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Excelで双対多面体諸量計算 3

Excel 多面体 諸量

原点に戻って 四角棒で作る 手芸木工 を今年のテーマにしようと思っています。

上の画像は既に掲載しているものですが 二十年ほど前に作った私の作品の一部です。
思ったイメージを形にしたいという意気込みで かなり熱をいれて作った記憶があります。
いい思い出です。

でも これらの作品の形状維持はあと数年で終わりそうです。
一部のものはすでにバラバラです。
なぜかというと
部材の接着に 合成ゴム系ボンドを使用していて 劣化が進行しているからです。
合成ゴム系ボンドは 可塑性という性質があり 全体構築までに 支えを必要としませんでした。

これからは 木工用ボンドや デンプン質の接着剤を使って 作業方法を考えてゆきます。
でも 部分の正確な形状維持から 全体へという 難度の高い作業が必要です。

原点に戻るためには これを回避するわけにはゆきません。
以下は 部分形状維持に 必要となってくる 面角計算の エクセルデータです。
2018年1月8日に載せた簡略版に追加したものです。

角数 S角数 M角数 L頂芯寸
11 [3,5,3,5]350=SQRT(1/2*(3+SQRT(5)))SM
多角形の辺の中点に かどが接する相似多角形 (内多角形)の諸量
角数辺心寸稜芯寸面芯寸面角角数内辺寸/2内辺心寸内かど開き寸/2
=B2=0.5/TAN(PI()/B5)=SQRT(E2^2-0.5^2)=SQRT(D5^2-C5^2)=DEGREES(ATAN(E5/C5))=B2=0.5*COS(PI()/B5)=I5/TAN(PI()/B5)=I5*2*COS(PI()/B5)
=C2=IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/B6),"")=IF(B6>0,D5,"")=IF(B6>0,SQRT(D6^2-C6^2),"")=IF(B6>0,DEGREES(ATAN(E6/C6)),"")=C2=IF(B6>0,0.5*COS(PI()/B6),"")=IF(B6>0,I6/TAN(PI()/B6),"")=IF(B6>0,I6*2*COS(PI()/B6),"")
=D2=IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/B7),"")=IF(B7>0,D6,"")=IF(B7>0,SQRT(D7^2-C7^2),"")=IF(B7>0,DEGREES(ATAN(E7/C7)),"")=D2=IF(B7>0,0.5*COS(PI()/B7),"")=IF(B7>0,I7/TAN(PI()/B7),"")=IF(B7>0,I7*2*COS(PI()/B7),"")
双稜寸仰角接合角/2=A2&"双対 稜寸"開き角/2開き寸二面角
双稜 S=C5*D5/E5=DEGREES(ASIN(C5/D5))=360/B5/2=F2=IF(F10="SS",B10*2,B10+B11)=ASIN(I5/B10)=I5*2*COS(I10)=DEGREES(ASIN(K5/J10)*2)
双稜 M=IF(B6>0,C6*D6/E6,"")=IF(B6>0,DEGREES(ASIN(C6/D6)),"")=IF(B6>0,360/B6/2,"")=IF(G2="","",G2)=IF(F11="MM",B11*2,IF(F11="SM",B10+B11,IF(F11="ML",B11+B12,IF(F11="SL",B10+B12,""))))=IF(B6>0,ASIN(I6/B11),"")=IF(B6>0,I6*2*COS(I11),"")=IF(B6>0,DEGREES(ASIN(K5/J10)*2),"")
双稜 L=IF(B7>0,C7*D7/E7,"")=IF(B7>0,DEGREES(ASIN(C7/D7)),"")=IF(B7>0,360/B7/2,"")=IF(H2="","",H2)=IF(F12="ML",B11+B12,"")=IF(B7>0,ASIN(I7/B12),"")=IF(B7>0,I7*2*COS(I12),"")=IF(B7>0,DEGREES(ASIN(K6/J11)*2),"")

Excel で整数比変換

Excel 多面体 諸量

前回 エクセルでの [3,5,3,5]双対多面体 の諸量計算を載せました。
以下がその計算結果です。

	    角数 S     角数 M    角数 L	   頂芯寸		
11 [3,5,3,5]	    3	      5         0  1.618034 SM	
						
	    角数       辺心寸    稜芯寸     面芯寸		
                    3  0.288675  1.538842  1.511523		
	            5  0.688191  1.538842  1.376382		
                    0							
	    双稜寸       仰角      接合角/2          11 [3,5,3,5]双対 稜寸	
双稜 S	     0.293893  10.81232        60           SM          1.063314
双稜 M	     0.769421  26.56505        36			
双稜 L						
双対多面体の諸量計算は 元の多面体を基準として計算します。( 稜寸 = 1として )
元の多面体[3,5,3,5] は 三角形と 五角形の二つの正多角形で形ができているので
角数 S = 3 角数 M = 5 角数 L = 0 で 頂芯寸 = 1.618034 を 入力しています。

このブログでは計算数値を 部材製作に必要な 角度や 寸法比を 整数での比率表示に
変換したデータをもとに 作業をしています。
その変換する方法を 既に幾度か載せていますが その改良版をお伝えします。
以下です。
A 列 1 行目に 色付けした範囲を copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
=IF(G5>I2,TAN(RADIANS(G5)),G5)=SMALL(E2:E81,1)縦寸横寸境界数値桁数
=IF(ROUNDDOWN(H2*D1,0)>G2,G2,ROUNDDOWN(H2*D1,0))=A2/$D$1=ROUND(B2,0)=A2/C2=ROUND(ABS($D$1-D2),$J$2)=IF(E2=$E$1," "&A2&"/"&C2,"")21029755
=IF((A2-1)>0,A2-1,1)=A3/$D$1=ROUND(B3,0)=A3/C3=ROUND(ABS($D$1-D3),$J$2)=IF(E3=$E$1," "&A3&"/"&C3,"")
=IF((A3-1)>0,A3-1,1)=A4/$D$1=ROUND(B4,0)=A4/C4=ROUND(ABS($D$1-D4),$J$2)=IF(E4=$E$1," "&A4&"/"&C4,"")="角度 ( >"&I2&" ) か 値 ("&I2&"以下) を入力"
=IF((A4-1)>0,A4-1,1)=A5/$D$1=ROUND(B5,0)=A5/C5=ROUND(ABS($D$1-D5),$J$2)=IF(E5=$E$1," "&A5&"/"&C5,"")10.8123169635717
5 行目の A 列 から F 列 までを範囲指定し セルの右下にポインタを合わせ 81 行目まで「+」をドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。 81 行目まで とは E 列 1 行目 で =SMALL(E2:E81,1) とし E81 で 81 行目までを指定しているためです。 G列5行 に 5 より大の 角度か 5 以下の数値を入れてください。 I列2行 で 境界数値として 5 を指定しています( D列1行に反映 )。 G列2行に 用紙の縦寸 H列2行に 横寸 J列2行に 算出誤差比較( E列 )のための桁数を 入力してください。

Excelで双対多面体諸量計算 2

11[3,5,3,5] Excel 多面体 諸量

四角棒で作る 手芸木工の手始めとして [3,5,3,5] 双対多面体を考えています。
下の画像右です。左は しつこいほど取り上げている多面体です。



双対多面体 稜部品製作 のための Excel データを載せておきます。
これは Excelで双対多面体諸量計算 として既にお伝えしているものの 三つ目です。
双対多面体の諸量を求める Excel 画面 の簡略版です。


1 行目 A 列に として copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
角数 S 角数 M 角数 L 頂芯寸
11 [3,5,3,5] 3 5 0 =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) SM
角数 辺心寸 稜芯寸 面芯寸
=B2 =0.5/TAN(PI()/B5) =SQRT(E2^2-0.5^2) =SQRT(D5^2-C5^2)
=C2 =IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/B6),"") =IF(B6>0,D5,"") =IF(B6>0,SQRT(D6^2-C6^2),"")
=D2 =IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/B7),"") =IF(B7>0,D5,"") =IF(B7>0,SQRT(D7^2-C7^2),"")
双稜寸 仰角 接合角/2 =A2&"双対 稜寸"
双稜 S =C5*D5/E5 =DEGREES(ASIN(C5/D5)) =360/B5/2 =F2 =IF(F10="SS",B10*2,B10+B11)
双稜 M =IF(B6>0,C6*D6/E6,"") =IF(B6>0,DEGREES(ASIN(C6/D6)),"") =IF(B6>0,360/B6/2,"") =IF(G2="","",G2) =IF(F11="MM",B11*2,IF(F11="SM",B10+B11,IF(F11="ML",B11+B12,IF(F11="SL",B10+B12,""))))
双稜 L =IF(B7>0,C7*D7/E7,"") =IF(B7>0,DEGREES(ASIN(C7/D7)),"") =IF(B7>0,360/B7/2,"") =IF(H2="","",H2) =IF(F12="ML",B11+B12,"")
角数 S 角数 M 角数 L 頂芯寸
01 [3,3,3] 3 0 0 =SQRT(3/2)/2 SS
02 [3,3,3,3] 3 0 0 =1/SQRT(2) SS
03 [4,4,4] 4 0 0 =SQRT(3)/2 SS
04 [3,3,3,3,3] 3 0 0 =COS(PI()/10) SS
05 [3,4,3,4] 3 4 0 1 SM
06 [3,6,6] 3 6 0 =SQRT(11/2)/2 SM MM
07 [3,3,3,3,4] 3 4 0 =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) SS SM
08 [3,4,4,4] 3 4 0 =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) SM MM
09 [5,5,5] 5 0 0 =COS(PI()/5)*SQRT(3) SS
10 [4,6,6] 4 6 0 =SQRT(5/2) SM MM
11 [3,5,3,5] 3 5 0 =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) SM
12 [3,8,8] 3 8 0 =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) SM MM
13 [3,3,3,3,5] 3 5 0 =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) SS SM
14 [3,4,5,4] 3 4 5 =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) SM ML
15 [4,6,8] 4 6 8 =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) SM SL ML
16 [5,6,6] 5 6 0 =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) SM MM
17 [3,10,10] 3 10 0 =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) SM MM
18 [4,6,10] 4 6 10 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) SM SL ML

手芸木工

多面体 未分類

久しぶりの投稿です。

エッジの立った三角棒で 多面体をつくる方法の
もろもろを 考えていますが
意気込んで 報告するようなものが 頭に浮かびません。

三角棒は 切ったり削ったりするのには 四角棒より 遥かに容易で
作業性は いいのですが 難点があります。

必要な形状に加工するための 治具の製作に 手こずります。

台座の溝の形状が 直角でなく 鋭いため
精密な角度維持が必要になってきます。
四角棒で作るより よりスキルが要るということです。

原点に戻って 四角棒で作る
手の上に軽く乗る 多面体などの木工 ( 手芸木工と私は名づけています )
についの話題にしようかなと思っています。

手芸 という言葉には 女性の趣味 という印象があります。
手芸店 にゆくと 様々なアイテムが 比較的安価に入手できます。

多面体づくりの 治具や材料に 何か使えるものはないかと
かなり居心地の悪い思いをしながら
店内を物色していることもありました。
ジャンルとしての位置づけが確立していて 種類の多さに圧倒されます。

雑誌や書籍その他 色々な場で 手芸に関しての情報が発信されています。

同じような 男の趣味だと
鉄道模型 プラモデル フィギュアと かなり オタクぽく

木工では 電動工具とセットのイメージが強く
鳥などの カービングも 敷居が高く思えます。

東急ハンズや ロフト ホームセンター などに行っても
手芸木工的なコーナーは あまり見かけません。
書店では 木工関連書籍は 日曜大工か 建築の扱いのようです。

来年のブログのテーマは 原点に戻って 四角棒で作る 手芸木工 にします。

よい お年を !!

四角棒で作るダイヤモンド結晶模型 2

ダイヤモンド結晶 製作道具

今回も 四角棒で作るダイヤモンド結晶模型についてです。

下画像に 5mm 巾の罫線が縦横に入っている 二枚のA4用紙があります。
レポート用紙の一種で 1ミリ方眼の グラフ用紙より 身近にあると思います。
この用紙 ( 210 × 297 ) から
60度 120度 45度 90度 ( 左の用紙で ) や
109.47度 70.53度など ( 右の用紙で ) の角度を得ようしています。

私の作業場は おもにキッチンテーブルなので
ここで用いている 板材は 6mm × 30mm の断面のものを 70mm 巾に
既にカットしておいたものを使用しています。ファルカタ集成材です。
ヒノキの棒材は 5 × 5 × 50 の寸法にしています。

左の縦向けに置いた用紙の 左上かどから 171.5mm 右のところにしるしをつけ
そこから下左かどに 直線を引きます。そして 左右対称に もう一本線を引きます。
この二本の線に囲まれた三角形は 三つのかどが 60度の正三角形になります。
同じA4の別の用紙の短方向の寸法で測ると
この寸法と 線を引いた三角のどちらの辺とも イコールになるはずです。

他の角度を示す 直線は 45度 90度 ですが
直角を挟んで 同寸の辺でできた三角形の角度は 90度と45度と45度なので
一枚の用紙で紙を曲げて
短いほうの辺の寸法のしるしを 長いほうに付けることで得られます。
ですが 一旦 曲げたり折ったりした紙は 均質・平滑な平面に戻すことは 困難です。
精度を落とす作業は少しでも避けるという意味で 二枚の用紙でするようにしています。



上の説明の 縦向きA4用紙でのつづきです。
側面に120度の角度のある 板材と 90度の角度のものがあります。
どちらも 6 × 30 × 70 の板材を 60度 と 45度 で二分割して作っています。
二本の対角線の交わった点を通過する線で 二分すると うまく二分割できます。
実際の作業では 線には幅があったり
理論と現実には 微妙な差があることに その都度実感させられるのですが。

横向きA4用紙でのことについて記します。
中ほど直角側面のある治具は 70.53度の角度で 角棒が接着されています。
この治具に沿って 直角の板を切断すると 19.47度 ( 90 – 70.53 ) の木片ができます。
この治具の 左下に 表示している 三角形二つと 菱形一つが その作業でできます。
この治具の 70.53度以外の角度は 19.47度 ( 90 – 70.53 ) なので
こちらの部分で 三角形部材の 傾斜の整形ができます。

この三角形を二つ合わせて
120度の側面がある治具の 19.47度 右あがりの傾斜をつくっています。

菱形の 鈍角部分の角度は 109.47度になります。あとは 判じ絵です。

くどくどと書いた割に 尻切れですが
思うことが どれだけ伝わっているのかと 心配です。

四角棒で作るダイヤモンド結晶模型

ダイヤモンド結晶 製作道具

45度エッジの多面体製作について 今はこれといった エピソードが浮かびません。
そこで 以前 ダイヤモンド結晶というカテゴリーで お伝えした内容に
重複も含めて 少し補足をします。

109.47 三点角
 54.74 三点角/2   ( 239/169 )
 19.47 仰角       ( 070/198 )
 70.53 仰角の余角 ( 198/070 )
 60.00 接合角/2   ( 194/112 )  諸量としては以上などです。
下画像の模型は 5 × 5 × 25mm のヒノキ材 でできたダイヤモンド結晶模型です。



画像左上は 棒材で作る 固定治具の作り方の説明です。
5×5×50mm のヒノキ材3本と楊枝があります。(マウス左クリックで画面は大きく)

角棒を4本束ねて
断面が正四角形になる状態から1本除いた形に三本を接合した部材と

三本を接合せず 欠けた部分をボンドと1本の楊枝で詰め
接合部分が固化したら
接着していない棒材を取り除き 90度の角度の溝のある 部材を作ります。
これで 三角棒を用いなくてもできる治具を作ります。

左中ほどの治具 ( 左利き用になっています ) は 左から
54.74度の角度をつけて角棒を切断・成形するもので ( 今回は寸法を 25mm にしています )
楊枝で補強した部材を使っています。

そして 三本の角棒で作った部材の溝を下にしたものを二本 54.74度の角度で貼っています。
これで 楊枝で補強した部分を上向きにしても加工ができる台としています。

次は 19.47度の 仰角を持った cradle で 傾斜方向が今までとは逆になっています。
以前の方法より 加工状態の確認が容易で 作業性と正確性が 良くなった気がしています。

画像上の ジグザグ状の部品の説明をします。

25mm にカットした部品の 整形後の両端は
Y字状のエッジのある 三つの面ができています。
左右が均等な状態にして
Y字の上の面を “Y上面” Y字の 左右横面を “Y横面” として説明します。

Y字状のエッジのある 三つの面は本来 対称性があり
どの面どうしで 接合してもいいはずですが
四角柱の部材のため非対称性部分が発生します。

そのため ランダムにしておくより 方向性をもたすほうが
均質な印象を与え 作業もやり易くなると思い
“Y上面” は “Y上面” に との接合方法を 推奨します。

画面上に L字状の接合部材 があり 109.47度の 三点角になっています。
これが 基本となる部材で “Y上面” どうしを接合しておきます。

L字状部材を 二個から三個繫げたものが 写っています。
これらの部材のみを用いて L字状部分の 突出した 山がわ部分どうしを
直角に交差し接合してゆくと 画像にある結晶構造ができます。
右上の一番大きなものの部材はおもに L字状部品が 三つから四つのジグザグです。

結晶模型を平面上に設置するのに 主に二種類のタイプがあります。
2-2タイプと 1-3タイプと名付けているものです。
画像左下の二つが 2-2タイプで
それらを組み合わせると 次の立体になります。1-3タイプの状態です。
この立体を 2-2タイプにして 透明な立方体に収めると
ダイヤモンド結晶の説明でよく出てくる 形状です。

以上が 重複も含めた補足説明ですが
過去に言い足りなかったと思ったことの一部です。

私は 四角棒でつくるダイヤモンド結晶模型が気に入ってます。
もっと 多くの人に知ってもらいたいと思っています。

[3,3,3] 四面体 Tetrahedron と Stella Octangula 再掲

01[3,3,3] Compounds 多面体 製作道具

飴色になっている材 (ラミン) の二種の立体は
既に掲載したことのあるもので 90度のエッジの 稜で構成されています。
それら以外の白っぽい材 (ヒノキ) の立体は
45度のエッジの 棒で作った 四面体 (Tetrahedron) と Stella Octangula です。
これらの立体の面角は 70.53度なので 45度では エッジが立っています。
画像を左クリックすれば 拡大されますが 判別できるでしょうか。



上画像下がわの表示は 45度の面角をもつ部材加工の支え台 (cradle) を
作るプロセスを説明しようとしています。
左から
2×10×50mm の板棒 1本と 5×5×50mm の四角棒 2本と
底辺が6mm の三角棒 1本があります。
次の表示が
四角棒 2本をぴったりと接触させ 接合面には糊ををつけず
水平に接する上面の境に木工用ボンドを少し厚く塗布しています。
数10分後
糊が半がわきになったところを V字に広げ 三角棒を 挟み
45度の開き角にして 2×10×50mm の板棒を底に貼り付けます。
そして
左右 67.5度 の傾斜のある溝 45度に開かれた溝の 支え治具ができました。

以前からお伝えしている 開き角が 90度の cradle で 多面体製作を既にされた方は
この説明だけで エッジ角 45度の部材の多面体を作ることができると思います。

一番右はしの治具は 45度エッジの 部材をつくるものです。
支え台に左右から 5×5×50mm の四角棒と 5×5×100mm の四角棒を張り付け
左右10mm 巾の面に プラスチックカード (乗車券などの) を切って貼っています。
カッターや 紙ヤスリの影響を受けにくく 治具の形状維持ができます。

断面が 直角三角形の棒材をこの治具に据えると
必要とする稜部位との反対側の部分は 左右対称ではなく
治具のプラスチック面に合わせて カッターで成形し ヤスリで整えます。
この加工では 部材の断面は 凧形四角形でも二等辺三角形でもなく
扇形に近い形状になります。

工夫がうまくゆき エレガントな治具ができたとは 言いにくいですが
画像のサンプルが その方法で作ったプロトタイプです。

お太鼓結び

嵯峨近辺 未分類

下の写真は嵯峨大念仏狂言の公式ウェブサイトから拝借しました。
演目は [ 紅葉狩 ] です

嵯峨大念仏狂言は鎌倉時代に始まったとされ
国の重要無形民俗文化財に指定されています。
1963年に後継者不足で一度途絶えましたが
1975年に地元住民が復活させ
現在 10~80代の保存会員35人が守り継いでおられるとのことです。
■2017年 春季公演
嵯峨釈迦堂(清凉寺)本堂東側(狂言堂改修工事のため)観覧無料 
<公演日程>
●2017年4月8日(土) 13:30~  [ 大黒狩 ] [ とろろ ] [ 橋弁慶 ]
●2017年4月9日(日) 13:30~  [ 花盗人 ] [ 愛宕詣 ] [ 餓鬼角力 ]

私は入院騒動があり 今回 見逃してしまいましたが 幸い5月4日に 退院しました。

京都の 清凉寺 壬生寺 千本ゑんま堂 神泉苑 には 大念仏狂言が伝えられています。
念仏狂言のほとんどは無言劇で 囃子に合わせて演じられています。
その中で「ゑんま堂」だけがほとんどの演目にセリフがあります。
毎年 4月の中旬から5月上旬にかけて
前後して3箇所のお寺で「カン デンデン」 の囃子が響き (神泉苑は秋に)
狂言見物に多くの 参詣人や観光客 地域の人達 が集まります。

わたしは 以前から 太鼓結び問題と名づけて 疑問に思っていることがあります。
それは これらの狂言に出てくる 既婚女性の 衣装に関しての疑問です。
彼女たち(演者は男性) のほとんど全てが お太鼓結びの帯を締めて
結び目が 前に来ていることです。
寛政年間(1789-1801) 頃に描かれた 『江戸風俗図巻』には 町人の妻として
幅広の帯を 前で結んでいる絵があります。お太鼓結びではありません。
お太鼓結びは 文化10年(1813) 頃 深川芸者が 流行らせたといいます。
一般に流行りだしたのは 江戸末期ごろで
既婚者も未婚者もすべて 後ろ結びになっていたそうです。

古来伝統の 前結びと
流行りの お太鼓結びが 全ての狂言堂で見られるということです。
狂言堂でだけしか見られない 少し奇妙なコスチュームの解釈に
今も この太鼓結び問題に もどかしさや もやもやを感じています。

空研ぎヤスリ

多面体 嵯峨近辺 未分類 製作道具

年を取ると 何かと体に不具合が出てくるものです。
今 入院中です。あと数日で退院できるでしょう。
術後 7日目です。
全身麻酔もして かなりの手術だったはずなのに
呆気なく退院になりそうです。先端医療に感謝です。

部屋の外を見ると 東山の山々が近く
ほぼ真正面に 大の字が大きく見えています。

多面体製作では 正四面体を 三角棒で作ってみようかなと思っています。
45度の角度部分を稜とした作品を作ってみたいのです。
断面が直角三角形なので このままではシンメトリーでなくなるので
三角棒に加工を施します。

断面を 45 67.5 67.5 の角度の二等辺三角形にするか
45 90 135 90 の 凧形四角形にするかですが
凧形のほうが 切削量が少なくてすみます。
ただ 断面を左右対称に維持するには 加工難度は上がります。

私のブログでは メインの作業は切削です。
その作業を行うのに ドレッサー(金属やすり)を用いて説明することが多くありました。
現在は 板棒たけでなく 硬い材の角棒にも 紙やすりのドレッサーを使うようになりました。

紙やすりの種類としては 空研ぎヤスリです。
合成樹脂や目詰まり防止剤も一緒に施してあり
かなり長く使用に耐え重宝しています。
色々な番手があるのもいいことです。80番の粗めのものが気にいっています。

取り掛かろうとしている作業は 棒材の形状加工から始まるので
エレガントな 工作法を考え工夫するには 結構大変だと思います。
発表てきるには 時間がかかりそうです。

話は変わって

五月28日に 高校二年生同級の人たちとの同窓会があります。
この分では行けそうです。このような形では初めてなので楽しみにしています。

京都府立嵯峨野高等学校が母校です。
昭和16年に設立され 右京区常盤段ノ上町にあります。
その町名のほぼ全域が学校の敷地で 住居地域はほんの少しです。
西陣で財を築いた富豪が 土地建物を含めての寄付で完成したとのことです。
そのときは 嵯峨野高等女学校で 女子のみの学校でした。
男子トイレが少なかって困ったことを記憶しています。
南東は太秦蜂岡町となり 太秦広隆寺があります。

なんでこのような地域で 嵯峨野という名を学校名にしたのか不思議です。

私の 出身中学校は 京都市立蜂ヶ岡中学校と言い 右京区嵯峨野開町にあります。
嵯峨野地域なのに 蜂ヶ岡です。これも不思議です。

嵯峨野開町の東となりが 太秦帷子ケ辻町です。

二つを合わせると東か尖った三角形になり
その尖ったところが 昔の辻だったことが容易にわかります。
この辻から 油掛地蔵のほうに道が今もつづいています。

私の通っていた幼稚園は
広隆寺の東隣の 太秦東蜂岡町にあり 今の東映映画村も同じ町内にあります。
蜂ヶ岡中学校と同じ嵯峨野開町からの通園です。
広隆寺の西隣の東映撮影所前から 広隆寺をぬけて 道がつづいていました。
自然幼稚園といい お寺が経営していました。今もあります。
お寺なのに 大きなツリーを飾った立派なクリスマスを楽しんだ思い出があります。
広隆寺をぬけるその道や 他にもあったそのような道も 今はないようです。
当時は映画が盛んな時で 撮影所近辺は凄くにぎやかでした。
ある時 子役と思える集団が門から中に入ろうとしているのに
出くわすことがありました。園から ぶらぶら帰る途中です。
その時 撮影所に紛れ込むことができました。
今でしたら バスでの送迎や親の送り迎えがあるので真面目に帰るしかないのですが
子供たちだけで 好き勝手に寄り道 道草をしながら 楽しく帰っていました。
近所のおばさんが 役者さんの頭にカツラをのせていて
「こんなとこで 仕事してはんにゃ」と思ったことを記憶しています。

町名遊びが 続いてしまいました。

太秦帷子ケ辻町 Uzumasaka Tabiranotsujicho

嵯峨近辺 未分類

もうそろそろ 多面体製作についての話を再開しようと思っているのですが
何を どう表現したらいいのか あれこれ思う日々です。
嵯峨近辺の地名のことで もう少し話をさせてください。

以前 帷子ノ辻を例にして読みかたの説明をしましたが
地図では 地名は漢字で表現されていて 読みが載っていないことが多いです。

google.com(米Google) で検索すると
アルファベット表示もつけられて 読みが分かって便利だと思い 最近使っていました。

でも 太秦帷子ケ辻町( うずまさ かたびらのつじちょう )を
英語では Uzumasaka Tabiranotsujicho と表記されています。

葛野西通 (かどのにしどおり) という道路があります。
日本の Google では読みが分かりませんが ストリートビュー
標識から確認できました。
米Google では Kuzunonishi Dori となっていました。
変換作業者が 自己判断でそう読んだのか 参照データがもともと間違っていたのか
単なるロボット翻訳なのか
信頼性に 問題があるように思えてきました。

とは言っても グーグルマップは おおいに利用させてもらっている必須アイテムです。
もっともっと斬新な機能を付加していってくれればなあと思っています。

油掛地蔵

嵯峨近辺

下の画像は 嵯峨天龍寺油掛町 にある 油掛地蔵さんのお堂です。
有栖川に沿って東西に通っている古道の下立売通りを北に接します。
近隣の人たちが集まる 集会所と一緒になった辻堂で
寛政10年(1798)銘で「右あたご 左こくうぞう」の道標があります。
石像は地蔵様と言っても 延慶3年(1310)の銘のある 阿弥陀如来像です。

ろうそく 線香 マッチは備えつけてあり
いつでも気軽に 手を合わせることができます。
お像に掛ける油は切らすこともなく
油を掛ける杓子の柄はべとべとと油がついていることもありません。

このあたりは地名でもわかるとおり 江戸時代は 天龍寺の管理下にあったところです。
そのため その影響がなくなる 明治になるまで 嵯峨の大きな祭の 嵯峨祭には
参加していない地区でした。
嵯峨釈迦堂門前 嵯峨大覚寺門前 などの地域は 大覚寺の影響を強く受けていました。

そして 天龍寺油掛町の東隣の 町名には 天龍寺が付かない 嵯峨中又町
南は 嵯峨折戸町 などとなって 前回お伝えした 下嵯峨地区 になります。
東に流れ南に曲がってゆく有栖川に沿って 嵯峨野地区と区別されます。
江戸時代には 天龍寺の影響を受けていましたが ずっと松尾大社の氏子地区です。

嵯峨祭を 歴史的研究の対象として本格的にとり上げている資料に乏しく
もどかしい思いをしていましたが 最近 (2008年) 嵯峨祭の歩み という書籍を
嵯峨にお住いの 古川 修さんが 出版されました。
とても 参考になります。

油掛け地蔵

下嵯峨と嵯峨野

嵯峨近辺

桜の季節になりました。下画像正面は嵐山です。
山肌に少し写っていますが左下の 中之島公園では桜が満開です。
下嵯峨のふじわら堤から 西方向の渡月橋を見ています。

嵯峨は上嵯峨と天龍寺の二つの地域に分けると理解しやすいです。
上嵯峨は室町時代まで 嵯峨一円に大きな力を持っていた大覚寺との
かかわりが多くあったところです。

天龍寺地区は言葉の示すとおり
南北朝以降 力を伸ばしてきた天龍寺が支配した地域で
嵯峨を南北に二分する新丸太町通りや下立売通りの南側に位置します。
今 最も観光客が多く集まる地域で 下画像の渡月橋から手前の右側方向です。

下嵯峨は この画像の反対側 東側にあり
三条通りをまたぐ 小さな地域で 昔は川端村と呼ばれていました。
その名のとおり 川に強く依存していたところです。

下嵯峨から 嵐山と反対方向の地区は 嵯峨ではもうなくなり
観光地とは全くと言っていいほど縁のない嵯峨野地区になります。
そしてその東が 太秦広隆寺や東映映画村のある 太秦地区です。

古くから下嵯峨は 丹波地方の材木を扱い 嵯峨の地とのつながりが薄く
大堰川の対岸にある松尾大社の氏子であり
愛宕や野宮の氏子が行う嵯峨祭にも参加していません。

土地の高さが他よりも低く洪水の影響が一番強いところでしたが
普段は 水不足の傾向にあり それに関して上流の村とのもめ事がよくあったそうです。

また 他の地域とは異なり 条里制の影響を受けていないようです。
嵯峨地域は 東西や南北の土地区画の方向が
16度ほど西に傾くという特徴が 平安時代からありました。
地図を見れば 今もそのような傾向が確認できます。

子供たちが通学する小学校の通学範囲 つまり学区制は
行政の都合と その地区の住人の繋がりが強く反映します。
そのため 生田(おいた)村と高田村 (この二村がのち嵯峨野村になる) と
川端村とが共同で 明治の初め頃 川端校として開校されました。
現在は紆余曲折を経て下嵯峨単独の嵐山小学校になっています。
明治22年には 嵯峨野村は 太秦村の一部となり
現在は分割され 嵯峨野小学校になっています。

実は 私は嵯峨野小学校に 四年生まで通学していました。
そんなこともあり 嵯峨野生まれの私としては 下嵯峨を話題にして
くどくどと 書いてしまいました。

ふじわら堤から三条通りを通って渡月橋
2017 4月13日 8:30a.m.


*ふじわら堤は 罧原堤(ふしはらつつみ)と公的に表記されていますが
嵐山学区郷土誌研究会発行の 郷土の今昔
ふじわらと発音することを肯定しています。

帷子ノ辻という地名があります。
かたびらのつじ と読みますが 同じ読みで 住所表記は帷子ケ辻です。

鹿が三匹来ています

Excel 嵯峨近辺 未分類

散歩や外出のときに気にして竹藪を覗くのですが
鹿さんあまり見ないな と思いながら目を向けると 三匹いました。

2017 3月24日 8:00a.m. google map→


はじめは藪のきわまで 一匹が来ていて
こちらを見てお辞儀をしているような 動きがありました。
もう一度 戻ってカメラを向ける頃には 遠くのほうにいて逃げる寸前でした。

早咲きの桜が 春の気分を誘ってくれています。

話題をもう一つ。
ラマヌジャンの 1729 についてのエクセルデータです。
言葉や単なる数式では 分かりにくく実感しにくいので
操作可能な式として 表しました。現象の確認がせいぜいですが。
ラマヌジャンの頭の中は どうなっていたのでしょう。
本当に 人間という生命体だったのか 不思議です。

a = 3/√7 1.13389341902768 ←入力可
b = 4/√7 1.51185789203691 ←入力可
(6*a^2 - 4*a*b + 4*b^2 )^3 = 10^3 1000
(3*b^2 + 5*a*b - 5*a^2 )^3 = 9^3 729
1729
(6*b^2 - 4*a*b + 4*a^2 )^3 = 12^3 1728
(3*a^2 + 5*a*b - 5*b^2 )^3 = 1^3 1
1729
10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 = 1729
a = 3/√7 =3/SQRT(7) ←入力可
b = 4/√7 =4/SQRT(7) ←入力可
(6*a^2 - 4*a*b + 4*b^2 )^3 = =" "&10^(LOG10(C4)/3)&"^3" =(6*B1^2-4*B1*B2+4*B2^2)^3
(3*b^2 + 5*a*b - 5*a^2 )^3 = =" "&10^(LOG10(C5)/3)&"^3" =(3*B2^2+5*B1*B2-5*B1^2)^3
=SUM(C4:C5)
(6*b^2 - 4*a*b + 4*a^2 )^3 = =" "&10^(LOG10(C8)/3)&"^3" =(6*B2^2-4*B1*B2+4*B1^2)^3
(3*a^2 + 5*a*b - 5*b^2 )^3 = =" "&10^(LOG10(C9)/3)&"^3" =(3*B1^2+5*B1*B2-5*B2^2)^3
=SUM(C8:C9)
=IF(C6=C10,B4&" +"&B5&" ="&B8&" +"&B9&" = "&C6,"")

コラッツ問題

Excel 未分類

計算あそびの エピソードが続きます。
コラッツの数列という ある決めごとで作られた数の連続についてです。
ローター・コラッツ (Lothar Collatz 1910-1990 ) が
コラッツの問題とか 3n+1問題 とよばれる ある主張をしました。

どんな正の整数も
その数が 偶数なら その数を1/2倍にする。
その数が 奇数なら その数を3倍にして1を足す。
という操作を続けると 必ず1に到達する。
そして 1→4→2→1 というループに入る。
と言っています。
その主張が正しいのか 正しくないのかまだ解っていません。

下に 10を例に説明します。太字の数の連続がそれで

10 は 偶数なので 2 で割って 5
 5 は 奇数なので 3 を掛けて 1 を足す → 16
として 続けます。
    コラッツの数列 ( Collatz sequence )				
    10        				
         5  10/2            5
     5  16       5x3+1  16
    16   8  16/2         8
     8   4   8/2         4
     4   2   4/2         2
     2   1   2/2            1
     1   4       1x3+1   4
     4   2   4/2         2
     2   1   2/2            1
     1   4       1x3+1   4
     4   2   4/2         2
現象の例として
10未満は 9で 19ステップ 
100未満は  97で 118ステップ  
1,000未満は 871で 178ステップ 
10,000未満は 6,171で 261ステップ です。

エクセルで 操作の流れが解るように 式を作りました。以下です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
A列を指定しセルの書式設定 のフォントで スタイルを 太字にしてください。
コラッツの数列 ( Collatz sequence )
1001
=IF(MOD(A2,2)=0,A2/2,A2*3+1) =IF(A2>0, IF(MOD(A2,2)=0,A2&"/2"," "&A2&"x3+1"),0) =IF(MOD(B3,2)=0,""&B3,B3)
=IF(A2=1,0,B3) =IF(MOD(A4,2)=0,A4/2,A4*3+1) =IF(A4>0, IF(MOD(A4,2)=0,A4&"/2"," "&A4&"x3+1"),0) =IF(MOD(B4,2)=0,""&B4,B4)
4 行目の A 列から E 列 までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「+」を
ドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。
1001 の数で 判定していますので 145行目で 1 になります。

野宮問題

Excel 嵯峨近辺 未分類

前回 嵯峨を話題にしたキッカケに調べものをしていると
以前から思っていた野宮に対する疑問がとけました。

明治維新後の動乱で ひどい目に遭った 神社仏閣の代表として
野宮 南禅寺問題 と名付けて関心を持っていました。

古代の神社の様式を未だに伝える
由緒ある静粛な野宮に接して線路がひかれ
蒸気機関車がやかましく往来することがどうしてできたのか。

南禅寺の敷地に水路閣という煉瓦つくりの水路がドッカリ鎮座し
そして
琵琶湖疎水の水を 滝や渓流にした素晴らしい庭園を配し
お妾さんを囲っていたとの噂もある 邸宅のかずかず
どうしてできしまったのか。

南禅寺問題は 廃仏棄釈で文句は言えなかったからと
わりと簡単に解けましたが
明治維新後の神社は 不遇ではなかったはずだという疑問です。
調べもので分かったのは
その時の野宮は 村の管理下にある小さな ほこら でしかなく
神に仕える人たちは農業やほかの仕事で生計を立てていた程
神社の力はなかった。がその答えです。

明治32年に鉄道が通り 明治40年にやっと 野宮への援助が始まりました。

ご近所の天龍寺さんも 長州の本陣だったことで焼き討ちされたり
散々な目に遭って経営難になり
敷地内で風呂屋を経営していたとも聞いています。
でもそれに屈せず
今は 世界遺産に登録されている 素晴らしい寺院に復興しています。

話題をもう一つ。
ヘロンの開平方の エクセル版です。
本やインターネットを参照しながら
文字や数式からの説明を読んでいますが
なかなか理解しにくいものです。そこで エクセルで表現し
これを操作しながら 理解を深めてゆこうとしているところです。

√A ≒ 1/2*(a+A/a)		
A=	1000	
a=	   7	
		
 1/2*(a+A/a)	a         √A と a との差
74.92857143	7	     67.92857143
		
44.13730764	74.92857143	-30.79126379
33.39693882	44.13730764	-10.74036882
31.66990145	33.39693882	-1.727037365
31.62281166	31.66990145	-0.047089791
31.6227766	31.62281166	-3.50609E-05
31.6227766	31.6227766	-1.94369E-11
31.6227766	31.6227766	          0
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
√A ≒ 1/2*(a+A/a)
A=1000
a=7
1/2*(a+A/a) a√A と a との差
=1/2*(B6+B2/B6) =B3=A6-B6
=1/2*(B8+$B$2/B8)=A6=A8-B8
=1/2*(B9+$B$2/B9)=A8=A9-B9
9 行目の A 列から C 列 までを範囲指定し セルの右下にポインタを合わせ「+」を 16行ぐらいまでドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。 A= 1000 a= 7 のところが変更可能です。

嵯峨お松明式

嵯峨近辺

今日は 嵯峨の 釈迦堂で お松明(おたいまつ)があります。

下画面は 京都三大火祭りの一つとして
以前にもお伝えしたことのある 大たいまつの立ち上げ風景です。
釈迦堂 (清凉寺) の本殿から 仁王門方向を見ています。

釈迦堂お釈迦さんとも呼ばれたりして
地元の人は普段から 親しみをもって参拝に来られています。
そして 洛中洛外図の どの絵にも見ることができる古刹です。

2017 3月15日 10:00a.m.


今日は 無料公開で本殿に入ることができ 釈迦如来像も 拝してきました。
江戸時代 勧進のため このお釈迦さんの像は 江戸まで出張されたそうで
賽銭で傷ついた跡が お体にいくつも残っています。

下の画像は 三基ある松明の一つが燃えているところで
他の二基にはまだ火が入っていません。
少し雨も降っていますが 燃えにはあまり関係ないようです。

昔は この三つの松明の燃えつきる状態で
稲の収穫の吉凶を占ったこともあったようです。

早稲 中稲 晩稲 とそれぞれの松明に意味があり
早稲が一番大きく 7メートルぐらいの高さだそうです。
そして 順番に一基ずつ火を点けてゆきます。

以前は速やかに 三つの松明に火をつけようという感じでしたが
今は気にせずのんびりしているように見えます。
一基めの松明は もう真っ盛りに燃えています。

2017 3月15日 8:40p.m.


嵯峨の郷土史を 知るには 古老や保存会からの
知識を得るのが一番だと思います。

そのためには 地域の行事への積極的な参加が必要となります。
しがらみが苦手な私には とても無理ですが。

アルブレヒト・デューラーとLucas Cranach der Ältere

Dürer’s solid 未分類

国立国際美術館で開かれている クラーナハの絵画展に行ってきました。


クラーナハ ( Lucas Cranach der Ältere 1472-1553 ) は
ドイツ・ルネッサンスを代表する芸術家で
後世の絵画作品にも大きな影響を与えているとのことです。

絵画にはあまり興味がない私ですが あの有名な宗教改革を興した
マルティン・ルター(Martin Luther 1483- 1546 )の肖像画作者だと知ったことと
妻が 強く誘うもので 重い腰をあげて 大阪まで行ってきました。

人物の特徴的な表現に魅かれたり
当時のドイツの雰囲気が感じられるような気分になったりで
いつになく感銘を受けていました。

それと 彼に影響を及ぼしたと思われる同時代のドイツの画家
アルブレヒト・デューラー ( Albrecht Dürer 1471-1528 ) の
作品も数点あり 既にお伝えしたことのある メランコリア もあったのです。
以前 メランコリア を見たときは 思った以上に小さく(238mm×186mm)
印象として感動に乏しかったのですが
今回は 小さいと感じてしまったことが不思議で
思いがけず鑑賞することができたことに 大変感動しました。

アルキメデスの円周率計算

Excel 未分類

普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見たいと思って 最近のブログを書いています。
今回はアルキメデス (287 BC? – 212 BC?) の円周率の計算法についてです。

アルキメデスは 直径が 1 となる円に対し
かどが円に内から接する正六角形の周の寸法と
辺 が円に外から接する正六角形の周の寸法との中間の値が
円周率だとして多角形の周の寸法を求めています。

円に接する多角形の角数を多くすればするほど
かどが接する多角形と 辺が接する多角形との
周の寸法の差が 縮まり円周率に近づくということです。

彼は 六角形の周の寸法をもとに その倍の12角形を計算し
その倍の24角形を計算しそして 48角形 96角形と行ったそうです。
そして 3+10/71 < 円周率 < 3+1/7 の結果になったとのことです。
つまり 3.14084507042254 < 円周率 < 3.14285714285714 です。

当時の記数法で どのように計算したかは あまり判っていないようです。

現代風に計算すると以下のようになります。

角数 内 周寸 an 外 周寸 An
1 6×1= 6a1 = 3 A1= 2×√3 A1-a1
2 6×2=12a2 = √( a1×A2 ) A2= 2×a1×A1 / ( a1+A1 ) A2-a2
3 12×2=24a3 = √( a2×A3 ) A3= 2×a2×A2 / ( a2+A2 ) A3-a3
4 24×2=48a4 = √( a3×A4 ) A4= 2×a3×A3 / ( a3+A3 ) A4-a4
5 48×2=96a5 = √( a4×A5 ) A5= 2×a4×A4 / ( a4+A4 ) A5-a5
計算結果です。
角数 内側 n角形の周寸 外側 n角形の周寸
6 3 3.46410161513775 0.464101615137755
12 3.10582854123025 3.21539030917347 0.109561767943223
24 3.13262861328124 3.1596599420975 0.027031328816262
48 3.13935020304687 3.14608621513143 0.006736012084568
96 3.14103195089051 3.14271459964537 0.001682648754859
以下は Excel 用のデータです。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。

貼り付けのオプションは
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。

B 列 から D 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 3 行目から D 列 3 行目までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「+」を
27 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

この範囲での計算になると 小数点以下 14 桁まで正確な計算ができます。

A 列 2 行目の 6 は変更可能で 初期の角数を変えて計算できます。
n角数 内側 n角形の周寸 外側 n角形の周寸
6 =SIN(PI()/A2)*A2 =TAN(PI()/A2)*A2 =C2-B2
=A2*2 =SQRT(B2*C3) =2*B2*C2/(B2+C2) =C3-B3

ヘロンの公式で外接球半径

Excel 多面体 諸量

ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を以前 お伝えしたことがあります。
ブラーマグプタの公式 の扱う対象は
ブレートシュナイダーの公式 ( Bretschneider’s formula )と違って
四角形の全てのかどが円に接しているという条件があります。
プラトン多面体や アルキメデス多面体での計算では それで充分でした。

でも なじみが無いのも事実で
ヘロンの公式 ( Heron’s formula ) と対比してみました、
どちらの公式も 面積計算として説明されていることがほとんどですが
ここでは 多角形のかどから面の中心までの 距離の計算に用いています。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。

41 行目から 58 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。

a b c d e 頂芯寸別解
18 [4,6,10] 4 6 10 0 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))
多角形 角数 開き寸 ( 稜寸 = 1 として )
a =B2 =COS((PI()/B5))*2
b =C2 =COS((PI()/B6))*2
c =D2 =COS((PI()/B7))*2
d =E2 =IF(B8=0,0,COS((PI()/B8))*2)
e =F2 =IF(B9=0,0,COS((PI()/B9))*2)
ヘロンの解法 プラームグプタの解法
s=(a+b+c)/2 s=(a+b+c+d)/2
=SUM(D5:D7)/2 =SUM(D5:D8)/2
s-a s-b s-a s-b s-c s-d
=A14-D5 =A14-D6 =D14-D5 =D14-D6 =D14-D7 =D14-D8
s-c
=A14-D7 ac+bd ad+bc ab+cd
=D5*D7+D6*D8 =D5*D8+D6*D7 =D5*D6+D7*D8
u=a*b*c U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) √U
=D5*D6*D7 =D20*E20*F20 =SQRT(D23)
D=s(s-a)(s-b)(s-c) D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
=A14*A17*B17*B19 =D17*E17*F17*G17
S=√D S=√D
=SQRT(A26) =SQRT(D26)
R=1/4*u/S R=1/4*√U/S
=1/4*D5*D6*D7/A29 =1/4*SQRT(D23)/D29
h=√(1-R^2) H=1/2/h h=√(1-R^2) H=1/2/h
=SQRT(1-A32^2) =1/2/A35 =SQRT(1-D32^2) =1/2/D35
角錐高 頂芯寸 角錐高 頂芯寸
=IF(B8=0,A35,"計算不可") =IF(B8=0,B35,"計算不可") =IF(B9=0,D35,"計算不可") =IF(B9=0,E35,"計算不可")
a b c d e 頂芯寸別解
01 [3,3,3] 3 3 3 0 =SQRT(3/2)/2
02 [3,3,3,3] 3 3 3 3 =1/SQRT(2)
03 [4,4,4] 4 4 4 0 =SQRT(3)/2
04 [3,3,3,3,3] 3 3 3 3 3 =COS(PI()/10)
05 [3,4,3,4] 3 4 3 4 1
06 [3,6,6] 3 6 6 0 =SQRT(11/2)/2
07 [3,3,3,3,4] 3 3 3 3 4 =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3)))))
08 [3,4,4,4] 3 4 4 4 =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2)
09 [5,5,5] 5 5 5 0 =COS(PI()/5)*SQRT(3)
10 [4,6,6] 4 6 6 0 =SQRT(5/2)
11 [3,5,3,5] 3 5 3 5 =SQRT(1/2*(3+SQRT(5)))
12 [3,8,8] 3 8 8 0 =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2))
13 [3,3,3,3,5] 3 3 3 3 5 =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))
14 [3,4,5,4] 3 4 5 4 =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5)))
15 [4,6,8] 4 6 8 0 =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2))
16 [5,6,6] 5 6 6 0 =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5)))
17 [3,10,10] 3 10 10 0 =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5)))
18 [4,6,10] 4 6 10 0 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))

パズル気分で 古典的掛け算

Excel 未分類

久しぶりの投稿です。

私の多面体製作の道具として Excel は欠かせません。
高機能関数電卓として重宝しています。

普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見てみたいと 以前から思っていました。

パピルスに書かれた掛け算と ロシア農民の掛け算 を例に
Excel で表現してみました。
Wikipedia の Ancient Egyptian multiplication を参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication

80 × 14 = 1120 の計算で説明します。
下に表現しているのが パピルスに書かれた掛け算 です。

80 × 14 = 1120 として既に解が求まっている状態です。
80を入力すると その下の列の 数値が 変化し
80 80×2=160 160×2=320 320×2=640 . . . と前の数を2倍しています。
80 に 1 2 4 8 . . . を乗じても同じです。
その横の楯列は 1 2 4 8 16 . . . が固定されています。

そして 次の楯列が表示欄で 1 2 4 8 16 . . .の数列の
各数値を そのままにするか 0 にするかを表示します。
その合計が 掛けられるほうの数値
今回は 14 が表示されています。
次の✔下の縦列が 入力欄で 1 か 0 を入れて 14 になるようにします。
つまり 0.1.1.1 の入力で 0 + 2 + 4 + 8 = 14 になります。

そして この 0.1.1.1 が 0 + 160 + 320 + 640 = 1120 に連動しています。

パピルスに書かれた掛け算
80 × 14 = 1120
80 1 0 0 0
160 2 2 1 160
320 4 4 1 320
640 8 8 1 640
16
14 1120
ロシア農民の掛け算 の説明をします。
80 × 14 = 1120 と表示された下の 
80 から下の列は上の説明と同じです。
14 から下の列は 計算の余りは切り捨てとして
14               →    14 
14 / 2 = 7  + 0  →  ✔ 7
 7 / 2 = 3  + 1  →  ✔ 3
 3 / 2 = 1  + 1  →  ✔ 1    
となり 奇数には ✔ が付いています。

記号 ✔ に対応する同じ行の 80 の倍数の表示と合計を
左端の縦列で行い 1120 を得ています。
ロシア農民の掛け算
80 × 14 = 1120
80 14
160 7 160
320 3 320
640 1 640
1120
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M) です。
パピルスに書かれた掛け算
80 × 14 = =E17 =A2*C2
=A2 =2^0 =B4*D4 0 =A4*D4 =(MOD(C22,2))
=A4*2 =2^1 =B5*D5 1 =A5*D5 =(MOD(C23,2))
=A5*2 =2^2 =B6*D6 1 =A6*D6 =(MOD(C24,2))
=A6*2 =2^3 =B7*D7 1 =A7*D7 =(MOD(C25,2))
=A7*2 =2^4 =B8*D8 0 =A8*D8 =(MOD(C26,2))
=A8*2 =2^5 =B9*D9 0 =A9*D9 =(MOD(C27,2))
=A9*2 =2^6 =B10*D10 0 =A10*D10 =(MOD(C28,2))
=A10*2 =2^7 =B11*D11 0 =A11*D11 =(MOD(C29,2))
=A11*2 =2^8 =B12*D12 0 =A12*D12 =(MOD(C30,2))
=A12*2 =2^9 =B13*D13 0 =A13*D13 =(MOD(C31,2))
=A13*2 =2^10 =B14*D14 0 =A14*D14 =(MOD(C32,2))
=A14*2 =2^11 =B15*D15 0 =A15*D15 =(MOD(C33,2))
=A15*2 =2^12 =B16*D16 0 =A16*D16 =(MOD(C34,2))
=SUM(C4:C16) =SUM(E4:E16)
ロシア農民の掛け算
=A2 × =C2 = =E35
=A2 =IF(MOD(C22,2)=0,"","✔") =C2 =IF(B22="✔",A22,"")
=IF(C23=0,"",A22*2) =IF(MOD(C23,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C22,2) =IF(B23="✔",A23,"")
=IF(C24=0,"",A23*2) =IF(MOD(C24,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C23,2) =IF(B24="✔",A24,"")
=IF(C25=0,"",A24*2) =IF(MOD(C25,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C24,2) =IF(B25="✔",A25,"")
=IF(C26=0,"",A25*2) =IF(MOD(C26,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C25,2) =IF(B26="✔",A26,"")
=IF(C27=0,"",A26*2) =IF(MOD(C27,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C26,2) =IF(B27="✔",A27,"")
=IF(C28=0,"",A27*2) =IF(MOD(C28,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C27,2) =IF(B28="✔",A28,"")
=IF(C29=0,"",A28*2) =IF(MOD(C29,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C28,2) =IF(B29="✔",A29,"")
=IF(C30=0,"",A29*2) =IF(MOD(C30,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C29,2) =IF(B30="✔",A30,"")
=IF(C31=0,"",A30*2) =IF(MOD(C31,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C30,2) =IF(B31="✔",A31,"")
=IF(C32=0,"",A31*2) =IF(MOD(C32,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C31,2) =IF(B32="✔",A32,"")
=IF(C33=0,"",A32*2) =IF(MOD(C33,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C32,2) =IF(B33="✔",A33,"")
=IF(C34=0,"",A33*2) =IF(MOD(C34,2)=0,"","✔") =QUOTIENT(C33,2) =IF(B34="✔",A34,"")
=SUM(E22:E34)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 >