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prism 多面体 諸量
“辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 反角柱 antiprism の
双対多面体の長さはいくらか？” という問題について お伝えします。
私は 15桁を越す数値計算には 多倍長電卓LM というフリーウエアーを用いています。
( 参照 URL=http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html )
以下がそれで作ったプログラムです。C言語的なソフトです。
//--------------コピー開始------------------
a1=40075*1000*100; // n角形を指定 約40,075 km
b1= pi*2/a1; // 360/角数
c1=0.5/sin(b1/2); // 外接円柱半径
d1=0.5*tan(b1/4); // n角の辺・心寸
e1=sqrt(3)/2; // 3角かど・辺寸
f1=sqrt(e1^2-d1^2); // 3角かど・辺寸 軸面投影
g1=sqrt((f1/2)^2+c1^2); // 外接球半径
h1=0.5/g1; // 角錐高
i1=asin(h1); // 稜仰角
j1=g1*cos(i1); // 稜芯寸
k1=pi*2/a1/2; // 双n接合角/2
l1=0.5/tan(k1); // 双n辺心寸
m1=asin(l1/j1); // 双n仰角
n1=j1/cos(m1); // n頂芯寸
print "";
print "[3,3,3,4007500000] dual polyhedron";
print "";
print "n頂芯寸";
print n1;
print "";
print "光年"; // 9 460 730 472 580 800 m
print n1*2/(9460730472580800*100);
//------------コピー終わり------------------
以下が 20桁指定での計算結果です
[3,3,3,4007500000] dual polyhedron
n頂芯寸
= 939478161669236009.35
光年
= 1.9860584008645899692
2013年7月28日
BASIC prism 多面体
[3,3,3,5] 反角柱 antiprism 諸量計算の BASIC のプログラムを載せておきます。
このプログラムは [3,3,3,5] の諸量計算ですが 角数を変えることで
色々な角数て計算出来ます。
角数を大きくすればするほど 双対多面体の長方向の寸法が格段に大きくなります。
そこで 辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 双対多面体の長さはいくらかと
計算させると エラーになってしまいました。桁数が 大きすぎました。
約 4007500000 角形です。
別のソフトで計算すると 約二光年弱 (1.9861) の長さになりました。
このプログラムについては 次回にお伝えしようかと思っています。
! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! ------------------------------------------------------------
LET a001=5 ! 5 角数入力
! ------------------------------------------------------------
LET a002=360/a001 ! 72 360/角数
LET a003=.5/SIN(a002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET a004=.5*TAN(a002/4) ! .162459848116453 5角の辺・心寸
LET a005=SQR(3)/2 ! .866025403784439 3角かど・辺寸
LET a006=ASIN(a004/a005) ! 10.8123169635717 3角面仰角
LET a007=SQR(a005^2-a004^2) ! .85065080835204 3角かど・辺寸 軸面投影
LET a008=SQR((a007/2)^2+A003^2) ! .951056516295154 外接球半径
LET a009=COS(a002/2) ! .809016994374947 二等辺三角の底寸/2
LET a010=.5/A008 ! .525731112119133 角錐高
LET a011=ASIN(a010) ! 31.717474411461 稜仰角
LET a012=SQR(1-a010^2) ! .85065080835204 三角錐底のかど・心寸
LET a013=a008*COS(a011) ! .809016994374948 稜芯寸
LET a014=ASIN(a009/a012) ! 71.9999999999999 5角形接合角
LET a015=(360-a014*2)/3/2 ! 36 3角形接合角
LET a016=360/3/2 ! 60 双3接合角/2
LET a017=.5/TAN(a016) ! .288675134594813 双3辺心寸
LET a018=ASIN(a017/a013) ! 20.9051574478893 双3仰角
LET a019=a017/COS(a018) ! .309016994374948 双3稜寸
LET a020=360/a001/2 ! 36 双5接合角/2
LET a021=.5/TAN(a020) ! .688190960235587 双5辺心寸
LET a022=ASIN(a021/a013) ! 58.282525588539 双5仰角
LET a023=a021/COS(a022) ! 1.30901699437495 双5稜寸
LET a024=a013/COS(a018) ! .866025403784439 3頂芯寸
LET a025=a013/COS(a022) ! 1.53884176858763 5頂芯寸
PRINT "反";a001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", a003
PRINT "頂芯寸 = ", a008
PRINT "稜芯寸 = ", a013
PRINT "仰角 =",a011
PRINT "片面 3 角形接合角 =",a015
PRINT "片面";a001;"角形接合角 =",a014
PRINT " "
PRINT "反";a001;"角柱双対"
PRINT " 3 稜寸 = ",a019
PRINT a001;"稜寸 = ",a023
PRINT " S 稜寸 = ",a019*2
PRINT " L 稜寸 = ",a019+a023
PRINT " S / L ",a019*2/(a019+a023)
PRINT " 3 角接合角/2 =", a016
PRINT a001;"角接合角/2 =", a020
PRINT " 3 角仰角 = ", a018
PRINT a001;"角仰角 = ", a022
PRINT " 3 頂芯寸 = ", a024
PRINT a001;"頂芯寸 = ",a025
END
! コピー終わり
2013年7月25日
prism 多面体
下左の画像は[3,3,3,5] 反角柱の 双対多面体です。
下右の画像は
[3,3,3,5] 反角柱と諸量に共通なものがみられる[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体と
双対関係にある正十二面体 [5,5,5] Dodecahedronです。
この二つの 諸量にも共通点がみられます。
もとの多面体の稜寸を 1としたときの諸量です。
[3,3,3,5] dual polyhedron 反正５角柱双対
.30901699437494742410 [3,3,3,5]双対 3稜寸( 072/233 )
1.3090169943749474241 [3,3,3,5]双対 5稜寸( 233/178 )
.61803398874989484820 [3,3,3,5]双対 S稜寸( 144/233 )
1.6180339887498948482 [3,3,3,5]双対 L稜寸( 233/144 )
.38196601125010515180 [3,3,3,5]双対 S / L( 089/233 )
20.905157447889299033 [3,3,3,5]双対 3仰角( 089/233 )
58.282525588538994676 [3,3,3,5]双対 5仰角( 233/144 )
60.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 3接合角/2( 194/112 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 5接合角/2( 178/245 )
.86602540378443864676 [3,3,3,5]双対 3頂芯寸
1.5388417685876267013 [3,3,3,5]双対 5頂芯寸
[3,3,3,5]双対 S稜部品 必要個数 10
[3,3,3,5]双対 L稜部品 必要個数 10
2013年7月25日
prism 多面体 諸量
準正多面体でありながら アルキメデス多面体の仲間として言及されることが少ない
多面体についてお伝えします。
今回は [3,3,3,5] 反角柱 antiprism です。
一辺の寸法が同一で角数も同一の二つの正多角形の面があり
それらの多角形の中心点を垂直に通る軸を共有し
一つの面の辺と他の面のかどとが 正三角形になるような稜でできた多面体です。
一つの面の辺と他の面の辺 とが 正四角形になるような稜でできた多面体は
正角柱といいます。
正多角形の角数は無限にあり 角数が増えると 円に近い正多角形の薄い板になります。
美的には評価できず アルキメデス多面体から仲間はずれになった大きな理由でしょう。
下の左の画像が [3,3,3,5] 反角柱で 右が諸量の値がよく似ている
[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体です。
[3,3,3,5] antiprism 反正５角柱
1.0000000000000000000 [3,3,3,5]稜寸
.85065080835203993218 [3,3,3,5]基本数
31.717474411461005324 [3,3,3,5]仰角( 144/233 )
.85065080835203993218 外接円柱半径
.95105651629515357212 [3,3,3,5]頂芯寸( 136/143 )
.80901699437494742410 [3,3,3,5]稜芯寸( 144/178 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]3 接合角/2( 178 / 245 )
72.000000000000000000 [3,3,3,5]5 接合角/2( 237 / 077 )
[3,3,3,5] 3 3 個数 10
[3,3,3,5] 3 5 個数 10
2013年7月24日
BASIC ポーカーの確率
久しぶりの投稿です。
ブログの作成を 休止してはいません。
お伝えする内容が まだ整っていません。
今まで私が作った BASIC のプログラムで 気に入っているものを 載せておきます。
バソコンの黎明期頃に作ったプログラムの リメイク版です。
当時は 計算結果がでるまで 12時間ほどかかりました。
今は 数分ほどです。
ポーカー役手を全数チェックするものです。
! 以下をコピーして実行してください。
! フリーウエアー 十進BASIC でプログラム
! http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照
! http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/english/index.htm 英語版
! ポーカーの確率計算
OPTION BASE 0
DIM A(52,1)
LET TT$=TIME$
LET C4C=0
LET CfH=0
LET C3C=0
LET C2P=0
LET C1P=0
LET RSF=0
LET SFL=0
LET FLS=0
LET STR=0
LET NP=0
LET B=0
LET CNT1=0
LET CNT2=0
! ５２枚の札を１～５２の番号付けをする
! 種類の区別は 0001, 0010, 0100, 1000 の4通り
! 数字の区別は 0000000000001, 0000000000010 ～ 1000000000000 の 13通り
! 種類と数字のペア52通り として 登録
FOR I=0 TO 3
FOR J=0 TO 12
LET B=B+1
LET A(B,0)=10^I
LET A(B,1)=10^J
NEXT J
NEXT I
! ５２枚の札を１～５２の番号付けして、ゼロと重複を認めない５桁の５３進数
! として表現し、それぞれの５桁の数列の中で、上位にある数は下位にある数
! より小さいという条件で数列をつくり ２５９８９６０通り作成
! ５枚の札の組み合わせの特徴の表現は ＜例えばＲＳＦ＞
! 種類 0005, 0050, 0500, 5000 と 数字 1000000001111 の ４種の組合せ
PRINT CNT1,TT$
FOR K= 1 TO 52-4
FOR L=K+1 TO 52-3
FOR M=L+1 TO 52-2
FOR N=M+1 TO 52-1
FOR O=N+1 TO 52
LET AA =A(K,0)+A(L,0)+A(M,0)+A(N,0)+A(O,0)+9*10^4
LET BB =A(K,1)+A(L,1)+A(M,1)+A(N,1)+A(O,1)+9*10^13
LET AA$=STR$(AA)
LET BB$=STR$(BB)
LET A$=AA$(2:5)
LET B$=BB$(2:14)
LET X=POS(B$,"4",1) ! 同じ数字が４枚あるか
IF X > 0 THEN
LET C4C=C4C+1 !4カード
GOTO 1000
END IF
LET Y=POS(B$,"3",1)
IF Y > 0 THEN GOTO 900 ELSE GOTO 901
900 REM
IF POS(B$,"2",1) >0 THEN
LET CFH=CFH+1 !フルハウス
GOTO 1000
END IF
LET C3C=C3C+1 !3カード
GOTO 1000
901 REM
LET Z=POS(B$,"2",1)
IF Z > 0 THEN GOTO 902 ELSE GOTO 903
902 REM
IF POS(B$,"2",Z+1) >0 THEN
LET C2P=C2P+1 !2ペアー
GOTO 1000
END IF
LET C1P=C1P+1 !1ペアー
GOTO 1000
903 REM 1枚も同じ数が無い数列
LET ZZ=POS(A$,"5",1)
LET ZX=POS(B$,"1",1)
LET ZX$=B$(ZX+1:ZX+4)
LET ZY$=B$(10:13)
IF ZZ=0 THEN GOTO 904 ELSE GOTO 905
904 REM
IF ZX$="1111" THEN
LET STR=STR+1
GOTO 1000
END IF
IF ZX=1 AND ZY$="1111" THEN
LET STR=STR+1
GOTO 1000
END IF
LET NP =NP+1
GOTO 1000
905 REM
IF ZX$="1111" THEN
LET SFL=SFL+1
GOTO 1000
END IF
IF ZX=1 AND ZY$="1111" THEN
LET RSF=RSF+1
GOTO 1000
END IF
LET FLS=FLS+1
1000 REM
LET CNT1=CNT1+1
LET CNT2=CNT2+1
IF CNT2=100000 THEN
LET CNT2 = 0
PRINT CNT1,TIME$
END IF
NEXT O
NEXT N
NEXT M
NEXT L
NEXT K
PRINT CNT1,TIME$
PRINT "Royal flush =",RSF
PRINT "Straight flush =",SFL
PRINT "Four of a kind =",C4C
PRINT "Full house =",CFH
PRINT "Flush =",FLS
PRINT "Straight =",STR
PRINT "Three of a kind =",C3C
PRINT "Two pair =",C2P
PRINT "One pair =",C1P
PRINT "No pair =",NP
PRINT "Total =",CNT1
END
! コピー終わり
私のパソコンでは RUN して 1分 34秒後に 以下の OUT PUT がありました。
Royal flush = 4
Straight flush = 36
Four of a kind = 624
Full house = 3744
Flush = 5108
Straight = 10200
Three of a kind = 54912
Two pair = 123552
One pair = 1098240
No pair = 1302540
Total = 2598960
2013年6月25日
Carbon nanotube
カーボンナノチューブの中の一つのタイプ、カイラルチューブの模型です。
カイラル指数 (6,3) で 左手回り螺旋です。
5×5 の角材で 20mm の三種の部品でできています。
14mm ぐらいにしたかったのですが 加工が困難でした。
ナノチューブの形状の種類は
アームチェアチューブ、ジグザグチューブ、カイラルチューブの
3種類に分けられます。
興味があっても なかなか理解しにくい といった印象が私にはありました。
そこで 以下のような図を作って 形状確認をしました。
jpgで作っています。A4でブリントアウトできます。
プリントアウトして この平らなままで円柱状にして 形状確認をしますと
正六角形 蜂の巣状の図を 円柱への投影という状態です。
それは ほとんどの稜線が 螺旋曲線になっています。
それを避けるために 以下の方法をとり用紙を加工しました。
六角形は黒の線で描写し 他の線は青で描いています。
青の線全てを 山折りにして しっかり折ります。
全て の折りが完了したら 用紙の長寸方向と平行な線を
全て しっかり谷折り状態に 折りなおします。
このように 加工した用紙で 形状確認をすると
私のように 関心はあるが もいち 理解が困難と思っていられる方も
少しは 理解が進むかもしれません。
でも これだけの作業では
六角形の六点あるかどの三つのかどが円柱に接していないこと
つまり 正六角の図面を加工し 丸めるだけでは 立体形成には無理だとも解ります。
一般に得られる概説では
平面を円柱に変形しただけの説明で終わっているように思えます。
三次元の空間の中の 円柱座標のこと また螺旋や楕円 そして
直線や捻れという概念に 理解を深める必要があると感じるようになりました。
Carbon nanotube の諸量や その計算ロジックについては
まだ お伝えする状態にはなっていません。
以前 計算し確認した諸量やロジックをもう一度 調べなおしています。
私が 参考にし 理解できる 資料に乏しく まだ自信がもてません。
そして 複雑になってしまった計算式を改良修正し 簡略化しようと思っています。
しばらく 時間がかかります。
2013年3月9日
04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体
04[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
09[5,5,5] Dodecahedron 正12面体 とその複合多面体 compounds の諸量をお伝えします。
04 [3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体
04 1.0000000000000000000 [3,3,3,3,3]稜寸
04 .85065080835203993218 [3,3,3,3,3]基本数
04 31.717474411461005324 [3,3,3,3,3]仰角( 144/233 )
04 .95105651629515357212 [3,3,3,3,3]頂芯寸( 136/143 )
04 .80901699437494742410 [3,3,3,3,3]稜芯寸( 144/178 )
04 36.000000000000000000 [3,3,3,3,3]片接合角( 178/245 )
04 .75576131407617073048 [3,3,3,3,3]面芯寸( 164/217 )
04 8.6602540378443864676 [3,3,3,3,3]面積
04 2.1816949906249123735 [3,3,3,3,3]体積
04 69.094842552110700967 [3,3,3,3,3]片面角( 233/089 )
04 138.18968510422140193 [3,3,3,3,3]ニ面角
04 [3,3,3,3,3] 稜部品 必要個数 30
09 [5,5,5] Dodecahedron 正12面体
09 1.0000000000000000000 [5,5,5]稜寸
09 .93417235896271569645 [5,5,5]基本数
09 20.905157447889299033 [5,5,5]仰角( 089/233 )
09 1.4012585384440735447 [5,5,5]頂芯寸( 220/157 )
09 1.3090169943749474241 [5,5,5]稜芯寸( 233/178 )
09 60.000000000000000000 [5,5,5]片接合角( 194/112 )
09 1.1135163644116067352 [5,5,5]面芯寸( 157/141 )
09 20.645728807067603073 [5,5,5]面積
09 7.6631189606246319687 [5,5,5]体積
09 58.282525588538994676 [5,5,5]片面角( 233/144 )
09 116.56505117707798935 [5,5,5]ニ面角
09 [5,5,5] 稜部品 必要個数 30
[3,3,3,3,3]+[5,5,5] compounds 複合多面体制作に必要な諸量
.61803398874989484820 [3,3,3,3,3] 0.5稜寸/稜芯寸( 144/233 )
.38196601125010515180 [5,5,5] 0.5稜寸/稜芯寸( 089/233 )
[3,3,3,3,3] 稜部品 必要個数 60
[5,5,5] 稜部品 必要個数 60
2013年2月14日
02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体
02[3,3,3,3] Octahedron 正八面体と
03[4,4,4] Hexahedron 正六面体 と
その複合多面体 compounds の諸量をお伝えします。
02 [3,3,3,3] Octahedron 正8面体
02 1.0000000000000000000 [3,3,3,3]稜寸
02 .70710678118654752440 [3,3,3,3]基本数
02 45.000000000000000000 [3,3,3,3]仰角( 180/180 )
02 .70710678118654752440 [3,3,3,3]頂芯寸( 169/239 )
02 .50000000000000000000 [3,3,3,3]稜芯寸( 125/250 )
02 45.000000000000000000 [3,3,3,3]片面接合角( 180/180 )
02 .40824829046386301637 [3,3,3,3]面芯寸( 089/218 )
02 3.4641016151377545871 [3,3,3,3]面積
02 .47140452079103168293 [3,3,3,3]体積
02 54.735610317245345685 [3,3,3,3]片面角( 239/169 )
02 109.47122063449069137 [3,3,3,3]二面角( 198/070 )
02 [3,3,3,3] 稜部品 必要個数 12
03 [4,4,4] Hexahedron 正6面体
03 1.0000000000000000000 [4,4,4]稜寸
03 .81649658092772603273 [4,4,4]基本数
03 35.264389682754654315 [4,4,4]仰角( 169/239 )
03 .86602540378443864676 [4,4,4]頂芯寸( 168/194 )
03 .70710678118654752440 [4,4,4]稜芯寸( 169/239 )
03 60.000000000000000000 [4,4,4]片接合角( 194/112 )
03 .50000000000000000000 [4,4,4]面芯寸( 125/250 )
03 6.0000000000000000000 [4,4,4]面積
03 1.0000000000000000000 [4,4,4]体積
03 45.000000000000000000 [4,4,4]片面角( 180/180 )
03 90.000000000000000000 [4,4,4]ニ面角
03 [4,4,4] 稜部品 必要個数 12
03 [4,4,4] Hexahedron 正6面体制作に用いる
cradleを作るのに必要な諸量は 45度の角度のみですみます。
[3,3,3,3]+[4,4,4] の複合多面体 制作に必要な諸量
稜芯寸を同一にするため 稜寸は異なります。
1.0000000000000000000 [3,3,3,3] の稜寸の半分/稜芯寸( 180/180 )
.70710678118654752440 [4,4,4] の稜寸の半分/稜芯寸( 169/239 )
[3,3,3,3] 稜部品 必要個数 24
[4,4,4] 稜部品 必要個数 24
2013年2月14日
01[3,3,3] ダイヤモンド結晶
今回は ダイヤモンド結晶模型製作の諸量を お伝えします。
すでに A4 用紙の図面で作る作業は掲載しているのですが 説明表現を変えています。
ダイヤモンド結晶の カテゴリーで検索クリックしていただければ
過去の説明と合わせて確認できます。
一つの炭素原子が 4つの炭素原子と共有結合で結ばれ その4つの炭素原子も
それぞれ 4つの炭素原子と共有結合で結ばれているという 立体構造です。
一つの炭素原子を正四面体の中芯点に置き 他の4つの原子を
正四面体の頂に置いた形です。
一般に発表されている結晶模型は この共有結合を 円柱の棒で表現しているようです。
ここでは 共有結合を模した形状を 角棒で表現しようとしています。
二つの頂と中芯点とでできる原子の角度は全て 109.47度で、 ここではその角度を三点角と表現します。
共有結合を表す 一つの棒の結合部分は 先端を 三点角の半分の角度 54.74度
でカットした面が均等に三面つくることになります。
均等に三面ということは 120度ずつ回転させて加工しなくてはなりません。
そこで 一つの面だけ 54.74度 (三点角/2) で加工し他の二つの面は
仰角 19.47度 (109.47から90を引いた値) と 接合角 120度の状態に加工します。
54.74度で加工した面に接する反対側を 70.53度 (仰角の余角、90 – 19.47) で整形しておけば
垂直面を左右から 60度での接合面角の加工となり 多面体部品制作で馴染みの作業です。
この方法で 今回は取り上げていない 円柱の加工も 容易にできます。
また 両端の接合面形状は 回転対称だということに注意が必要です。
109.47122063449069137 三点角
54.735610317245345685 三点角/2 ( 239/169 )
19.471220634490691369 仰角 ( 070/198 )
70.528779365509308631 仰角の余角 (198/070 )
60.000000000000000000 接合角/2 ( 194/112 )
2013年2月13日
01[3,3,3] 05[3,4,3,4] Compounds 多面体
前回 05 [3,4,3,4] の複合多面体 compounds の 諸量と
その元になる準正多面体と双対多面体の諸量をお伝えしました。
説明見本製作の 進展にあわせ 気づいたことなどを お伝えしようとしています。
複合多面体は少しマニアックでしょうし 関心度は低いと思いますので ゆっくり進めてゆきます。
そこで 多面体制作について お伝えしていった中で不十分であったと想われることを
改めて 掲載しようかなと思っています。
私がブログで載せて伝えようと思っていた多面体は
諸量のリストで上げている18種類です。
18種類に限定していることと
形状がわかる名称 ( [3,5,3,5]など ) を用いているためこれからは
正多面体と 準正多面体を区別せず 多面体という用語を用いようと思います。
ただ 表題にのみ
プラトンとかアルキメデスという名称も 使用しようかと思っています。
Platonic solid は プラトン多面体で 正多面体、
Archimedean solid は アルキメデス多面体で 準正多面体に 対応します。
ここで取り上げる一つの種類とは 多面体 双対多面体 そしてそれらの 複合多面体が含まれます。
今回は 01 [3,3,3] についてです。
01 [3,3,3] Tetrahedron 正4面体
01 1.0000000000000000000 [3,3,3]稜寸
01 .57735026918962576451 [3,3,3]基本数
01 54.735610317245345685 [3,3,3]仰角( 239/169 )
01 .61237243569579452455 [3,3,3]頂芯寸( 109/178 )
01 .35355339059327376220 [3,3,3]稜芯寸( 070/198 )
01 60.000000000000000000 [3,3,3]片面接合角( 194/112 )
01 .20412414523193150818 [3,3,3]面芯寸( 50/245 )
01 1.7320508075688772935 [3,3,3]面積
01 .11785113019775792073 [3,3,3]体積
01 35.264389682754654315 [3,3,3]片面角( 169/239 )
01 70.528779365509308631 [3,3,3]二面角( 198/070 )
01 .81649658092772603273 [3,3,3]面芯寸+頂芯寸( 178/218 )
01 [3,3,3] 稜部品 必要個数 6
01 [3,3,3] の双対多面体も [3,3,3]です。
複合多面体は 2012年6月8日 に説明しました Stella octangula 星型八面体です。
同じ寸法の稜部品を 中心で直角にクロスさせた unit を 6個結合すれば完成します。
ダイヤモンド結晶のカテゴリーで説明している立体も 01 [3,3,3] の仲間です。
2013年2月9日
05[3,4,3,4] Compounds 多面体 組物
[3,4,3,4] の複合多面体 compounds についてお伝えする前に その前提となる
Cuboctahedron 立方8面体と
その双対の Rhombic Dodecahedron 菱形12面体の諸量をまとめて表示しておきます。
この二つの製作方法については 既にお伝えしています。
05 [3,4,3,4] Cuboctahedron 立方8面体
05 .86602540378443864676 [3,4,3,4]基本数
05 30.000000000000000000 [3,4,3,4]仰角( 112/194 )
05 1.0000000000000000000 [3,4,3,4]頂芯寸( 180/180 )
05 .86602540378443864676 [3,4,3,4]稜芯寸( 168/194 )
05 54.735610317245345685 [3,4,3,4]4 接合角( 239/169 )
05 35.264389682754654315 [3,4,3,4]3 接合角( 169/239 )
05 .81649658092772603273 [3,4,3,4]3 面芯寸( 178/218 )
05 .70710678118654752440 [3,4,3,4]4 面芯寸( 169/239 )
05 9.4641016151377545871 [3,4,3,4]面積
05 2.3570226039551584147 [3,4,3,4]体積
05 54.735610317245345685 [3,4,3,4]4 面角( 239/169 )
05 70.528779365509308631 [3,4,3,4]3 面角( 198/070 )
05 125.26438968275465432 [3,4,3,4]二面角
05 [3,4,3,4] 稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4] Rhombic Dodecahedron 菱形12面体
05 120.00000000000000000 双[3,4,3,4]二面角
05 .75000000000000000000 双[3,4,3,4]面芯寸( 180/240 )
05 35.264389682754654315 双[3,4,3,4]4 仰角( 169/239 )
05 19.471220634490691369 双[3,4,3,4]3 仰角( 070/198 )
05 .61237243569579452455 双[3,4,3,4]4 稜寸( 109/178 )
05 .30618621784789726227 双[3,4,3,4]3 稜寸( 064/209 )
05 70.528779365509308631 双[3,4,3,4]4 かど角
05 109.47122063449069137 双[3,4,3,4]3 かど角
05 1.0606601717798212866 双[3,4,3,4]4 頂芯寸( 175/165 )
05 .91855865354369178682 双[3,4,3,4]3 頂芯寸( 124/135 )
05 9.5459415460183915794 双[3,4,3,4]面積
05 2.3864853865045978949 双[3,4,3,4]体積
05 45.000000000000000000 双[3,4,3,4]4 接合角/2( 180/180 )
05 60.000000000000000000 双[3,4,3,4]3 接合角/2( 194/112 )
05 .91855865354369178682 双[3,4,3,4]稜寸( 124/135 )
05 1.2247448713915890491 双[3,4,3,4]稜寸/面芯寸( 218/178 )
05 双[3,4,3,4] 稜部品 必要個数 24
05 [3,4,3,4]compounds 複合多面体 作成に必要な諸量
05 .57735026918962576451 複[3,4,3,4]0.5/稜芯寸( 112/194 )
05 .35355339059327376220 複[3,4,3,4]3形 稜寸/稜芯寸( 070/198 )
05 .70710678118654752440 複[3,4,3,4]4形 稜寸/稜芯寸( 169/239 )
05 [3,4,3,4]3,4形稜部品 必要個数 24
05 [3,4,3,4]3,4形と鏡面対称な稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4]4形稜部品 必要個数 24
05 双[3,4,3,4]3形稜部品 必要個数 24
2013年2月5日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 未分類
もう少しの頑張りです。
[3,4,4,4]複合多面体 compounds が やっとできました。
左の多面体が [3,4,4,4]準正多面体で その横が [3,4,4,4]双対多面体です。
私はここで 準正多面体という用語を用いていますが、日本語の Wikipediaでは、
半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) であり、
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである。
とし、論証として 以下を 挙げています。
自分で自分の首を絞めた話
～ 準正多面体と半正多面体 ～
京都大学名誉教授
工学博士 宮崎 興二
http://www.zome.jp/column/clm7/clm7.html
これだけの論証で 誤りと言い切れるのかと 驚いています。
この用語説明があるからといって 半正多面体という用語を使う気持ちはありません。
準正多面体という 翻訳用語もあまり好きではないのですが。
ギリシャ文化に起源をもつ多面体についての 日本語の書籍はきわめて少ないと思います。
和魂洋才 のもとに進められた 近代化への文化吸収では 洋魂扱いだったのでしょうか
イスラムやヨーロッパやアメリカの 思い入れとは大きく違うようです。
次回は 05 [ 3,4,3,4 ] Cuboctahedron 立方八面体 の複合多面体について
お伝えしようかと 思っています。
2013年2月4日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds 製作の 基本 unit 二種類とその複合体です。
左の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 4角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を縦方向に 4角形と 4角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unit です。
これを 4,4形 unit とします。
右の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 3角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を 上の4角形と 下の3角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unitです。
これを 4,3形 unit とします。
これらの unit を組み合わせた 二種類の複合体の画像を載せています。
どちらも 複合多面体の構成要素となるものです。
一つは 4,3形 unit を三つ組み合わせたものであり
もう一つは 4,4形 と 4,3形 を交互に組み合わせたものです。
今回は 4,4形 と 4,3形の 複合体の組合せで 立体を完成させようと思っています。
完成に近づいています。
2013年2月3日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
[3,4,4,4] の compounds 複合多面体の cradle と 稜部品です。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
左二つの cradle が 準正多面体 Rhombicuboctahedron
斜方立方8面体の稜部品製作用です。
4,3形と 4,4形の稜部品があり
4,3形とは 4角形の面と3角形の面に挟まれた 稜部品のことで
4,4形とは 4角形の面と4角形の面に挟まれた 稜部品のことです。
仰角は 20.94度 ( 075/196 ) で 稜部品の寸法は すべて 23.0mm になります。
左側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 49.21度( 175/151 ) の加工をします。
この cradle で 稜線を挟んで左右とも 4形の形状の稜部品(4,4形)を 48個つくります。
左側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 32.37度( 116/183 ) の加工をします。
この cradle で 片方が 3形の形状の稜部品をつくります。
そしてその片方を 上で説明した 4形の cradle で加工し (4,3形)として 24個つくります。
それと 4形と 3形が逆になっている稜部品を 24個つくります。
真ん中の cradle で 稜が直角に交差するための形状を作ります。
稜部品の すべての片端は 仰角 0度 接合各 45度×2 に加工します。
右二つの cradle が 双対多面体の Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体製作用です。
4形と 3形の稜部品があり
4形とは 元の多面体 (Rhombicuboctahedron)の 4角形の面の上にくる 稜部品のことで
3形とは 元の多面体の 3角形の面の上にくる 稜部品のことです。
右側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 45度( 180/180 ) の部品の加工をします。
仰角は 22.50度( 070/169 ) 寸法が 24.9mm で 72個つくります。
右側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 60度( 194/112 ) の部品の加工をします。
仰角は 12.76度( 029/128 ) 寸法が 13.6mm で 24個つくります。
これらの cradle で 計 5種類の稜部品をつくることになります。
そして それらを組み合わせて 2種類の 十字状の結合部品をつくると 作業がうまくゆきます。
二種類とは
4角形と 4角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 4角形をまたぐ稜が交差している結合部品と、
4角形と 3角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 3角形をまたぐ稜が交差している結合部品。
2013年2月3日
BASIC 多面体 諸量
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds の製作の説明をすべきですが
同じ作業を長く続けるのが苦手な私は 稜部品の製作が 遅々として進んでいません。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
時間稼ぎとして 双対多面体の諸量計算のシンプルな BASIC プログラムを お伝えしておきます。
!! コピー開始
! 双対多面体の諸量の計算
! 元の多面体の稜寸を 1 として
OPTION ANGLE DEGREES
! 求める双対多面体に対応する元の多面体の
! 稜芯寸を入力 し 正n角形の 角数を 入力
! *********************************
LET b00=1.30656296487639 ! 稜芯寸
LET b01=3 ! 角数
! *********************************
LET b02=360/b01/2 ! 接合角/2
LET b03=.5/TAN(b02) ! 辺心寸
LET b04=ASIN(b03/b00) ! 仰角
LET b05=b03/COS(b04) ! 稜寸
PRINT "稜寸 = "; 1
PRINT "稜芯寸 = "; b00
PRINT "正n角形 = "; b01
PRINT "接合角/2 = "; b02
PRINT "仰角 = "; b04
PRINT "双対稜寸 = "; b05
END
! コピー終わり
2013年1月31日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4]の準正多面体と
その双対多面体を複合させた多面体についてお伝えします。
準正多面体 で作る 複合多面体 compounds の説明は
以前 [3,5,3,5] においても行っています。
二つの多面体の 稜芯寸は 同一の値として計算します。
つまり 二つの多面体の稜が 直角に交差する形になります。
全ての値は 準正多面体 の稜の寸法が 1 としたときの値です。
08 [3,4,4,4]compounds 複合多面体 作成に必要な諸量
08 .38268343236508977173 複[3,4,4,4]0.5 /稜芯寸( 075/196 )
08 .22654091966098642160 複[3,4,4,4]3形 稜寸/稜芯寸( 029/128 )
08 .41421356237309504880 複[3,4,4,4]4形 稜寸/稜芯寸( 070/169 )
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4形 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3形 接合角( 116/183 )
08 [3,4,4,4]4,4形稜部品 必要個数 48
08 [3,4,4,4]4,3形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4]4,3形と 鏡面対称 な稜部品 必要個数 24
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4形 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3形 仰角( 029/128 )
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4形 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3形 接合角/2( 194/112 )
08 双[3,4,4,4]4形稜部品 必要個数 72
08 双[3,4,4,4]3形稜部品 必要個数 24
2013年1月17日
08[3,4,4,4] 多面体 製作道具
Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体製作の 二種類の cradle と
二種類の 形状に接合した 稜部品です。
cradle は 20.94度 (075/196) の仰角があり
左が 接合角 49.21度 (175/151)で 四角形を囲む 稜部品を作り、
右が 接合角 32.37度 (116/183)で 三角形を囲む 稜部品を作ります。
四角形の稜部品は4,4形を 四つ合わせ 6組あり、
三角形の稜部品は4,3形を 三つ合わせ 8組あります。
四角形の稜部品の “かど” と三角形の “かど” とを接合してゆけば 簡単に完成します。
接合作業は完了です(写真左)。
次回は [3,4,4,4] 複合多面体 compounds についてお伝えします。
2013年1月16日
BASIC 多面体 諸量
A4 の方眼紙 (section paper) で 角度や 寸法比の値を得たいときに
必要な数値を 整数/整数 に変換する BASIC のプログラムをお伝えします。
以下をコピーし 実行してください。
!! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! a00 に 数値入力
! 対辺/底辺 に変換したい角度は 90度より小さく 5度より大きい
! 整数/整数 に変換したい数値は 5 以下
! 上記の範囲で 計算ができます
!*************************
LET a00= 20.9410204722436
!*************************
LET a01=a00 ! 入力値加工
LET a02=250 ! 長いほうの罫線表示巾の寸法
LET a03=180 ! 短いほうの罫線表示巾の寸法
LET a04=1 ! 誤差初期値
LET a05=0 ! 小さい方の整数
LET a06=0 ! 大きい方の整数
LET a07=0 ! ｓｗａｐ サイン
IF a01>5 THEN ! 角度の変換か数値の変換かの判定
IF a01>45 THEN ! 45度より大の場合 余角で計算
LET a01=90-a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
LET a01=TAN(a01)
END IF
IF a01>1 THEN ! すべて 1より 小で計算
LET a01=1/a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
FOR x=a02 TO 1 STEP -1
LET a08=ROUND(x*a01,0) ! 短いほうの整数値
IF a08>180 THEN GOTO 100 ! 短いほうが 180以下になるまで計算しない
LET a09=ABS(a01-a08/x) ! 誤差の絶対値
IF a09< a04 THEN ! 誤差が最小か判定
LET a04=a09 ! 最小誤差値を入れる
LET a05=a08 ! 短いほうの数を入れる
LET a06=x ! 長いほうの数を入れる
END IF
100
NEXT x
PRINT a00 ! 入力値表示
IF a07=1 THEN SWAP a05,a06 ! ｓｗａｐ処理
PRINT a05;"/";a06 ! 演算値表示
END
! コピー終わり
2013年1月14日
BASIC 多面体 諸量
フリーウェアーソフトの 十進BASIC を使って 諸量の計算ができます。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照
様々な場面で活用され 紹介されているソフトです。
英語版 Decimal BASIC もあります。
以下のプログラムを コピーして それを実行すると 走ります。
試してみては いかがでしょう。
! の記号の後ろの 文字は プログラムでは実行されません。
気にせず コピーの中に含めて かまいません。
!!コピー開始*******************************************
!*** プラトン多面体 アルキメデス多面体の 諸量の計算 ***
!******************************************************
OPTION ANGLE DEGREES ! 三角関数の角の大きさの単位を度(DEGREES)にする
DIM men(18,6) ! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数
DIM met$(18) ! 多面体の記号
DIM khn(18,10) ! 多面体の基本数など
FOR s1=1 TO 18
FOR s2=1 TO 6
READ men(s1,s2) ! データを読み込む
NEXT s2
READ met$(s1) ! 多面体の記号を読込む
NEXT s1
PRINT "名称","基本数"
PRINT "①仰角","L接合角","M接合角","S接合角"
PRINT "②頂芯寸","稜芯寸"
PRINT "③L面芯寸","M面芯寸","S面芯寸"
PRINT
!********************
!*** 諸量計算開始 ***
!********************
FOR ss=1 TO 18
LET lk=men(ss,1) ! 大角形の角数
LET mk=men(ss,2) ! 中角形の角数
LET sk=men(ss,3) ! 小角形の角数
LET la=0.5/SIN(180/lk) ! L角心寸
LET ma=0.5/SIN(180/mk) ! M角心寸
LET sa=0.5/SIN(180/sk) ! S角心寸
! 内角を二等辺三角形の頂角としたときの底辺の1/2の長さ l01 m02 s03
LET l01=SIN((180-360/lk)/2)
LET m02=SIN((180-360/mk)/2)
LET s03=SIN((180-360/sk)/2)
LET l04=men(ss,4) ! 頂を構成する大角形の個数
LET m05=men(ss,5) ! 頂を構成する中角形の個数
LET s06=men(ss,6) ! 頂を構成する小角形の個数
LET f02 =0 ! 総接合角と360度との差の最小値 初期値は0
LET c0=l01 ! 基本数より短い値
LET c9=1 ! 基本数より長い値
101
LET c5=c9-(c9-c0)/2 ! 短と長の中間の 仮の基本数
LET l01X=ASIN(l01/c5) ! 角数が一番多い多角形面に 接する側の接合角
LET m02X=ASIN(m02/c5) ! 角数が次に多い多角形面に 接する側の接合角
LET s03X=ASIN(s03/c5) ! 角数が一番小い多角形面に 接する側の接合角
LET f01=360 -l01X*2*l04 -m02X*2*m05 -s03X*2*s06 ! 総接合角と360度との差
IF f01 = f02 THEN
LET khn(ss,1)=c5 ! 基本数
LET khn(ss,2)=l01X ! 大接合角
LET khn(ss,3)=m02X ! 中接合角
LET khn(ss,4)=s03X ! 小接合角
LET khn(ss,5)=ACOS(c5) !仰角
LET khn(ss,6)=1/SQR(1-c5^2)/2 ! 頂芯寸 = 外接球半径
LET khn(ss,7)=1/SQR(1-c5^2)/2*c5 ! 稜芯寸
LET khn(ss,8)=SQR(khn(ss,6)^2-la^2) ! L面芯寸
IF mk > 2 THEN
LET khn(ss,9)=SQR(khn(ss,6)^2-ma^2) ! M面芯寸
END IF
IF sk > 2 THEN
LET khn(ss,10)=SQR(khn(ss,6)^2-sa^2) ! S面芯寸
END IF
PRINT met$(ss), khn(ss,1)
PRINT "①";khn(ss,5),khn(ss,2),khn(ss,3),khn(ss,4)
PRINT "②";khn(ss,6),khn(ss,7)
PRINT "③";khn(ss,8),khn(ss,9),khn(ss,10)
PRINT
GO TO 102
END IF
LET f02 = f01
IF f01 > 0 THEN !総接合角が360度に満たない→仮の基本数c5が基本数より長い
LET c9 = c5 ! 基本数より長い値に仮の基本数c5を入れる
ELSE ! 総接合角が 360度をオーバー → 仮の基本数c5が基本数より短い
LET c0 = c5 ! 基本数より短い値に仮の基本数c5を入れる
END IF
GOTO 101
102
NEXT ss
!*******************
!*** データ領域 ***
!*******************
! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数 (2角数は ダミー)
! (1)L角数 (2)M角数 (3)S角数 (4)L個数 (5)M個数 (6)S個数
DATA 3, 2, 2, 3, 1, 1 , "01[3,3,3] "
DATA 3, 2, 2, 4, 1, 1 , "02[3,3,3,3]"
DATA 4, 2, 2, 3, 1, 1 , "03[4,4,4]"
DATA 3, 2, 2, 5, 1, 1 , "04[3,3,3,3,3]"
DATA 4, 3, 2, 2, 2, 1 , "05[3,4,3,4]"
DATA 6, 3, 2, 2, 1, 1 , "06[3,6,6]"
DATA 4, 3, 2, 1, 4, 1 , "07[3,3,3,3,4]"
DATA 4, 3, 2, 3, 1, 1 , "08[3,4,4,4]"
DATA 5, 2, 2, 3, 1, 1 , "09[5,5,5]"
DATA 6, 4, 2, 2, 1, 1 , "10[4,6,6]"
DATA 5, 3, 2, 2, 2, 1 , "11[3,5,3,5]"
DATA 8, 3, 2, 2, 1, 1 , "12[3,8,8]"
DATA 5, 3, 2, 1, 4, 1 , "13[3,3,3,3,5]"
DATA 5, 4, 3, 1, 2, 1 , "14[3,4,5,4]"
DATA 8, 6, 4, 1, 1, 1 , "15[4,6,8]"
DATA 6, 5, 2, 2, 1, 1 , "16[5,6,6]"
DATA 10, 3, 2, 2, 1, 1 , "17[3,10,10]"
DATA 10, 6, 4, 1, 1, 1 , "18[4,6,10]"
END ! コピー終わり
注 計算結果は
一般解を求める BASIC program の出力一覧 (2015 8/4) で表示しています。
2013年1月11日
08[3,4,4,4] 多面体 諸量
[3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体 と
Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体の諸量を表記しておきます。
08 [3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体
08 .93394883109446475958 [3,4,4,4]基本数
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 1.3989663259659067020 [3,4,4,4]頂芯寸( 249/178 )
08 1.3065629648763765279 [3,4,4,4]稜芯寸( 179/137 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3 接合角( 116/183 )
08 1.2071067811865475244 [3,4,4,4]4 面芯寸( 204/169 )
08 1.2742736942483016631 [3,4,4,4]3 面芯寸( 223/175 )
08 21.464101615137754587 [3,4,4,4]面積
08 8.7140452079103168293 [3,4,4,4]体積
08 67.500000000000000000 [3,4,4,4]4 面角
08 77.235610317245345685 [3,4,4,4]3 面角
08 135.00000000000000000 [3,4,4,4]4,4 面角
08 144.73561031724534568 [3,4,4,4]4,3 面角
08 [3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
08 双対[3,4,4,4]Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
08 138.11795905551232225 双[3,4,4,4]二面角
08 1.2202629537976100741 双[3,4,4,4]面芯寸( 205/168 )
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3 仰角( 029/128 )
08 .54119610014619698440 双[3,4,4,4]4 稜寸( 092/170 )
08 .29598997565807943876 双[3,4,4,4]3 稜寸( 074/250 )
08 81.578941881850578219 双[3,4,4,4]4 かど角
08 115.26317435444826534 双[3,4,4,4]3 かど角
08 1.4142135623730950488 双[3,4,4,4]4 頂芯寸( 239/169 )
08 1.3396704247226696103 双[3,4,4,4]3 頂芯寸( 213/159 )
08 21.513454645857756671 双[3,4,4,4]面積
08 8.7506905708484345088 双[3,4,4,4]体積
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3 接合角/2( 194/112 )
08 1.0823922002923939688 双[3,4,4,4]4,4 稜寸( 184/170 )
08 .83718607580427642316 双[3,4,4,4]4,3 稜寸( 180/215 )
08 .88701553785915963963 双[3,4,4,4]4,4 稜寸/面芯寸( 157/177 )
08 .68607022215896109603 双[3,4,4,4]4,3 稜寸/面芯寸( 118/172 )
08 双[3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 双[3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
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