prism
BASIC prism 多面体 諸量
下画像の 手前右が[4,4,5]正五角柱で 左がその双対です。
正多角柱 uniform prisms とその双対の 一般解を求める BASIC プログラムです。
OPTION ANGLE DEGREES ! [ 4,4,n] Archimedean solid
LET b001=5 ! 5 角数を指定 今は 5
LET b002=360/b001 ! 72 360/角数
LET b003=.5/SIN(b002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET b004=.5/TAN(b002/2) ! .688190960235587 四角面芯寸
LET b005=SQR((SQR(2)/2)^2+b004^2) ! .986715155325983 外接球半径
LET b006=SQR(b005^2-.5^2) ! .85065080835204 稜芯寸
LET b007=ASIN(.5/b005) ! 30.4463843170652 仰角
LET b008=COS(b007) ! .862103722396976 角錐底かど・心
LET b009=ASIN(SQR(2)/2/b008) ! 55.1059009029448 4角接合角
LET b010=(360-b009*2*2)/2 ! 69.7881981941104 5角接合角
LET b011=ASIN(b004/b003) ! 54 4面角 5双仰角
LET b012=ACOS(b004/b003) ! 36 5面角 4双仰角
LET b013=.5/COS(b012) ! .618033988749895 双4稜寸
LET b014=b004/COS(b011) ! 1.17082039324994 双5稜寸
LET b015=b013*2 ! 1.23606797749979 双4,4稜寸
LET b016=b013+b014 ! 1.78885438199984 双4,5稜寸
LET b017=360/4/2 ! 45 双4接合角/2
LET b018=360/b001/2 ! 36 双5接合角/2
LET b019=b006/COS(b012) ! 1.05146222423827 4 頂芯寸
LET b020=b006/COS(b011) ! 1.44721359549996 5 頂芯寸
PRINT "正";b001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", b003
PRINT "頂芯寸 = ", b005
PRINT "稜芯寸 = ", b006
PRINT "仰角 =",b007
PRINT "片面 4 角形接合角 =",b009
PRINT "片面";b001;"角形接合角 =",b010
PRINT " "
PRINT "正";b001;"角柱双対"
PRINT " 4 稜寸 = ",b013
PRINT b001;"稜寸 = ",b014
PRINT " S 稜寸 = ",b015
PRINT " L 稜寸 = ",b016
PRINT " S / L ",b015/b016
PRINT " 4 角接合角/2 =", b017
PRINT b001;"角接合角/2 =", b018
PRINT " 4 角仰角 = ", b012
PRINT b001;"角仰角 = ", b011
PRINT " 4 頂芯寸 = ", b019
PRINT b001;"頂芯寸 = ",b020
END ! プログラム終わり
計算数値の整数比
30.446 = 077/131
55.106 = 195/136
69.788 = 201/074
.69098 = 161/233 = S / L
45.000 = 180/180
36.000 = 178/245
54.000 = 245/178
2013年7月30日
prism 多面体 諸量
“辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 反角柱 antiprism の
双対多面体の長さはいくらか？” という問題について お伝えします。
私は 15桁を越す数値計算には 多倍長電卓LM というフリーウエアーを用いています。
( 参照 URL=http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html )
以下がそれで作ったプログラムです。C言語的なソフトです。
//--------------コピー開始------------------
a1=40075*1000*100; // n角形を指定 約40,075 km
b1= pi*2/a1; // 360/角数
c1=0.5/sin(b1/2); // 外接円柱半径
d1=0.5*tan(b1/4); // n角の辺・心寸
e1=sqrt(3)/2; // 3角かど・辺寸
f1=sqrt(e1^2-d1^2); // 3角かど・辺寸 軸面投影
g1=sqrt((f1/2)^2+c1^2); // 外接球半径
h1=0.5/g1; // 角錐高
i1=asin(h1); // 稜仰角
j1=g1*cos(i1); // 稜芯寸
k1=pi*2/a1/2; // 双n接合角/2
l1=0.5/tan(k1); // 双n辺心寸
m1=asin(l1/j1); // 双n仰角
n1=j1/cos(m1); // n頂芯寸
print "";
print "[3,3,3,4007500000] dual polyhedron";
print "";
print "n頂芯寸";
print n1;
print "";
print "光年"; // 9 460 730 472 580 800 m
print n1*2/(9460730472580800*100);
//------------コピー終わり------------------
以下が 20桁指定での計算結果です
[3,3,3,4007500000] dual polyhedron
n頂芯寸
= 939478161669236009.35
光年
= 1.9860584008645899692
2013年7月28日
BASIC prism 多面体
[3,3,3,5] 反角柱 antiprism 諸量計算の BASIC のプログラムを載せておきます。
このプログラムは [3,3,3,5] の諸量計算ですが 角数を変えることで
色々な角数て計算出来ます。
角数を大きくすればするほど 双対多面体の長方向の寸法が格段に大きくなります。
そこで 辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 双対多面体の長さはいくらかと
計算させると エラーになってしまいました。桁数が 大きすぎました。
約 4007500000 角形です。
別のソフトで計算すると 約二光年弱 (1.9861) の長さになりました。
このプログラムについては 次回にお伝えしようかと思っています。
! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! ------------------------------------------------------------
LET a001=5 ! 5 角数入力
! ------------------------------------------------------------
LET a002=360/a001 ! 72 360/角数
LET a003=.5/SIN(a002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET a004=.5*TAN(a002/4) ! .162459848116453 5角の辺・心寸
LET a005=SQR(3)/2 ! .866025403784439 3角かど・辺寸
LET a006=ASIN(a004/a005) ! 10.8123169635717 3角面仰角
LET a007=SQR(a005^2-a004^2) ! .85065080835204 3角かど・辺寸 軸面投影
LET a008=SQR((a007/2)^2+A003^2) ! .951056516295154 外接球半径
LET a009=COS(a002/2) ! .809016994374947 二等辺三角の底寸/2
LET a010=.5/A008 ! .525731112119133 角錐高
LET a011=ASIN(a010) ! 31.717474411461 稜仰角
LET a012=SQR(1-a010^2) ! .85065080835204 三角錐底のかど・心寸
LET a013=a008*COS(a011) ! .809016994374948 稜芯寸
LET a014=ASIN(a009/a012) ! 71.9999999999999 5角形接合角
LET a015=(360-a014*2)/3/2 ! 36 3角形接合角
LET a016=360/3/2 ! 60 双3接合角/2
LET a017=.5/TAN(a016) ! .288675134594813 双3辺心寸
LET a018=ASIN(a017/a013) ! 20.9051574478893 双3仰角
LET a019=a017/COS(a018) ! .309016994374948 双3稜寸
LET a020=360/a001/2 ! 36 双5接合角/2
LET a021=.5/TAN(a020) ! .688190960235587 双5辺心寸
LET a022=ASIN(a021/a013) ! 58.282525588539 双5仰角
LET a023=a021/COS(a022) ! 1.30901699437495 双5稜寸
LET a024=a013/COS(a018) ! .866025403784439 3頂芯寸
LET a025=a013/COS(a022) ! 1.53884176858763 5頂芯寸
PRINT "反";a001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", a003
PRINT "頂芯寸 = ", a008
PRINT "稜芯寸 = ", a013
PRINT "仰角 =",a011
PRINT "片面 3 角形接合角 =",a015
PRINT "片面";a001;"角形接合角 =",a014
PRINT " "
PRINT "反";a001;"角柱双対"
PRINT " 3 稜寸 = ",a019
PRINT a001;"稜寸 = ",a023
PRINT " S 稜寸 = ",a019*2
PRINT " L 稜寸 = ",a019+a023
PRINT " S / L ",a019*2/(a019+a023)
PRINT " 3 角接合角/2 =", a016
PRINT a001;"角接合角/2 =", a020
PRINT " 3 角仰角 = ", a018
PRINT a001;"角仰角 = ", a022
PRINT " 3 頂芯寸 = ", a024
PRINT a001;"頂芯寸 = ",a025
END
! コピー終わり
2013年7月25日
prism 多面体
下左の画像は[3,3,3,5] 反角柱の 双対多面体です。
下右の画像は
[3,3,3,5] 反角柱と諸量に共通なものがみられる[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体と
双対関係にある正十二面体 [5,5,5] Dodecahedronです。
この二つの 諸量にも共通点がみられます。
もとの多面体の稜寸を 1としたときの諸量です。
[3,3,3,5] dual polyhedron 反正５角柱双対
.30901699437494742410 [3,3,3,5]双対 3稜寸( 072/233 )
1.3090169943749474241 [3,3,3,5]双対 5稜寸( 233/178 )
.61803398874989484820 [3,3,3,5]双対 S稜寸( 144/233 )
1.6180339887498948482 [3,3,3,5]双対 L稜寸( 233/144 )
.38196601125010515180 [3,3,3,5]双対 S / L( 089/233 )
20.905157447889299033 [3,3,3,5]双対 3仰角( 089/233 )
58.282525588538994676 [3,3,3,5]双対 5仰角( 233/144 )
60.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 3接合角/2( 194/112 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]双対 5接合角/2( 178/245 )
.86602540378443864676 [3,3,3,5]双対 3頂芯寸
1.5388417685876267013 [3,3,3,5]双対 5頂芯寸
[3,3,3,5]双対 S稜部品 必要個数 10
[3,3,3,5]双対 L稜部品 必要個数 10
2013年7月25日
prism 多面体 諸量
準正多面体でありながら アルキメデス多面体の仲間として言及されることが少ない
多面体についてお伝えします。
今回は [3,3,3,5] 反角柱 antiprism です。
一辺の寸法が同一で角数も同一の二つの正多角形の面があり
それらの多角形の中心点を垂直に通る軸を共有し
一つの面の辺と他の面のかどとが 正三角形になるような稜でできた多面体です。
一つの面の辺と他の面の辺 とが 正四角形になるような稜でできた多面体は
正角柱といいます。
正多角形の角数は無限にあり 角数が増えると 円に近い正多角形の薄い板になります。
美的には評価できず アルキメデス多面体から仲間はずれになった大きな理由でしょう。
下の左の画像が [3,3,3,5] 反角柱で 右が諸量の値がよく似ている
[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体です。
[3,3,3,5] antiprism 反正５角柱
1.0000000000000000000 [3,3,3,5]稜寸
.85065080835203993218 [3,3,3,5]基本数
31.717474411461005324 [3,3,3,5]仰角( 144/233 )
.85065080835203993218 外接円柱半径
.95105651629515357212 [3,3,3,5]頂芯寸( 136/143 )
.80901699437494742410 [3,3,3,5]稜芯寸( 144/178 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]3 接合角/2( 178 / 245 )
72.000000000000000000 [3,3,3,5]5 接合角/2( 237 / 077 )
[3,3,3,5] 3 3 個数 10
[3,3,3,5] 3 5 個数 10
2013年7月24日
