正多面体 Platonic solid 7
正多面体とその双対多面体とでできる複合多面体についてまとめておきます。
このブログでの取り扱い対象の内容と 限定してです。
■複合多面体の種類は
[3,3,3] 正４面体 と [3,3,3] 正４面体 が複合したもの
[3,3,3,3] 正８面体 と [4,4,4] 正６面体 が複合したもの
[3,3,3,3,3] 正20面体 と [5,5,5] 正12面体 が複合したもの
の 三種類あり 正多面体の双対多面体も 正多面体です。
■複合多面体の稜の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸 1 に対し [3,3,3] の 稜寸も 1 整数比では 1 対 1
[3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [4,4,4] の 稜寸は 0.707107 整数比では 239 対 169
[4,4,4] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3] の 稜寸は 1.41420 整数比では 169 対 239
[3,3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [5,5,5] の 稜寸は 0.618034 整数比では 233 対 144
[5,5,5] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3,3] の 稜寸は 1.61803 整数比では 144 対 233
■正多面体の頂芯線に稜部品の先端の接合角と形状は
[3,3,3] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3] の 頂には ４本の稜が接し 360 / 4 の 90 の角度で ４本が接する。
[4,4,4] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3,3] の 頂には ５本の稜が接し 360 / 5 の 72 の角度で ５本が接する。
[5,5,5] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
■正多面体の頂芯線と稜線とでできる突合せ角は
[3,3,3] の 仰角は 54.7356 なので 90 - 54.7356 で 35.2644
[3,3,3,3] の 仰角は 45 なので 90 - 45 で 45
[4,4,4] の 仰角は 35.2644 なので 90 - 35.2644 で 54.7356
[3,3,3,3,3] の 仰角は 31.7175 なので 90 - 31.7175 で 58.2825
[5,5,5] の 仰角は 20.9052 なので 90 - 20.9052 で 69.0948
■正多面体の稜寸と稜芯寸の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.353553 なので 280 対 099
[3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.5 なので 296 対 148
[4,4,4] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.707107 なので 239 対 169
[3,3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.809017 なので 199 対 161
[5,5,5] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 1.30902 なので 178 対 233
以下に 諸量の Excel 用のリストを載せておきます。
画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件転記できます。
元の多面体 仰角 片接合角 90-仰角 90-片接合角 元稜寸 双稜寸 稜寸比 稜芯寸 1/ 稜芯寸 双対多面体
01[3,3,3] 54.7356 60 35.2644 30 1 1 210/210 0.353553 280/099 [3,3,3]
02[3,3,3,3] 45 45 45 45 1 0.707107 239/169 0.5 296/148 [4,4,4]
03[4,4,4] 35.2644 60 54.7356 30 1 1.41421 169/239 0.707107 239/169 [3,3,3,3]
04[3,3,3,3,3] 31.7175 36 58.2825 54 1 0.618034 233/144 0.809017 199/161 [5,5,5]
09[5,5,5] 20.9052 60 69.0948 30 1 1.61803 144/233 1.30902 178/233 [3,3,3,3,3]
2016年8月10日
