,3,3,3,3] 稜部品 必要個数 60
[5,5,5] 稜部品 必要個数 60
2013年2月14日
02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体
02[3,3,3,3] Octahedron 正八面体と
03[4,4,4] Hexahedron 正六面体 と
その複合多面体 compounds の諸量をお伝えします。
02 [3,3,3,3] Octahedron 正8面体
02 1.0000000000000000000 [3,3,3,3]稜寸
02 .70710678118654752440 [3,3,3,3]基本数
02 45.000000000000000000 [3,3,3,3]仰角( 180/180 )
02 .70710678118654752440 [3,3,3,3]頂芯寸( 169/239 )
02 .50000000000000000000 [3,3,3,3]稜芯寸( 125/250 )
02 45.000000000000000000 [3,3,3,3]片面接合角( 180/180 )
02 .40824829046386301637 [3,3,3,3]面芯寸( 089/218 )
02 3.4641016151377545871 [3,3,3,3]面積
02 .47140452079103168293 [3,3,3,3]体積
02 54.735610317245345685 [3,3,3,3]片面角( 239/169 )
02 109.47122063449069137 [3,3,3,3]二面角( 198/070 )
02 [3,3,3,3] 稜部品 必要個数 12
03 [4,4,4] Hexahedron 正6面体
03 1.0000000000000000000 [4,4,4]稜寸
03 .81649658092772603273 [4,4,4]基本数
03 35.264389682754654315 [4,4,4]仰角( 169/239 )
03 .86602540378443864676 [4,4,4]頂芯寸( 168/194 )
03 .70710678118654752440 [4,4,4]稜芯寸( 169/239 )
03 60.000000000000000000 [4,4,4]片接合角( 194/112 )
03 .50000000000000000000 [4,4,4]面芯寸( 125/250 )
03 6.0000000000000000000 [4,4,4]面積
03 1.0000000000000000000 [4,4,4]体積
03 45.000000000000000000 [4,4,4]片面角( 180/180 )
03 90.000000000000000000 [4,4,4]ニ面角
03 [4,4,4] 稜部品 必要個数 12
03 [4,4,4] Hexahedron 正6面体制作に用いる
cradleを作るのに必要な諸量は 45度の角度のみですみます。
[3,3,3,3]+[4,4,4] の複合多面体 制作に必要な諸量
稜芯寸を同一にするため 稜寸は異なります。
1.0000000000000000000 [3,3,3,3] の稜寸の半分/稜芯寸( 180/180 )
.70710678118654752440 [4,4,4] の稜寸の半分/稜芯寸( 169/239 )
[3,3,3,3] 稜部品 必要個数 24
[4,4,4] 稜部品 必要個数 24
2013年2月14日
01[3,3,3] 05[3,4,3,4] Compounds 多面体
前回 05 [3,4,3,4] の複合多面体 compounds の 諸量と
その元になる準正多面体と双対多面体の諸量をお伝えしました。
説明見本製作の 進展にあわせ 気づいたことなどを お伝えしようとしています。
複合多面体は少しマニアックでしょうし 関心度は低いと思いますので ゆっくり進めてゆきます。
そこで 多面体制作について お伝えしていった中で不十分であったと想われることを
改めて 掲載しようかなと思っています。
私がブログで載せて伝えようと思っていた多面体は
諸量のリストで上げている18種類です。
18種類に限定していることと
形状がわかる名称 ( [3,5,3,5]など ) を用いているためこれからは
正多面体と 準正多面体を区別せず 多面体という用語を用いようと思います。
ただ 表題にのみ
プラトンとかアルキメデスという名称も 使用しようかと思っています。
Platonic solid は プラトン多面体で 正多面体、
Archimedean solid は アルキメデス多面体で 準正多面体に 対応します。
ここで取り上げる一つの種類とは 多面体 双対多面体 そしてそれらの 複合多面体が含まれます。
今回は 01 [3,3,3] についてです。
01 [3,3,3] Tetrahedron 正4面体
01 1.0000000000000000000 [3,3,3]稜寸
01 .57735026918962576451 [3,3,3]基本数
01 54.735610317245345685 [3,3,3]仰角( 239/169 )
01 .61237243569579452455 [3,3,3]頂芯寸( 109/178 )
01 .35355339059327376220 [3,3,3]稜芯寸( 070/198 )
01 60.000000000000000000 [3,3,3]片面接合角( 194/112 )
01 .20412414523193150818 [3,3,3]面芯寸( 50/245 )
01 1.7320508075688772935 [3,3,3]面積
01 .11785113019775792073 [3,3,3]体積
01 35.264389682754654315 [3,3,3]片面角( 169/239 )
01 70.528779365509308631 [3,3,3]二面角( 198/070 )
01 .81649658092772603273 [3,3,3]面芯寸+頂芯寸( 178/218 )
01 [3,3,3] 稜部品 必要個数 6
01 [3,3,3] の双対多面体も [3,3,3]です。
複合多面体は 2012年6月8日 に説明しました Stella octangula 星型八面体です。
同じ寸法の稜部品を 中心で直角にクロスさせた unit を 6個結合すれば完成します。
ダイヤモンド結晶のカテゴリーで説明している立体も 01 [3,3,3] の仲間です。
2013年2月9日
05[3,4,3,4] Compounds 多面体 組物
[3,4,3,4] の複合多面体 compounds についてお伝えする前に その前提となる
Cuboctahedron 立方8面体と
その双対の Rhombic Dodecahedron 菱形12面体の諸量をまとめて表示しておきます。
この二つの製作方法については 既にお伝えしています。
05 [3,4,3,4] Cuboctahedron 立方8面体
05 .86602540378443864676 [3,4,3,4]基本数
05 30.000000000000000000 [3,4,3,4]仰角( 112/194 )
05 1.0000000000000000000 [3,4,3,4]頂芯寸( 180/180 )
05 .86602540378443864676 [3,4,3,4]稜芯寸( 168/194 )
05 54.735610317245345685 [3,4,3,4]4 接合角( 239/169 )
05 35.264389682754654315 [3,4,3,4]3 接合角( 169/239 )
05 .81649658092772603273 [3,4,3,4]3 面芯寸( 178/218 )
05 .70710678118654752440 [3,4,3,4]4 面芯寸( 169/239 )
05 9.4641016151377545871 [3,4,3,4]面積
05 2.3570226039551584147 [3,4,3,4]体積
05 54.735610317245345685 [3,4,3,4]4 面角( 239/169 )
05 70.528779365509308631 [3,4,3,4]3 面角( 198/070 )
05 125.26438968275465432 [3,4,3,4]二面角
05 [3,4,3,4] 稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4] Rhombic Dodecahedron 菱形12面体
05 120.00000000000000000 双[3,4,3,4]二面角
05 .75000000000000000000 双[3,4,3,4]面芯寸( 180/240 )
05 35.264389682754654315 双[3,4,3,4]4 仰角( 169/239 )
05 19.471220634490691369 双[3,4,3,4]3 仰角( 070/198 )
05 .61237243569579452455 双[3,4,3,4]4 稜寸( 109/178 )
05 .30618621784789726227 双[3,4,3,4]3 稜寸( 064/209 )
05 70.528779365509308631 双[3,4,3,4]4 かど角
05 109.47122063449069137 双[3,4,3,4]3 かど角
05 1.0606601717798212866 双[3,4,3,4]4 頂芯寸( 175/165 )
05 .91855865354369178682 双[3,4,3,4]3 頂芯寸( 124/135 )
05 9.5459415460183915794 双[3,4,3,4]面積
05 2.3864853865045978949 双[3,4,3,4]体積
05 45.000000000000000000 双[3,4,3,4]4 接合角/2( 180/180 )
05 60.000000000000000000 双[3,4,3,4]3 接合角/2( 194/112 )
05 .91855865354369178682 双[3,4,3,4]稜寸( 124/135 )
05 1.2247448713915890491 双[3,4,3,4]稜寸/面芯寸( 218/178 )
05 双[3,4,3,4] 稜部品 必要個数 24
05 [3,4,3,4]compounds 複合多面体 作成に必要な諸量
05 .57735026918962576451 複[3,4,3,4]0.5/稜芯寸( 112/194 )
05 .35355339059327376220 複[3,4,3,4]3形 稜寸/稜芯寸( 070/198 )
05 .70710678118654752440 複[3,4,3,4]4形 稜寸/稜芯寸( 169/239 )
05 [3,4,3,4]3,4形稜部品 必要個数 24
05 [3,4,3,4]3,4形と鏡面対称な稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4]4形稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4]3形稜部品 必要個数 24
2013年2月5日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 未分類
もう少しの頑張りです。
[3,4,4,4]複合多面体 compounds が やっとできました。
左の多面体が [3,4,4,4]準正多面体で その横が [3,4,4,4]双対多面体です。
私はここで 準正多面体という用語を用いていますが、日本語の Wikipediaでは、
半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) であり、
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである。
とし、論証として 以下を 挙げています。
自分で自分の首を絞めた話
～ 準正多面体と半正多面体 ～
京都大学名誉教授
工学博士 宮崎 興二
http://www.zome.jp/column/clm7/clm7.html
これだけの論証で 誤りと言い切れるのかと 驚いています。
この用語説明があるからといって 半正多面体という用語を使う気持ちはありません。
準正多面体という 翻訳用語もあまり好きではないのですが。
ギリシャ文化に起源をもつ多面体についての 日本語の書籍はきわめて少ないと思います。
和魂洋才 のもとに進められた 近代化への文化吸収では 洋魂扱いだったのでしょうか
イスラムやヨーロッパやアメリカの 思い入れとは大きく違うようです。
次回は 05 [ 3,4,3,4 ] Cuboctahedron 立方八面体 の複合多面体について
お伝えしようかと 思っています。
2013年2月4日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds 製作の 基本 unit 二種類とその複合体です。
左の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 4角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を縦方向に 4角形と 4角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unit です。
これを 4,4形 unit とします。
右の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 3角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を 上の4角形と 下の3角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unitです。
これを 4,3形 unit とします。
これらの unit を組み合わせた 二種類の複合体の画像を載せています。
どちらも 複合多面体の構成要素となるものです。
一つは 4,3形 unit を三つ組み合わせたものであり
もう一つは 4,4形 と 4,3形 を交互に組み合わせたものです。
今回は 4,4形 と 4,3形の 複合体の組合せで 立体を完成させようと思っています。
完成に近づいています。
2013年2月3日
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