08[3,4,4,4]
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 未分類
もう少しの頑張りです。
[3,4,4,4]複合多面体 compounds が やっとできました。
左の多面体が [3,4,4,4]準正多面体で その横が [3,4,4,4]双対多面体です。
私はここで 準正多面体という用語を用いていますが、日本語の Wikipediaでは、
半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) であり、
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである。
とし、論証として 以下を 挙げています。
自分で自分の首を絞めた話
～ 準正多面体と半正多面体 ～
京都大学名誉教授
工学博士 宮崎 興二
http://www.zome.jp/column/clm7/clm7.html
これだけの論証で 誤りと言い切れるのかと 驚いています。
この用語説明があるからといって 半正多面体という用語を使う気持ちはありません。
準正多面体という 翻訳用語もあまり好きではないのですが。
ギリシャ文化に起源をもつ多面体についての 日本語の書籍はきわめて少ないと思います。
和魂洋才 のもとに進められた 近代化への文化吸収では 洋魂扱いだったのでしょうか
イスラムやヨーロッパやアメリカの 思い入れとは大きく違うようです。
次回は 05 [ 3,4,3,4 ] Cuboctahedron 立方八面体 の複合多面体について
お伝えしようかと 思っています。
2013年2月4日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds 製作の 基本 unit 二種類とその複合体です。
左の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 4角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を縦方向に 4角形と 4角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unit です。
これを 4,4形 unit とします。
右の方に整列しているのは
準正多面体の4角形と 3角形に挟まれる稜が横方向にあり
その中心を 上の4角形と 下の3角形をまたぐ
双対多面体の稜が交差している unitです。
これを 4,3形 unit とします。
これらの unit を組み合わせた 二種類の複合体の画像を載せています。
どちらも 複合多面体の構成要素となるものです。
一つは 4,3形 unit を三つ組み合わせたものであり
もう一つは 4,4形 と 4,3形 を交互に組み合わせたものです。
今回は 4,4形 と 4,3形の 複合体の組合せで 立体を完成させようと思っています。
完成に近づいています。
2013年2月3日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
[3,4,4,4] の compounds 複合多面体の cradle と 稜部品です。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
左二つの cradle が 準正多面体 Rhombicuboctahedron
斜方立方8面体の稜部品製作用です。
4,3形と 4,4形の稜部品があり
4,3形とは 4角形の面と3角形の面に挟まれた 稜部品のことで
4,4形とは 4角形の面と4角形の面に挟まれた 稜部品のことです。
仰角は 20.94度 ( 075/196 ) で 稜部品の寸法は すべて 23.0mm になります。
左側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 49.21度( 175/151 ) の加工をします。
この cradle で 稜線を挟んで左右とも 4形の形状の稜部品(4,4形)を 48個つくります。
左側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 32.37度( 116/183 ) の加工をします。
この cradle で 片方が 3形の形状の稜部品をつくります。
そしてその片方を 上で説明した 4形の cradle で加工し (4,3形)として 24個つくります。
それと 4形と 3形が逆になっている稜部品を 24個つくります。
真ん中の cradle で 稜が直角に交差するための形状を作ります。
稜部品の すべての片端は 仰角 0度 接合各 45度×2 に加工します。
右二つの cradle が 双対多面体の Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体製作用です。
4形と 3形の稜部品があり
4形とは 元の多面体 (Rhombicuboctahedron)の 4角形の面の上にくる 稜部品のことで
3形とは 元の多面体の 3角形の面の上にくる 稜部品のことです。
右側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 45度( 180/180 ) の部品の加工をします。
仰角は 22.50度( 070/169 ) 寸法が 24.9mm で 72個つくります。
右側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 60度( 194/112 ) の部品の加工をします。
仰角は 12.76度( 029/128 ) 寸法が 13.6mm で 24個つくります。
これらの cradle で 計 5種類の稜部品をつくることになります。
そして それらを組み合わせて 2種類の 十字状の結合部品をつくると 作業がうまくゆきます。
二種類とは
4角形と 4角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 4角形をまたぐ稜が交差している結合部品と、
4角形と 3角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 3角形をまたぐ稜が交差している結合部品。
2013年2月3日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4]の準正多面体と
その双対多面体を複合させた多面体についてお伝えします。
準正多面体 で作る 複合多面体 compounds の説明は
以前 [3,5,3,5] においても行っています。
二つの多面体の 稜芯寸は 同一の値として計算します。
つまり 二つの多面体の稜が 直角に交差する形になります。
全ての値は 準正多面体 の稜の寸法が 1 としたときの値です。
08 [3,4,4,4]compounds 複合多面体 作成に必要な諸量
08 .38268343236508977173 複[3,4,4,4]0.5 /稜芯寸( 075/196 )
08 .22654091966098642160 複[3,4,4,4]3形 稜寸/稜芯寸( 029/128 )
08 .41421356237309504880 複[3,4,4,4]4形 稜寸/稜芯寸( 070/169 )
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4形 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3形 接合角( 116/183 )
08 [3,4,4,4]4,4形稜部品 必要個数 48
08 [3,4,4,4]4,3形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4]4,3形と 鏡面対称 な稜部品 必要個数 24
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4形 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3形 仰角( 029/128 )
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4形 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3形 接合角/2( 194/112 )
08 双[3,4,4,4]4形稜部品 必要個数 72
08 双[3,4,4,4]3形稜部品 必要個数 24
2013年1月17日
08[3,4,4,4] 多面体 製作道具
Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体製作の 二種類の cradle と
二種類の 形状に接合した 稜部品です。
cradle は 20.94度 (075/196) の仰角があり
左が 接合角 49.21度 (175/151)で 四角形を囲む 稜部品を作り、
右が 接合角 32.37度 (116/183)で 三角形を囲む 稜部品を作ります。
四角形の稜部品は4,4形を 四つ合わせ 6組あり、
三角形の稜部品は4,3形を 三つ合わせ 8組あります。
四角形の稜部品の “かど” と三角形の “かど” とを接合してゆけば 簡単に完成します。
接合作業は完了です(写真左)。
次回は [3,4,4,4] 複合多面体 compounds についてお伝えします。
2013年1月16日
08[3,4,4,4] 多面体 諸量
[3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体 と
Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体の諸量を表記しておきます。
08 [3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体
08 .93394883109446475958 [3,4,4,4]基本数
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 1.3989663259659067020 [3,4,4,4]頂芯寸( 249/178 )
08 1.3065629648763765279 [3,4,4,4]稜芯寸( 179/137 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3 接合角( 116/183 )
08 1.2071067811865475244 [3,4,4,4]4 面芯寸( 204/169 )
08 1.2742736942483016631 [3,4,4,4]3 面芯寸( 223/175 )
08 21.464101615137754587 [3,4,4,4]面積
08 8.7140452079103168293 [3,4,4,4]体積
08 67.500000000000000000 [3,4,4,4]4 面角
08 77.235610317245345685 [3,4,4,4]3 面角
08 135.00000000000000000 [3,4,4,4]4,4 面角
08 144.73561031724534568 [3,4,4,4]4,3 面角
08 [3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
08 双対[3,4,4,4]Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
08 138.11795905551232225 双[3,4,4,4]二面角
08 1.2202629537976100741 双[3,4,4,4]面芯寸( 205/168 )
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3 仰角( 029/128 )
08 .54119610014619698440 双[3,4,4,4]4 稜寸( 092/170 )
08 .29598997565807943876 双[3,4,4,4]3 稜寸( 074/250 )
08 81.578941881850578219 双[3,4,4,4]4 かど角
08 115.26317435444826534 双[3,4,4,4]3 かど角
08 1.4142135623730950488 双[3,4,4,4]4 頂芯寸( 239/169 )
08 1.3396704247226696103 双[3,4,4,4]3 頂芯寸( 213/159 )
08 21.513454645857756671 双[3,4,4,4]面積
08 8.7506905708484345088 双[3,4,4,4]体積
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3 接合角/2( 194/112 )
08 1.0823922002923939688 双[3,4,4,4]4,4 稜寸( 184/170 )
08 .83718607580427642316 双[3,4,4,4]4,3 稜寸( 180/215 )
08 .88701553785915963963 双[3,4,4,4]4,4 稜寸/面芯寸( 157/177 )
08 .68607022215896109603 双[3,4,4,4]4,3 稜寸/面芯寸( 118/172 )
08 双[3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 双[3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
2013年1月11日
08[3,4,4,4] 多面体
組み立て作業中です。
アップにすると欠点が目立ちますが 完成しました。
2012年9月9日
08[3,4,4,4] 多面体 製作道具
[3,4,4,4]双対多面体製作に必要な
二種類のクレィドル cradle とその加工完成部品です。
左側の cradle で [3,4,4,4]準正多面体 の四角形面の中心の上で稜が
四本集まる双対多面体部品を加工します。
接合面は 左右それぞれ 45度 仰角は 22.5度です。
右側の cradle で [3,4,4,4]準正多面体 の三角形面の中心の上で稜が
三本集まる双対多面体部品を加工します。
接合面は 左右それぞれ 60度 仰角は 12.8度です。
四角形と四角形を渡る部品を 24個作ります。
接合面はどちらの側も両面とも 45度で合わせて 90度です。
四角形と三角形を渡る部品を 24個作ります。
接合面は片側が両面とも 45度で合わせて 90度になり
もう一方の片側が両面とも 60度で合わせて 120度になります。
2012年9月8日
08[3,4,4,4] 多面体
[3,4,4,4]の双対多面体(Trapezoidal Icositetrahedron ) の二種類の部材を
接合面の角度整形前の状態にカットしたものです (今回は すす竹風の箸を使っています)。
この双対多面体の面芯寸を 35mm として寸法決めをしています。
つまり 完成品の高さが 70mm になるように 部材の長さを決めています。
右上のかたまりは 双対多面体のもとの多面体の四角形ふたつをまたぐ稜で
31.05mmの寸法です。
双対多面体の面芯寸 1に対し 0.8870 の関係にあり ( 239 : 212 )
背景のグラフの右側の斜線で 表示しています。
横線の高さが 35 であり 斜線との交点が 31.05 になります。
画面下のかたまりは 双対多面体のもとの多面体の四角形と三角形をまたぐ稜で
24.01mmの寸法です。
双対多面体の面芯寸 1に対し 0.6861 の関係にあり ( 172 : 118 )
背景のグラフの左側の斜線で 表示しています。
横線の高さが 35 であり 斜線との交点が 24.01 になります。
大きい方の稜のカット面は 双対多面体のもとの多面体の四角形の面角です。
小さい方の稜のカット面は 双対多面体のもとの多面体の四角形の面角を片方にもち
三角形の面角をもう一方にもちます。
部材の必要個数は どちらも 24個です。
2012年9月2日
08[3,4,4,4] 多面体
やっと 双対多面体の説明を始めます。
写真左が 斜方立方8面体(Rhombicuboctahedron) という準正多面体 で
右がその双対多面体の凧形24面体(Trapezoidal Icositetrahedron ) です。
右と左の多面体を稜芯寸を同じくして合体させると
複合多面体 compounds になりますが
それをイメージし易いように 向きを合わせて撮っています。
左の多面体の四角形や三角形の中心の上に 右の多面体の頂がきて
稜の本数は 四角形の上は 4本 三角形の上は 3本です。
四角形の稜の中点から 双対多面体の稜が四本集まっている頂に
仰角 22.50度 (面角 67.50度の余角) で稜があります。
また 三角形の稜の中点から 双対多面体の稜が三本集まっている頂に
仰角 12.76度 (面角 77.24度の余角) で稜があります。
そして 双対多面体の面の中点の上に 準正多面体 の頂がきます。
双対多面体の面芯寸は 稜芯寸 × 基本数
1.307 × 0.934 = 1.221 です。
四角形の上の 双対頂芯寸は 多面体稜芯寸 × 多面体稜芯寸 / 多面体面芯寸
1.307 × 1.307 / 1.207 = 1.415 です。
同じように 三角形での頂芯寸は
1.307 × 1.307 / 1.274 = 1.341 です。
2012年8月27日
