諸量
18[4,6,10] BASIC sphericity 多面体 諸量
2013年8月11日に多面体の球形度をお伝えしていますが
数値だけで 計算根拠を載せていませんでした。
別々に作ったプログラムでの計算数値を比較して 正確性をチェックしていました。
その時点では 公表されている 資料が手元になく少し不安が残っていました。
先日 英語版の Wikipedia での表面積計算が Truncated icosidodecahedron
斜方切頂20･12面体 [4,6,10] で 175.031045 となっているのを発見しました。 *注
私の計算結果は174.29203034232392088 です。
また やってしまったかと思い 他の言語の Wikipedia も調べると、
ドイツ語版の数式を計算すると 私と同じ結果になりました。すこし安心しました。
不安を一掃するために もう一度計算プログラムを作ってみました。
2013年1月11日に掲載した 計算プログラムで算出した諸量をもとに
表面積計算を追加して求めています。判断を仰ぎます。
OPTION ANGLE DEGREES
OPTION BASE 0
DIM x001(10) ! 多角形の面積
DIM x002(18,6) ! 既知諸量
DIM x003$(18) ! 名称
DIM x004(18,4) ! 頂芯寸 面芯寸
FOR x=1 TO 6
READ m
LET x001(m)=0.5/TAN(180/m)*m*0.5 ! 多角形面積入力
NEXT x
FOR y=1 TO 18
FOR z=1 TO 6
READ x002(y,z) ! 数値入力
NEXT z
READ x003$(y) ! 名称入力
NEXT y
FOR p=1 TO 18
FOR q=1 TO 4
READ x004(p,q)
NEXT q
NEXT p
PRINT "名称",
PRINT " 外接球半径 = R",
PRINT " 表面積 = S ",
PRINT " 体積 = V ",
PRINT " V/(S*R)"
FOR u=1 TO 18
LET f11=x002(u,1)
LET f12=x002(u,2)
LET f13=x002(u,3)
LET f21=x002(u,4)
LET f22=x002(u,5)
LET f23=x002(u,6)
LET g10=x004(u,1)
LET g11=x004(u,2)
LET g12=x004(u,3)
LET g13=x004(u,4)
LET h01=x001(f11)*f21
LET h02=x001(f12)*f22
LET h03=x001(f13)*f23
LET i01=h01*g11
LET i02=h02*g12
LET i03=h03*g13
PRINT x003$(u),
PRINT g10,
PRINT h01+h02+h03,
PRINT (i01+i02+i03)/3,
PRINT (i01+i02+i03)/3 / ( g10 * (h01+h02+h03) )
NEXT u
DATA 3,4,5,6,8,10 ! 多角形の種類
! 角数 総数
DATA 3, 0, 0, 4, 0, 0, "01[3,3,3]"
DATA 3, 6, 0, 4, 4, 0, "06[3,6,6]"
DATA 3, 0, 0, 8, 0, 0, "02[3,3,3,3]"
DATA 4, 0, 0, 6, 0, 0, "03[4,4,4]"
DATA 3, 8, 0, 8, 6, 0, "12[3,8,8]"
DATA 3, 4, 0, 8, 6, 0, "05[3,4,3,4]"
DATA 3, 0, 0, 20, 0, 0, "04[3,3,3,3,3]"
DATA 5, 0, 0, 12, 0, 0, "09[5,5,5]"
DATA 4, 6, 0, 6, 8, 0, "10[4,6,6]"
DATA 3,10, 0, 20,12, 0, "17[3,10.10]"
DATA 3, 4, 0, 8,18, 0, "08[3,4,4,4]"
DATA 3, 5, 0, 20,12, 0, "11[3,5,3,5]"
DATA 4, 6, 8, 12, 8, 6, "15[4,6,8]"
DATA 3, 4, 0, 32, 6, 0, "07[3,3,3,3,4]"
DATA 5, 6, 0, 12,20, 0, "16[5,6,6]"
DATA 4, 6,10, 30,20,12, "18[4,6,10]"
DATA 3, 4, 5, 20,30,12, "14[3,4,5,4]"
DATA 3, 5, 0, 80,12, 0, "13[3,3,3,3,5]"
! 頂芯寸 S面芯寸 M面芯寸 L面芯寸
DATA .612372435695795, .204124145231932, 0 , 0 ! 01
DATA 1.17260393995586, 1.02062072615966, .6123724356958 , 0 ! 06
DATA .707106781186549, .408248290463865, 0 , 0 ! 02
DATA .866025403784443, .500000000000007, 0 , 0 ! 03
DATA 1.77882364566394, 1.68252198471218, 1.20710678118657, 0 ! 12
DATA 1 , .816496580927726, .707106781186547, 0 ! 05
DATA .951056516295157, .755761314076175, 0 , 0 ! 04
DATA 1.40125853844408, 1.11351636441161, 0 , 0 ! 09
DATA 1.58113883008421, 1.41421356237312, 1.22474487139162, 0 ! 10
DATA 2.96944901586351, 2.91278116659653, 2.48989828488292, 0 ! 17
DATA 1.39896632596592, 1.27427369424832, 1.20710678118656, 0 ! 08
DATA 1.6180339887499 , 1.51152262815235, 1.37638192047118, 0 ! 11
DATA 2.3176109128928 , 2.20710678118658, 2.09077027517606, 1.91421356237313 ! 15
DATA 1.34371337374461, 1.2133558000219 , 1.14261350892597, 0 ! 07
DATA 2.47801865906766, 2.32743843676637, 2.26728394222856, 0 ! 16
DATA 3.80239449985143, 3.73606797749993, 3.66854248067273, 3.44095480117809 ! 18
DATA 2.23295050941571, 2.15701985252026, 2.11803398874992, 2.06457288070678 ! 14
DATA 2.15583737511568, 2.07708965974325, 1.98091594728188, 0 ! 13
END
計算結果の諸量は 以下です 有効桁数は 13 ぐらいです。
外接球半径 = R 表面積 = S 体積 = V V/(S*R)
01 .612372435695795 1.73205080756888 .117851130197758 .111111111111111
06 1.17260393995586 12.1243556529822 2.71057599454846 .190656480332432
02 .707106781186549 3.46410161513775 .471404520791033 .192450089729876
03 .866025403784443 6 1.00000000000001 .192450089729877
12 1.77882364566394 32.4346643636149 13.5996632910746 .235714258446495
05 1 9.46410161513775 2.35702260395516 .249048742268904
04 .951056516295157 8.66025403784438 2.18169499062492 .264884824097256
09 1.40125853844408 20.6457288070676 7.66311896062467 .264884824097255
10 1.58113883008421 26.7846096908266 11.313708498985 .26714660435952
17 2.96944901586351 100.990760153102 85.0396645593756 .283572442725136
08 1.39896632596592 21.4641016151378 8.71404520791042 .290201619765406
11 1.6180339887499 29.305982844912 13.8355259362495 .291777461485733
15 2.3176109128928 61.7551724393037 41.798989873224 .292046442752428
07 1.34371337374461 19.856406460551 7.88947739997544 .295692931258246
16 2.47801865906766 72.607253034134 55.2877307581239 .307286999289469
18 3.80239449985143 174.292030342324 206.803398874998 .31204912568704
14 2.23295050941571 59.305982844912 41.6153237824984 .314250279590291
13 2.15583737511568 55.2867449584451 37.6166499627341 .315604435116589
*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)
2014年7月22日
sphericity 多面体 諸量
このブログでは それぞれの多面体を 他と区別する一つのの方法として
01 から 18 までの数字をつけて順番づけをしています。
その順番づけは 多面体の中芯と一つの稜とでできる角度の大きさの順です。
別の見方をすれば 稜寸を 同じ値で統一したときの
外接球半径の小さい方から大きい方への順です。
この方法も 多面体がどれだけ球形に近いかの順番を表す簡略な示し方です。
球形度 sphericity を測る もう少し近似的な方法は
体積 / ( 面積 × 外接球半径 ) の値順にすることです。
以下にそれを表にしたものを載せておきます。稜寸=1として。
稜寸=1として 外接球半径 = R 表面積 = S
01[3,3,3] .61237243569579452455 1.7320508075688772935 Tetrahedron
06[3,6,6] 1.1726039399558573886 12.124355652982141055 Truncated Tetrahedron
02[3,3,3,3] .70710678118654752440 3.4641016151377545871 Octahedron
03[4,4,4] .86602540378443864676 6.0000000000000000000 Hexahedron
12[3,8,8] 1.7788236456639244509 32.434664363614895173 Truncated Hexahedron
05[3,4,3,4] 1.0000000000000000000 9.4641016151377545871 Cuboctahedron
04[3,3,3,3,3] .95105651629515357212 8.6602540378443864676 Icosahedron
09[5,5,5] 1.4012585384440735447 20.645728807067603073 Dodecahedron
10[4,6,6] 1.5811388300841896660 26.784609690826527522 Truncated Octahedron
17[3,10.10] 2.9694490158633984670 100.99076015310198854 Truncated Dodecahedron
08[3,4,4,4] 1.3989663259659067020 21.464101615137754587 Rhombicuboctahedron
11[3,5,3,5] 1.6180339887498948482 29.305982844911989541 Icosidodecahedron
15[4,6,8] 2.3176109128927665138 61.755172439303668108 Rhombitruncated Cuboctahedron
07[3,3,3,3,4] 1.3437133737446017013 19.856406460551018348 Snub Cube
16[5,6,6] 2.4780186590676155376 72.607253034133921879 Truncated Icosahedron
18[4,6,10] 3.8023944998512935848 174.29203034232392088 Rhombitruncated Icosidodecahedron
14[3,4,5,4] 2.2329505094156900495 59.305982844911989541 Rhombicosidodecahedron
13[3,3,3,3,5] 2.1558373751156397018 55.286744958445148944 Snub Dodecahedron
体積 = V V/(S*R)
01[3,3,3] .11785113019775792073 .11111111111111111111 正4面体
06[3,6,6] 2.7105759945484321769 .19065648033243096562 切頂4面体
02[3,3,3,3] .47140452079103168293 .19245008972987525484 正8面体
03[4,4,4] 1.0000000000000000000 .19245008972987525484 正6面体
12[3,8,8] 13.599663291074443561 .23571425844649368960 切頂6面体
05[3,4,3,4] 2.3570226039551584147 .24904874226890375670 立方8面体
04[3,3,3,3,3] 2.1816949906249123735 .26488482409725537432 正20面体
09[5,5,5] 7.6631189606246319687 .26488482409725537432 正12面体
10[4,6,6] 11.313708498984760390 .26714660435951728843 切頂8面体
17[3,10.10] 85.039664559370881555 .28357244272513111635 切頂12面体
08[3,4,4,4] 8.7140452079103168293 .29020161976540567443 斜方立方8面体
11[3,5,3,5] 13.835525936249404140 .29177746148573240569 20･12面体
15[4,6,8] 41.798989873223330683 .29204644275242737893 斜方切頂立方8面体
07[3,3,3,3,4] 7.8894773999753902065 .29569293125824584423 変形立方体
16[5,6,6] 55.287730758122739236 .30728699928946831009 切頂20面体
18[4,6,10] 206.80339887498948482 .31204912568703815221 斜方切頂20･12面体
14[3,4,5,4] 41.615323782497967065 .31425027959029074381 斜方20･12面体
13[3,3,3,3,5] 37.616649962733362976 .31560443511658907556 変形12面体
2013年8月11日
17[3,10,10] 多面体 諸量
下画像左が [3,10,10] Truncated Dodecahedron 切頂12面体です。
右の [5,5,5] Dodecahedron の頂をカットし３角の面を増やした形です。
[3,10,10] とその双対の Triakis Icosahedron 三方20面体の諸量を載せておきます。
17 [3,10,10] Truncated Dodecahedron 切頂12面体 (稜寸=1として)
17 .98572191928130191461 [3,10,10]基本数
17 9.6937238953148144071 [3,10,10]仰角( 041/240 )
17 2.9694490158633984670 [3,10,10]頂芯寸( 193/065 )
17 2.9270509831248422723 [3,10,10]稜芯寸( 161/055 )
17 74.759837717322162346 [3,10,10]10 接合角( 246/067 )
17 30.480324565355675308 [3,10,10] 3 接合角( 103/175 )
17 2.4898982848827802734 [3,10,10]10 面芯寸( 249/100 )
17 2.9127811665964150056 [3,10,10] 3 面芯寸( 201/069 )
17 100.99076015310198854 [3,10,10]面積
17 85.039664559370881555 [3,10,10]体積
17 58.282525588538994676 [3,10,10]10 面角
17 84.340106270811309681 [3,10,10] 3 面角
17 116.56505117707798935 [3,10,10]10,10 面角
17 142.62263185935030436 [3,10,10] 3,10 面角
17 [3,10,10]10,10形稜部品 必要個数 30
17 [3,10,10] 3,10形稜部品 必要個数 60
17 双対[3,10,10]Triakis Icosahedron 三方20面体
17 2.9270509831248422723 双[3,10,10]稜芯寸
17 160.61255220937037119 双[3,10,10]二面角
17 2.8852583129200411870 双[3,10,10]面芯寸( 176/061 )
17 31.717474411461005324 双[3,10,10]10 仰角( 144/233 )
17 5.6598937291886903186 双[3,10,10] 3 仰角( 022/222 )
17 1.8090169943749474241 双[3,10,10]10 稜寸( 161/089 )
17 .29008936414773205235 双[3,10,10] 3 稜寸( 038/131 )
17 30.480324565355675308 双[3,10,10]10 かど角
17 119.03935086928864938 双[3,10,10] 3 かど角
17 3.4409548011779338455 双[3,10,10]10 頂芯寸( 234/068 )
17 2.9413907079821512843 双[3,10,10] 3 頂芯寸( 250/085 )
17 115.56968556618976742 双[3,10,10]面積
17 111.14946533380144110 双[3,10,10]体積
17 18.000000000000000000 双[3,10,10]10 接合角/2( 077/237 )
17 60.000000000000000000 双[3,10,10] 3 接合角/2( 194/112 )
17 3.6180339887498948482 双[3,10,10]10,10稜寸( 199/055 )
17 2.0991063585226794765 双[3,10,10] 3,10稜寸( 233/111 )
17 1.2539722951489373231 双[3,10,10]10,10稜寸/面芯寸( 158/126 )
17 .72752805151725482817 双[3,10,10] 3,10稜寸/面芯寸( 179/246 )
17 双[3,10,10]10,10形稜部品 必要個数 30
17 双[3,10,10] 3,10形稜部品 必要個数 60
2013年8月1日
BASIC prism 多面体 諸量
下画像の 手前右が[4,4,5]正五角柱で 左がその双対です。
正多角柱 uniform prisms とその双対の 一般解を求める BASIC プログラムです。
OPTION ANGLE DEGREES ! [ 4,4,n] Archimedean solid
LET b001=5 ! 5 角数を指定 今は 5
LET b002=360/b001 ! 72 360/角数
LET b003=.5/SIN(b002/2) ! .85065080835204 外接円柱半径
LET b004=.5/TAN(b002/2) ! .688190960235587 四角面芯寸
LET b005=SQR((SQR(2)/2)^2+b004^2) ! .986715155325983 外接球半径
LET b006=SQR(b005^2-.5^2) ! .85065080835204 稜芯寸
LET b007=ASIN(.5/b005) ! 30.4463843170652 仰角
LET b008=COS(b007) ! .862103722396976 角錐底かど・心
LET b009=ASIN(SQR(2)/2/b008) ! 55.1059009029448 4角接合角
LET b010=(360-b009*2*2)/2 ! 69.7881981941104 5角接合角
LET b011=ASIN(b004/b003) ! 54 4面角 5双仰角
LET b012=ACOS(b004/b003) ! 36 5面角 4双仰角
LET b013=.5/COS(b012) ! .618033988749895 双4稜寸
LET b014=b004/COS(b011) ! 1.17082039324994 双5稜寸
LET b015=b013*2 ! 1.23606797749979 双4,4稜寸
LET b016=b013+b014 ! 1.78885438199984 双4,5稜寸
LET b017=360/4/2 ! 45 双4接合角/2
LET b018=360/b001/2 ! 36 双5接合角/2
LET b019=b006/COS(b012) ! 1.05146222423827 4 頂芯寸
LET b020=b006/COS(b011) ! 1.44721359549996 5 頂芯寸
PRINT "正";b001;"角柱"
PRINT "稜寸 = ", 1
PRINT "外接円柱半径 = ", b003
PRINT "頂芯寸 = ", b005
PRINT "稜芯寸 = ", b006
PRINT "仰角 =",b007
PRINT "片面 4 角形接合角 =",b009
PRINT "片面";b001;"角形接合角 =",b010
PRINT " "
PRINT "正";b001;"角柱双対"
PRINT " 4 稜寸 = ",b013
PRINT b001;"稜寸 = ",b014
PRINT " S 稜寸 = ",b015
PRINT " L 稜寸 = ",b016
PRINT " S / L ",b015/b016
PRINT " 4 角接合角/2 =", b017
PRINT b001;"角接合角/2 =", b018
PRINT " 4 角仰角 = ", b012
PRINT b001;"角仰角 = ", b011
PRINT " 4 頂芯寸 = ", b019
PRINT b001;"頂芯寸 = ",b020
END ! プログラム終わり
計算数値の整数比
30.446 = 077/131
55.106 = 195/136
69.788 = 201/074
.69098 = 161/233 = S / L
45.000 = 180/180
36.000 = 178/245
54.000 = 245/178
2013年7月30日
prism 多面体 諸量
“辺寸が 10mm で 地球赤道周と同じ 正多角形での 反角柱 antiprism の
双対多面体の長さはいくらか？” という問題について お伝えします。
私は 15桁を越す数値計算には 多倍長電卓LM というフリーウエアーを用いています。
( 参照 URL=http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html )
以下がそれで作ったプログラムです。C言語的なソフトです。
//--------------コピー開始------------------
a1=40075*1000*100; // n角形を指定 約40,075 km
b1= pi*2/a1; // 360/角数
c1=0.5/sin(b1/2); // 外接円柱半径
d1=0.5*tan(b1/4); // n角の辺・心寸
e1=sqrt(3)/2; // 3角かど・辺寸
f1=sqrt(e1^2-d1^2); // 3角かど・辺寸 軸面投影
g1=sqrt((f1/2)^2+c1^2); // 外接球半径
h1=0.5/g1; // 角錐高
i1=asin(h1); // 稜仰角
j1=g1*cos(i1); // 稜芯寸
k1=pi*2/a1/2; // 双n接合角/2
l1=0.5/tan(k1); // 双n辺心寸
m1=asin(l1/j1); // 双n仰角
n1=j1/cos(m1); // n頂芯寸
print "";
print "[3,3,3,4007500000] dual polyhedron";
print "";
print "n頂芯寸";
print n1;
print "";
print "光年"; // 9 460 730 472 580 800 m
print n1*2/(9460730472580800*100);
//------------コピー終わり------------------
以下が 20桁指定での計算結果です
[3,3,3,4007500000] dual polyhedron
n頂芯寸
= 939478161669236009.35
光年
= 1.9860584008645899692
2013年7月28日
prism 多面体 諸量
準正多面体でありながら アルキメデス多面体の仲間として言及されることが少ない
多面体についてお伝えします。
今回は [3,3,3,5] 反角柱 antiprism です。
一辺の寸法が同一で角数も同一の二つの正多角形の面があり
それらの多角形の中心点を垂直に通る軸を共有し
一つの面の辺と他の面のかどとが 正三角形になるような稜でできた多面体です。
一つの面の辺と他の面の辺 とが 正四角形になるような稜でできた多面体は
正角柱といいます。
正多角形の角数は無限にあり 角数が増えると 円に近い正多角形の薄い板になります。
美的には評価できず アルキメデス多面体から仲間はずれになった大きな理由でしょう。
下の左の画像が [3,3,3,5] 反角柱で 右が諸量の値がよく似ている
[3,3,3,3,3] Icosahedron 正20面体です。
[3,3,3,5] antiprism 反正５角柱
1.0000000000000000000 [3,3,3,5]稜寸
.85065080835203993218 [3,3,3,5]基本数
31.717474411461005324 [3,3,3,5]仰角( 144/233 )
.85065080835203993218 外接円柱半径
.95105651629515357212 [3,3,3,5]頂芯寸( 136/143 )
.80901699437494742410 [3,3,3,5]稜芯寸( 144/178 )
36.000000000000000000 [3,3,3,5]3 接合角/2( 178 / 245 )
72.000000000000000000 [3,3,3,5]5 接合角/2( 237 / 077 )
[3,3,3,5] 3 3 個数 10
[3,3,3,5] 3 5 個数 10
2013年7月24日
BASIC 多面体 諸量
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds の製作の説明をすべきですが
同じ作業を長く続けるのが苦手な私は 稜部品の製作が 遅々として進んでいません。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
時間稼ぎとして 双対多面体の諸量計算のシンプルな BASIC プログラムを お伝えしておきます。
!! コピー開始
! 双対多面体の諸量の計算
! 元の多面体の稜寸を 1 として
OPTION ANGLE DEGREES
! 求める双対多面体に対応する元の多面体の
! 稜芯寸を入力 し 正n角形の 角数を 入力
! *********************************
LET b00=1.30656296487639 ! 稜芯寸
LET b01=3 ! 角数
! *********************************
LET b02=360/b01/2 ! 接合角/2
LET b03=.5/TAN(b02) ! 辺心寸
LET b04=ASIN(b03/b00) ! 仰角
LET b05=b03/COS(b04) ! 稜寸
PRINT "稜寸 = "; 1
PRINT "稜芯寸 = "; b00
PRINT "正n角形 = "; b01
PRINT "接合角/2 = "; b02
PRINT "仰角 = "; b04
PRINT "双対稜寸 = "; b05
END
! コピー終わり
2013年1月31日
BASIC 多面体 諸量
A4 の方眼紙 (section paper) で 角度や 寸法比の値を得たいときに
必要な数値を 整数/整数 に変換する BASIC のプログラムをお伝えします。
以下をコピーし 実行してください。
!! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! a00 に 数値入力
! 対辺/底辺 に変換したい角度は 90度より小さく 5度より大きい
! 整数/整数 に変換したい数値は 5 以下
! 上記の範囲で 計算ができます
!*************************
LET a00= 20.9410204722436
!*************************
LET a01=a00 ! 入力値加工
LET a02=250 ! 長いほうの罫線表示巾の寸法
LET a03=180 ! 短いほうの罫線表示巾の寸法
LET a04=1 ! 誤差初期値
LET a05=0 ! 小さい方の整数
LET a06=0 ! 大きい方の整数
LET a07=0 ! ｓｗａｐ サイン
IF a01>5 THEN ! 角度の変換か数値の変換かの判定
IF a01>45 THEN ! 45度より大の場合 余角で計算
LET a01=90-a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
LET a01=TAN(a01)
END IF
IF a01>1 THEN ! すべて 1より 小で計算
LET a01=1/a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
FOR x=a02 TO 1 STEP -1
LET a08=ROUND(x*a01,0) ! 短いほうの整数値
IF a08>180 THEN GOTO 100 ! 短いほうが 180以下になるまで計算しない
LET a09=ABS(a01-a08/x) ! 誤差の絶対値
IF a09< a04 THEN ! 誤差が最小か判定
LET a04=a09 ! 最小誤差値を入れる
LET a05=a08 ! 短いほうの数を入れる
LET a06=x ! 長いほうの数を入れる
END IF
100
NEXT x
PRINT a00 ! 入力値表示
IF a07=1 THEN SWAP a05,a06 ! ｓｗａｐ処理
PRINT a05;"/";a06 ! 演算値表示
END
! コピー終わり
2013年1月14日
BASIC 多面体 諸量
フリーウェアーソフトの 十進BASIC を使って 諸量の計算ができます。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照
様々な場面で活用され 紹介されているソフトです。
英語版 Decimal BASIC もあります。
以下のプログラムを コピーして それを実行すると 走ります。
試してみては いかがでしょう。
! の記号の後ろの 文字は プログラムでは実行されません。
気にせず コピーの中に含めて かまいません。
!!コピー開始*******************************************
!*** プラトン多面体 アルキメデス多面体の 諸量の計算 ***
!******************************************************
OPTION ANGLE DEGREES ! 三角関数の角の大きさの単位を度(DEGREES)にする
DIM men(18,6) ! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数
DIM met$(18) ! 多面体の記号
DIM khn(18,10) ! 多面体の基本数など
FOR s1=1 TO 18
FOR s2=1 TO 6
READ men(s1,s2) ! データを読み込む
NEXT s2
READ met$(s1) ! 多面体の記号を読込む
NEXT s1
PRINT "名称","基本数"
PRINT "①仰角","L接合角","M接合角","S接合角"
PRINT "②頂芯寸","稜芯寸"
PRINT "③L面芯寸","M面芯寸","S面芯寸"
PRINT
!********************
!*** 諸量計算開始 ***
!********************
FOR ss=1 TO 18
LET lk=men(ss,1) ! 大角形の角数
LET mk=men(ss,2) ! 中角形の角数
LET sk=men(ss,3) ! 小角形の角数
LET la=0.5/SIN(180/lk) ! L角心寸
LET ma=0.5/SIN(180/mk) ! M角心寸
LET sa=0.5/SIN(180/sk) ! S角心寸
! 内角を二等辺三角形の頂角としたときの底辺の1/2の長さ l01 m02 s03
LET l01=SIN((180-360/lk)/2)
LET m02=SIN((180-360/mk)/2)
LET s03=SIN((180-360/sk)/2)
LET l04=men(ss,4) ! 頂を構成する大角形の個数
LET m05=men(ss,5) ! 頂を構成する中角形の個数
LET s06=men(ss,6) ! 頂を構成する小角形の個数
LET f02 =0 ! 総接合角と360度との差の最小値 初期値は0
LET c0=l01 ! 基本数より短い値
LET c9=1 ! 基本数より長い値
101
LET c5=c9-(c9-c0)/2 ! 短と長の中間の 仮の基本数
LET l01X=ASIN(l01/c5) ! 角数が一番多い多角形面に 接する側の接合角
LET m02X=ASIN(m02/c5) ! 角数が次に多い多角形面に 接する側の接合角
LET s03X=ASIN(s03/c5) ! 角数が一番小い多角形面に 接する側の接合角
LET f01=360 -l01X*2*l04 -m02X*2*m05 -s03X*2*s06 ! 総接合角と360度との差
IF f01 = f02 THEN
LET khn(ss,1)=c5 ! 基本数
LET khn(ss,2)=l01X ! 大接合角
LET khn(ss,3)=m02X ! 中接合角
LET khn(ss,4)=s03X ! 小接合角
LET khn(ss,5)=ACOS(c5) !仰角
LET khn(ss,6)=1/SQR(1-c5^2)/2 ! 頂芯寸 = 外接球半径
LET khn(ss,7)=1/SQR(1-c5^2)/2*c5 ! 稜芯寸
LET khn(ss,8)=SQR(khn(ss,6)^2-la^2) ! L面芯寸
IF mk > 2 THEN
LET khn(ss,9)=SQR(khn(ss,6)^2-ma^2) ! M面芯寸
END IF
IF sk > 2 THEN
LET khn(ss,10)=SQR(khn(ss,6)^2-sa^2) ! S面芯寸
END IF
PRINT met$(ss), khn(ss,1)
PRINT "①";khn(ss,5),khn(ss,2),khn(ss,3),khn(ss,4)
PRINT "②";khn(ss,6),khn(ss,7)
PRINT "③";khn(ss,8),khn(ss,9),khn(ss,10)
PRINT
GO TO 102
END IF
LET f02 = f01
IF f01 > 0 THEN !総接合角が360度に満たない→仮の基本数c5が基本数より長い
LET c9 = c5 ! 基本数より長い値に仮の基本数c5を入れる
ELSE ! 総接合角が 360度をオーバー → 仮の基本数c5が基本数より短い
LET c0 = c5 ! 基本数より短い値に仮の基本数c5を入れる
END IF
GOTO 101
102
NEXT ss
!*******************
!*** データ領域 ***
!*******************
! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数 (2角数は ダミー)
! (1)L角数 (2)M角数 (3)S角数 (4)L個数 (5)M個数 (6)S個数
DATA 3, 2, 2, 3, 1, 1 , "01[3,3,3] "
DATA 3, 2, 2, 4, 1, 1 , "02[3,3,3,3]"
DATA 4, 2, 2, 3, 1, 1 , "03[4,4,4]"
DATA 3, 2, 2, 5, 1, 1 , "04[3,3,3,3,3]"
DATA 4, 3, 2, 2, 2, 1 , "05[3,4,3,4]"
DATA 6, 3, 2, 2, 1, 1 , "06[3,6,6]"
DATA 4, 3, 2, 1, 4, 1 , "07[3,3,3,3,4]"
DATA 4, 3, 2, 3, 1, 1 , "08[3,4,4,4]"
DATA 5, 2, 2, 3, 1, 1 , "09[5,5,5]"
DATA 6, 4, 2, 2, 1, 1 , "10[4,6,6]"
DATA 5, 3, 2, 2, 2, 1 , "11[3,5,3,5]"
DATA 8, 3, 2, 2, 1, 1 , "12[3,8,8]"
DATA 5, 3, 2, 1, 4, 1 , "13[3,3,3,3,5]"
DATA 5, 4, 3, 1, 2, 1 , "14[3,4,5,4]"
DATA 8, 6, 4, 1, 1, 1 , "15[4,6,8]"
DATA 6, 5, 2, 2, 1, 1 , "16[5,6,6]"
DATA 10, 3, 2, 2, 1, 1 , "17[3,10,10]"
DATA 10, 6, 4, 1, 1, 1 , "18[4,6,10]"
END ! コピー終わり
注 計算結果は
一般解を求める BASIC program の出力一覧 (2015 8/4) で表示しています。
2013年1月11日
08[3,4,4,4] 多面体 諸量
[3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体 と
Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体の諸量を表記しておきます。
08 [3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体
08 .93394883109446475958 [3,4,4,4]基本数
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 1.3989663259659067020 [3,4,4,4]頂芯寸( 249/178 )
08 1.3065629648763765279 [3,4,4,4]稜芯寸( 179/137 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3 接合角( 116/183 )
08 1.2071067811865475244 [3,4,4,4]4 面芯寸( 204/169 )
08 1.2742736942483016631 [3,4,4,4]3 面芯寸( 223/175 )
08 21.464101615137754587 [3,4,4,4]面積
08 8.7140452079103168293 [3,4,4,4]体積
08 67.500000000000000000 [3,4,4,4]4 面角
08 77.235610317245345685 [3,4,4,4]3 面角
08 135.00000000000000000 [3,4,4,4]4,4 面角
08 144.73561031724534568 [3,4,4,4]4,3 面角
08 [3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
08 双対[3,4,4,4]Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
08 138.11795905551232225 双[3,4,4,4]二面角
08 1.2202629537976100741 双[3,4,4,4]面芯寸( 205/168 )
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3 仰角( 029/128 )
08 .54119610014619698440 双[3,4,4,4]4 稜寸( 092/170 )
08 .29598997565807943876 双[3,4,4,4]3 稜寸( 074/250 )
08 81.578941881850578219 双[3,4,4,4]4 かど角
08 115.26317435444826534 双[3,4,4,4]3 かど角
08 1.4142135623730950488 双[3,4,4,4]4 頂芯寸( 239/169 )
08 1.3396704247226696103 双[3,4,4,4]3 頂芯寸( 213/159 )
08 21.513454645857756671 双[3,4,4,4]面積
08 8.7506905708484345088 双[3,4,4,4]体積
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3 接合角/2( 194/112 )
08 1.0823922002923939688 双[3,4,4,4]4,4 稜寸( 184/170 )
08 .83718607580427642316 双[3,4,4,4]4,3 稜寸( 180/215 )
08 .88701553785915963963 双[3,4,4,4]4,4 稜寸/面芯寸( 157/177 )
08 .68607022215896109603 双[3,4,4,4]4,3 稜寸/面芯寸( 118/172 )
08 双[3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 双[3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
2013年1月11日
14[3,4,5,4] 多面体 諸量
[ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体 と
Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体の諸量を表記しておきます。
14 [3,4,5,4]Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体
14 .97460776237817045237 [3,4,5,4]基本数
14 12.939318437111839760 [3,4,5,4]仰角( 051/222 )
14 2.2329505094156900495 [3,4,5,4]頂芯寸( 230/103 )
14 2.1762508994828215111 [3,4,5,4]稜芯寸( 222/102 )
14 56.108494226282325602 [3,4,5,4]5 接合角( 131/088 )
14 46.512922254478226490 [3,4,5,4]4 接合角( 136/129 )
14 30.865661264761221417 [3,4,5,4]3 接合角( 104/174 )
14 2.0645728807067603073 [3,4,5,4]5 面芯寸( 192/093 )
14 2.1180339887498948482 [3,4,5,4]4 面芯寸( 233/110 )
14 2.1570198525202442752 [3,4,5,4]3 面芯寸( 151/070 )
14 59.305982844911989541 [3,4,5,4]面積
14 41.615323782497967065 [3,4,5,4]体積
14 71.565051177077989352 [3,4,5,4]5 面角
14 76.717474411461005324 [3,4,5,4]4 面角
14 82.377368140649695643 [3,4,5,4]3 面角
14 148.28252558853899468 [3,4,5,4]5 4 面角
14 159.09484255211070097 [3,4,5,4]4 3 面角
14 [3,4,5,4] 5 4 個数 60
14 [3,4,5,4] 4 3 個数 60
14 双対[3,4,5,4]Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体
14 154.12136312577632048 双[3,4,5,4]二面角
14 2.1209910195184334175 双[3,4,5,4]面芯寸( 193/091 )
14 18.434948822922010648 双[3,4,5,4]5 仰角( 083/249 )
14 13.282525588538994676 双[3,4,5,4]4 仰角( 055/233 )
14 7.6226318593503043571 双[3,4,5,4]3 仰角( 019/142 )
14 .72541696649427383703 双[3,4,5,4]5 稜寸( 177/244 )
14 .51374314837300779674 双[3,4,5,4]4 稜寸( 112/218 )
14 .29124883602080337314 双[3,4,5,4]3 稜寸( 060/206 )
14 67.783011547435348796 双[3,4,5,4]5 かど角
14 86.974155491043547019 双[3,4,5,4]4 かど角
14 118.26867747047755717 双[3,4,5,4]3 かど角
14 2.2939698674519558970 双[3,4,5,4]5 頂芯寸( 234/102 )
14 2.2360679774997896964 双[3,4,5,4]4 頂芯寸( 161/072 )
14 2.1956534020612776371 双[3,4,5,4]3 頂芯寸( 202/092 )
14 59.767395102644803054 双[3,4,5,4]面積
14 42.255369424239875108 双[3,4,5,4]体積
14 36.000000000000000000 双[3,4,5,4]5 接合角/2( 178/245 )
14 45.000000000000000000 双[3,4,5,4]4 接合角/2( 180/180 )
14 60.000000000000000000 双[3,4,5,4]3 接合角/2( 194/112 )
14 1.2391601148672816338 双[3,4,5,4]5 4 稜寸( 171/138 )
14 .80499198439381116988 双[3,4,5,4]4 3 稜寸( 161/200 )
14 .58423637981674733850 双[3,4,5,4]5 4 稜寸/面芯寸( 111/190 )
14 .37953578161617248109 双[3,4,5,4]4 3 稜寸/面芯寸( 063/166 )
14 双[3,4,5,4] 5 4 個数 60
14 双[3,4,5,4] 4 3 個数 60
2012年12月19日
07[3,3,3,3,4] 多面体 諸量
[3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体 と
その双対多面体の Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体 の諸量を表示します。
07 [3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体
07 .92819137798557160941 07[3,3,3,3,4]基本数
07 21.845383553837898091 07[3,3,3,3,4]仰角( 091/227 )
07 1.3437133737446017013 07[3,3,3,3,4]頂芯寸( 215/160 )
07 1.2472231679936432518 07[3,3,3,3,4]稜芯寸( 222/178 )
07 49.624148955803785616 07[3,3,3,3,4]4 接合角( 147/125 )
07 32.593962761049053596 07[3,3,3,3,4]3 接合角( 156/244 )
07 1.1426135089259620935 07[3,3,3,3,4]4 面芯寸( 200/175 )
07 1.2133558000218923103 07[3,3,3,3,4]3 面芯寸( 182/150 )
07 19.856406460551018348 07[3,3,3,3,4]面積
07 7.8894773999753902065 07[3,3,3,3,4]体積
07 66.366136216794602533 07[3,3,3,3,4]4 面角
07 76.617293856710015509 07[3,3,3,3,4]3 面角
07 142.98343007350461804 07[3,3,3,3,4]4 3 面角
07 153.23458771342003102 07[3,3,3,3,4]3 3 面角
07 [3,3,3,3,4] 4 3 個数 24
07 [3,3,3,3,4] 3 3 個数 36
07 双対[3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体
07 136.30923289232420382 双[3,3,3,3,4]二面角
07 1.1576617909555498021 双[3,3,3,3,4]面芯寸( 191/165 )
07 23.633863783205397467 双[3,3,3,3,4]4 仰角( 105/240 )
07 13.382706143289984491 双[3,3,3,3,4]3 仰角( 059/248 )
07 .54577648445886681200 双[3,3,3,3,4]4 稜寸( 131/240 )
07 .29673267798599365525 双[3,3,3,3,4]3 稜寸( 073/246 )
07 80.751702088392428768 双[3,3,3,3,4]4 かど角
07 114.81207447790189281 双[3,3,3,3,4]3 かど角
07 1.3614101519264425345 双[3,3,3,3,4]4 頂芯寸( 226/166 )
07 1.2820358469890142117 双[3,3,3,3,4]3 頂芯寸( 200/156 )
07 19.299406563296038279 双[3,3,3,3,4]面積
07 7.4473951888148613654 双[3,3,3,3,4]体積
07 45.000000000000000000 双[3,3,3,3,4]4 接合角/2( 180/180 )
07 60.000000000000000000 双[3,3,3,3,4]3 接合角/2( 194/112 )
07 .84250916244486046725 双[3,3,3,3,4]4 3 稜寸( 107/127 )
07 .59346535597198731050 双[3,3,3,3,4]3 3 稜寸( 127/214 )
07 .72776796213464204867 双[3,3,3,3,4]4 3 稜寸/面芯寸( 131/180 )
07 .51264139544774378927 双[3,3,3,3,4]3 3 稜寸/面芯寸( 081/158 )
07 双対[3,3,3,3,4] 4 3 個数 24
07 双対[3,3,3,3,4] 3 3 個数 36
2012年12月5日
18[4,6,10] 多面体 諸量
[4,6,10] の双対多面体 六方20面体 Hexakis Icosahedron についてお伝えします。
諸量 ( もとの多面体の稜芯寸と こちらの稜芯寸とが同じ値として)
18 24.094842552110700967 双対[4,6,10] 10角形上の稜の仰角 ( 072/161 )
18 13.282525588538994676 双対[4,6,10] 06角形上の稜の仰角 ( 055/233 )
18 7.6226318593503043571 双対[4,6,10] 04角形上の稜の仰角 ( 019/142 )
18 18.000000000000000000 双対[4,6,10] 10角形上の接合角 ( 180/10度 )
18 30.000000000000000000 双対[4,6,10] 06角形上の接合角 ( 180/06度 )
18 45.000000000000000000 双対[4,6,10] 04角形上の接合角 ( 180/04度 )
18 4.1291457614135206146 双対[4,6,10] 10角形上の頂芯寸
18 3.8729833462074168852 双対[4,6,10] 06角形上の頂芯寸
18 3.8029832481815887597 双対[4,6,10] 04角形上の頂芯寸
18 2.5755459331956214849 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸
18 2.1901744798065037825 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸
18 1.3942870166557737040 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸
18 0.6893 ( 122 / 177 ) 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.5861 ( 143 / 244 ) 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.3731 ( 075 / 201 ) 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 3.7693771279217166027 双対[4,6,10] 稜芯寸
18 3.7366464560831424485 双対[4,6,10] 面芯寸
18 183.19554518150396045 双対[4,6,10] 面積
18 228.17899489089532558 双対[4,6,10] 体積
18 双対[4,6,10] 10角形と 06角形の間の稜の必要個数は 60
18 双対[4,6,10] 10角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
18 双対[4,6,10] 06角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
双対多面体の名称一覧です。
双対多面体の名称 ( 括弧内は もとの多面体の名称 )
01[3,3,3] Tetrahedron 正4面体
( 正4面体 Tetrahedron )
02[3,3,3,3] Hexahedron 正6面体
( 正8面体 Octahedron )
03[4,4,4] Octahedron 正8面体
( 正6面体 Hexahedron )
04[3,3,3,3,3] Dodecahedron 正12面体
( 正20面体 Icosahedron )
05[3,4,3,4] Rhombic Dodecahedron 菱形12面体
( 立方8面体 Cuboctahedron )
06[3,6,6] Triakis Tetrahedron 三方4面体
( 切頂4面体 Truncated Tetrahedron )
07[3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体
( 変形立方体 Snub Cube )
08[3,4,4,4] Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
( 斜方立方8面体 Rhombicuboctahedron )
09[5,5,5] Icosahedron 正20面体
( 正12面体Dodecahedron )
10[4,6,6] Tetrakis Hexahedron 四方6面体
( 切頂8面体Truncated Octahedron )
11[3,5,3,5] Rhombic Triacontahedron 菱形30面体
( 20･12面体Icosidodecahedron )
12[3,8,8] Triakis Octahedron 三方8面体
( 切頂6面体Truncated Hexahedron )
13[3,3,3,3,5] Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体
( 変形12面体Snub Dodecahedron)
14[3,4,5,4] Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体
( 斜方20･12面体Rhombicosidodecahedron )
15[4,6,8] Hexakis Octahedron 六方8面体
( 斜方切頂立方8面体Rhombitruncated Cuboctahedron )
16[5,6,6] Pentakis Dodecahedron 五方12面体
( 切頂20面体Truncated Icosahedron )
17[3,10,10] Triakis Icosahedron 三方20面体
( 切頂12面体Truncated Dodecahedron )
18[4, 6,10] Hexakis Icosahedron 六方20面体
( 斜方切頂20･12面体Rhombitruncated Icosidodecahedron )
2012年9月25日
18[4,6,10] 多面体 諸量
[4,6,10] 斜方切頂20･12面体 を説明します。
私のブログでは 正・準正多面体 の種類を 18としていますが
頂芯寸を 1 としたときの 稜芯寸 (基本数) を
小さいほうから並べると 18番目になります。
基本数
01 .5773 [3,3,3] 正4面体 Tetrahedron
02 .7071 [3,3,3,3] 正8面体 Octahedron
03 .8164 [4,4,4] 正6面体 Hexahedron
04 .8506 [3,3,3,3,3] 正20面体 Icosahedron
05 .8660 [3,4,3,4] 立方8面体 Cuboctahedron
06 .9045 [3,6,6] 切頂4面体 Truncated Tetrahedron
07 .9281 [3,3,3,3,4] 変形立方体 Snub Cube
08 .9339 [3,4,4,4] 斜方立方8面体 Rhombicuboctahedron
09 .9341 [5,5,5] 正12面体 Dodecahedron
10 .9486 [4,6,6] 切頂8面体 Truncated Octahedron
11 .9510 [3,5,3,5] 20･12面体 Icosidodecahedron
12 .9596 [3,8,8] 切頂6面体 Truncated Hexahedron
13 .9727 [3,3,3,3,5] 変形12面体 Snub Dodecahedron
14 .9746 [3,4,5,4] 斜方20･12面体 Rhombicosidodecahedron
15 .9764 [4,6,8] 斜方切頂立方8面体 Rhombitruncated Cuboctahedron
16 .9794 [5,6,6] 切頂20面体 Truncated Icosahedron (サッカーボール)
17 .9857 [3,10,10] 切頂12面体 Truncated Dodecahedron
18 斜方切頂20･12面体 Rhombitruncated Icosidodecahedron
18 .99131668954105939137 [4,6,10] 基本数
18 7.5560540461687591650 [4,6,10] 稜の仰角 ( 026/196 )
18 73.614860764356080665 [4,6,10] 10角形の 接合角 ( 238/070 )
18 60.881040189555234516 [4,6,10] 06角形の 接合角 ( 228/127 )
18 45.504099046088684819 [4,6,10] 04角形の 接合角 ( 172/169 )
18 3.8023944998512935848 [4,6,10] 頂芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.7693771279217166027 [4,6,10] 稜芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.4409548011779338455 [4,6,10] 10角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.6685424806725857361 [4,6,10] 06角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 3.7360679774997896964 [4,6,10] 04角形の面芯寸 (稜寸を 1としたとき)
18 174.29203034232392088 [4,6,10] 面積 (稜寸を 1としたとき)
18 206.80339887498948482 [4,6,10] 体積 (稜寸を 1としたとき)
18 [4,6,10] 10角形と 06角形の間の稜の必要個数は 60
18 [4,6,10] 10角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
18 [4,6,10] 06角形と 04角形の間の稜の必要個数は 60
2012年9月13日
11[3,5,3,5] 多面体 諸量
多面体諸量 3 2012年8月19日 でお伝えした値に誤りがあり
ブログの変更をしています。
双対多面体面積 双対多面体体積
11 22.247967345311054163 10.853489115103684721 36 60 誤
11 30.338137289060528404 14.800212429686842801 36 60 正 2012 8/21
肝に銘じて正確な情報を伝えてゆく所存です と言っていた矢先です。
急いでデータ変更と お詫びをいたします。
計算プログラムの参照テーブルの中の 多面体頂点数が 30であるべきところ 10 に
なっていたためという 初歩的ミスでした。
すべての数値を 別の計算プログラム (BASICで作成) の計算数値と比較したところ
この誤った二つの数値以外 有効桁数12桁まではすべてイコールでした。
(二つのプログラムに 共通に用いている計算ロジックの誤りは発見できませんが)
“12桁までは” とは 比較に使用した BASICプログラムの有効桁数を
誤差を考慮して 12桁に止めているからです。
一方 今回の計算をしているプログラムは 有効桁数を 20桁にしています。
多倍長電卓LM 参照 URL=
http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html
このブログでお伝えしている諸量の寸法は 正・準正多面体 の稜寸を 1としたときの値です。
双対多面体の寸法は稜芯寸がもとの多面体の稜芯寸と同じ値であるとして計算しています。
あらためて 肝に銘じて正確な情報を伝えてゆく所存です。
2012年8月21日
多面体 諸量
前回お伝えし残した 双対多面体の稜寸です また数字の羅列です。
正多面体や準正多面体 の稜寸は一つの多面体には一つでしたが
双対多面体の稜寸は 複数個ある場合があります。
正多面体の双対多面体は 正多面体で
正四面体[3,3,3] ⇔ 正四面体 正八面体[3,3,3,3] ⇔ 正六面体[4,4,4]
正十二面体[5,5,5] ⇔ 正二十面体[3,3,3,3,3] となります。
以前にお伝えした双対多面体は 稜寸の数が 1つだけという特殊なものを選びました。
双稜寸1 双稜寸2 双稜寸3
01 LL= 1.0000000000000000000
02 LL= .70710678118654752440
03 LL= 1.4142135623730950488
04 LL= .61803398874989484820
05 LM= .91855865354369178682
06 LL= 3.0000000000000000000 LM= 1.8000000000000000000
07 LM= .84250916244486046725 MM= .59346535597198731050
08 LL= 1.0823922002923939688 LM= .83718607580427642316
09 LL= 1.6180339887498948482
10 LL= 2.1213203435596425732 LM= 1.5909902576697319299
11 LM= 1.0633135104400499152
12 LL= 3.4142135623730950488 LM= 2.0000000000000000000
13 LM= 1.0199882470228458983 MM= .58289953474498241442
14 LM= 1.2391601148672816338 MS= .80499198439381116988
15 LM= 2.3644524131865197592 LS= 1.9397429472460411059 MS= 1.4500488186822163018
16 LL= 1.8541019662496845446 LM= 1.6446959786840112913
17 LL= 3.6180339887498948482 LM= 2.0991063585226794765
18 LM= 2.5755459331956214849 LS= 2.1901744798065037825 MS= 1.3942870166557737040
数の羅列の載せついでに 正・準正多面体 の 伝えもらしの諸量を掲載します。
これで 最後にしておきます。
面積 体積 名称
1.7320508075688772935 .11785113019775792073 01[3,3,3]
3.4641016151377545871 .47140452079103168293 02[3,3,3,3]
6.0000000000000000000 1.0000000000000000000 03[4,4,4]
8.6602540378443864676 2.1816949906249123735 04[3,3,3,3,3]
9.4641016151377545871 2.3570226039551584147 05[3,4,3,4]
12.124355652982141055 2.7105759945484321769 06[3,6,6]
19.856406460551018348 7.8894773999753902065 07[3,3,3,3,4]
21.464101615137754587 8.7140452079103168293 08[3,4,4,4]
20.645728807067603073 7.6631189606246319687 09[5,5,5]
26.784609690826527522 11.313708498984760390 10[4,6,6]
29.305982844911989541 13.835525936249404140 11[3,5,3,5]
32.434664363614895173 13.599663291074443561 12[3,8,8]
55.286744958445148944 37.616649962733362976 13[3,3,3,3,5]
59.305982844911989541 41.615323782497967065 14[3,4,5,4]
61.755172439303668108 41.798989873223330683 15[4,6,8]
72.607253034133921879 55.287730758122739236 16[5,6,6]
100.99076015310198854 85.039664559370881555 17[3,10,10]
174.29203034232392088 206.80339887498948482 18[4,6,10]
L面角 M面角 S面角
01 35.264389682754654315
02 54.735610317245345685
03 45.000000000000000000
04 69.094842552110700967
05 54.735610317245345685 70.528779365509308631
06 35.264389682754654315 74.206830951736037054
07 66.366136216794602533 76.617293856710015509
08 67.500000000000000000 77.235610317245345685
09 58.282525588538994676
10 54.735610317245345685 70.528779365509308631
11 63.434948822922010648 79.187683036428293709
12 45.000000000000000000 80.264389682754654315
13 70.842237247818090112 82.087683028016940767
14 71.565051177077989352 76.717474411461005324 82.377368140649695643
15 57.764389682754654315 67.500000000000000000 77.235610317245345685
16 69.094842552110700967 73.527789307239603390
17 58.282525588538994676 84.340106270811309681
18 65.905157447889299033 76.717474411461005324 82.377368140649695643
二面角1 二面角2 二面角3
01 LL= 70.528779365509308631
02 LL= 109.47122063449069137
03 LL= 90.000000000000000000
04 LL= 138.18968510422140193
05 LM= 125.26438968275465432
06 LL= 70.528779365509308631 LM= 109.47122063449069137
07 LM= 142.98343007350461804 MM= 153.23458771342003102
08 LL= 135.00000000000000000 LM= 144.73561031724534568
09 LL= 116.56505117707798935
10 LL= 109.47122063449069137 LM= 125.26438968275465432
11 LM= 142.62263185935030436
12 LL= 90.000000000000000000 LM= 125.26438968275465432
13 LM= 152.92992027583503088 MM= 164.17536605603388153
14 LM= 148.28252558853899468 MS= 159.09484255211070097
15 LM= 125.26438968275465432 LS= 135.00000000000000000 MS= 144.73561031724534568
16 LL= 138.18968510422140193 LM= 142.62263185935030436
17 LL= 116.56505117707798935 LM= 142.62263185935030436
18 LM= 142.62263185935030436 LS= 148.28252558853899468 MS= 159.09484255211070097
2012年8月20日
Compounds 多面体 諸量
双対多面体の諸量を掲載します。
寸法は もとの多面体の稜寸が 1のとき
複合多面体 compounds となる寸法にしています。
つまり 稜芯寸が同じです。
二面角 面芯寸 名称
70.528779365509308631 .20412414523193150818 01[3,3,3]
90.000000000000000000 .35355339059327376220 02[3,3,3,3]
109.47122063449069137 .57735026918962576451 03[4,4,4]
116.56505117707798935 .68819096023558676910 04[3,3,3,3,3]
120.00000000000000000 .75000000000000000000 05[3,4,3,4]
129.52119635864217322 .95940322360024695434 06[3,6,6]
136.30923289232420382 1.1576617909555498021 07[3,3,3,3,4]
138.11795905551232225 1.2202629537976100741 08[3,4,4,4]
138.18968510422140193 1.2228474935575285787 09[5,5,5]
143.13010235415597870 1.4230249470757706994 10[4,6,6]
144.00000000000000000 1.4635254915624211362 11[3,5,3,5]
147.35010012620952978 1.6382813268065143234 12[3,8,8]
153.17873255844969649 2.0398731549542789999 13[3,3,3,3,5]
154.12136312577632048 2.1209910195184334175 14[3,4,5,4]
155.08217961661841220 2.2097412102566332828 15[4,6,8]
156.71855372645878664 2.3771316059838161118 16[5,6,6]
160.61255220937037119 2.8852583129200411870 17[3,10,10]
164.88789190766248167 3.7366464560831424485 18[4,6,10]
L仰角 M仰角 S仰角
01 54.735610317245345685
02 35.264389682754654315
03 45.000000000000000000
04 20.905157447889299033
05 35.264389682754654315 19.471220634490691369
06 54.735610317245345685 15.793169048263962946
07 23.633863783205397467 13.382706143289984491
08 22.500000000000000000 12.764389682754654315
09 31.717474411461005324
10 35.264389682754654315 19.471220634490691369
11 26.565051177077989352 10.812316963571706291
12 45.000000000000000000 9.7356103172453456846
13 19.157762752181909888 7.9123169719830592329
14 18.434948822922010648 13.282525588538994676 7.6226318593503043571
15 32.235610317245345685 22.500000000000000000 12.764389682754654315
16 20.905157447889299033 16.472210692760396610
17 31.717474411461005324 5.6598937291886903186
18 24.094842552110700967 13.282525588538994676 7.6226318593503043571
L稜寸 M稜寸 S稜寸
01 .50000000000000000000
02 .35355339059327376220
03 .70710678118654752440
04 .30901699437494742410
05 .61237243569579452455 .30618621784789726227
06 1.5000000000000000000 .30000000000000000000
07 .54577648445886681200 .29673267798599365525
08 .54119610014619698440 .29598997565807943876
09 .80901699437494742410
10 1.0606601717798212866 .53033008588991064330
11 .76942088429381335064 .29389262614623656458
12 1.7071067811865475244 .29289321881345247560
13 .72853847965035469104 .29144976737249120721
14 .72541696649427383703 .51374314837300779674 .29124883602080337314
15 1.4270732708751722817 .93737914231134747753 .51266967637086882424
16 .92705098312484227231 .71764499555916901903
17 1.8090169943749474241 .29008936414773205235
18 1.6857166981731757817 .88982923502244570318 .50445778163332800082
Lかど角 Mかど角 Sかど角
01 60.000000000000000000
02 90.000000000000000000
03 60.000000000000000000
04 108.00000000000000000
05 70.528779365509308631 109.47122063449069137
06 33.557309761920715293 112.88538047615856941
07 80.751702088392428768 114.81207447790189281
08 81.578941881850578219 115.26317435444826534
09 60.000000000000000000
10 48.189685104221401934 83.620629791557196132
11 63.434948822922010648 116.56505117707798935
12 31.399714809919042210 117.20057038016191558
13 67.453508965514960111 118.13662275862125997
14 67.783011547435348796 86.974155491043547019 118.26867747047755717
15 37.773340083132792629 55.024696148902675288 87.201963767964532083
16 55.690639534406005565 68.618720931187988871
17 30.480324565355675308 119.03935086928864938
18 32.770278471287838669 58.237919620889530968 88.991801907822630362
L頂芯寸 M頂芯寸 S頂芯寸
01 .61237243569579452455
02 .61237243569579452455
03 1.0000000000000000000
04 .86602540378443864676
05 1.0606601717798212866 .91855865354369178682
06 1.8371173070873835736 1.1022703842524301442
07 1.3614101519264425345 1.2820358469890142117
08 1.4142135623730950488 1.3396704247226696103
09 1.5388417685876267013
10 1.8371173070873835736 1.5909902576697319299
11 1.7204774005889669228 1.5666546730064754191
12 2.4142135623730950488 1.7320508075688772935
13 2.2200006991613182111 2.1172098986276657420
14 2.2939698674519558970 2.2360679774997896964 2.1956534020612776371
15 2.6754174373368364913 2.4494897427831780982 2.3203772410170407352
16 2.5980762113533159403 2.5309268686270615215
17 3.4409548011779338455 2.9413907079821512843
18 4.1291457614135206146 3.8729833462074168852 3.8029832481815887597
面積 体積 LMS接合角
01 1.7320508075688772935 .11785113019775792073 60
02 3.0000000000000000000 .35355339059327376220 60
03 6.9282032302755091741 1.3333333333333333333 45
04 7.8859666817870040904 1.8090169943749474241 60
05 9.5459415460183915794 2.3864853865045978949 45 60
06 17.909773867919159185 5.7275649276110349476 30 60
07 19.299406563296038279 7.4473951888148613654 45 60
08 21.513454645857756671 8.7506905708484345088 45 60
09 22.672839422285121914 9.2418082864578952009 36
10 30.186917696247160902 14.318912319027587369 30 45
11 22.247967345311054163 10.853489115103684721 36 60 誤
11 30.338137289060528404 14.800212429686842801 36 60 正 2012 8/21
12 42.691767495934186821 23.313708498984760390 22.5 60
13 55.280530923261226254 37.588423673993486442 36 60
14 59.767395102644803054 42.255369424239875108 36 45 60
15 67.424848155089284364 49.663821854532241004 22.5 30 45
16 75.565544704433850714 59.876414880097563514 30 36
17 115.56968556618976742 111.14946533380144110 18 60
18 183.19554518150396045 228.17899489089532558 18 30 45
2012年8月19日
14[3,4,5,4] Excel 多面体 諸量
前回の続きで 多面体諸量の 二面角についてお伝えします。
多面体の面と面とが接する稜にできる角度のことですが
さいころの形をした正六面体 [4,4,4] の二面角は 90度だといえばお判りでしょう。
今お伝えしている 正多面体や準正多面体 の製作過程には必要としません。
できた完成品を見て 認識を深めるだけです。
ただ 複合多面体などでお伝えした 双対多面体の製作には必要な数値です。
上の画像をクリックすると エクセル画面が拡大されて見えます。
後日投稿のリメイク版もあります。
[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体 など
18種類ある値の計算ができます。
1 行目 B 列 → 稜芯寸
4 行目 A 列 → 角数
4 行目 B 列 → 多角形の辺芯寸
4 行目 C 列 → 面角
4 行目 D 列 → 面芯寸
4 行目 E 列 → 双対仰角
4 行目 F 列 → 双対稜寸
5 行目 B 列 → =0.5/TAN(PI()/A5)
5 行目 C 列 → =DEGREES(ACOS(B5/$B$2))
5 行目 D 列 → =SQRT($B$2^2-B5^2)
5 行目 E 列 → =90-C5
5 行目 F 列 → =$B$2/D5*B5
5 行目 B 列 から F 列 までを選択し セルの右下にポインタを合わせ
「＋」を下方( 7行目まで ) にドラッグする[オートフィル]を行います。
この画面の計算は [ 3,4,5,4 ] の計算です。
この多面体の二面角は 三角形と四角形の二面角
82.3773681406496＋76.7174744114609 = 159.094842552110 と
四角形と五角形の二面角
76.7174744114609＋71.5650511770778 = 148.282525588539 の二つです。
五角形と三角形の二面角はありません。
ある書籍には この幻の二面角の数値 153.942419317727 を
153°56′33″と表記して諸量に載せてあるのがありました。
私も人のことは言っておられません 肝に銘じて正確な情報を伝えてゆく所存です。
左は 私の初期の作品で 接着剤が劣化していて 一部の部品が剥がれていました。
高さ約 75mm 6×6 の竹製で 斜方立方8面体 [3,4,4,4] です。
右はその双対多面体の凧形24面体です これも古い作品です。
4×4のバルサ材での作品ですが 歪みもみられず まずまずの状態です。
次回は この[3,4,4,4]の双対形である凧形24面体についてお伝えしようと思っています。
2012年8月18日
多面体 諸量
正多面体 準正多面体 の諸量を表示します。
2012年7月9日のブログで エクセルでの 数値の求め方をお伝えしましたが
そこで入力できる数値より少し精度の高い値を 載せておきます。
基本数とは 頂芯寸を 1 としたときの 稜芯寸の値です。
エクセルの画面に この値が入れば 各接合角の合計が 360度になります。
入力値との確認等に ご利用ください。
パズル気分で 入力ができます。
ここで “芯”という用語を用いていますが
立体上の 中芯点という意味で使用しています。
現代の高等幾何学での 用語とは意味が違いますが 問題はないでしょう。
また 平面上では “心”という用語を 中心点という意味で用いています。
稜と辺 頂と”かど” も使い分けを意図しています。
基本数 仰角 名称
.57735026918962576451 54.735610317245345685 01[3,3,3]
.70710678118654752440 45.000000000000000000 02[3,3,3,3]
.81649658092772603273 35.264389682754654315 03[4,4,4]
.85065080835203993218 31.717474411461005324 04[3,3,3,3,3]
.86602540378443864676 30.000000000000000000 05[3,4,3,4]
.90453403373329086794 25.239401820678913392 06[3,6,6]
.92819137798557160941 21.845383553837898091 07[3,3,3,3,4]
.93394883109446475958 20.941020472243838873 08[3,4,4,4]
.93417235896271569645 20.905157447889299033 09[5,5,5]
.94868329805051379960 18.434948822922010648 10[4,6,6]
.95105651629515357212 18.000000000000000000 11[3,5,3,5]
.95968298226066728914 16.324949936895235112 12[3,8,8]
.97273285056559586532 13.410633720775151757 13[3,3,3,3,5]
.97460776237817045237 12.939318437111839760 14[3,4,5,4]
.97645097624651324115 12.458910191690793901 15[4,6,8]
.97943208548641418658 11.640723136770606678 16[5,6,6]
.98572191928130191461 9.6937238953148144071 17[3,10,10]
.99131668954105939137 7.5560540461687591650 18[4,6,10]
頂芯寸 稜芯寸 名称
.61237243569579452455 .35355339059327376220 01[3,3,3]
.70710678118654752440 .50000000000000000000 02[3,3,3,3]
.86602540378443864676 .70710678118654752440 03[4,4,4]
.95105651629515357212 .80901699437494742410 04[3,3,3,3,3]
1.0000000000000000000 .86602540378443864676 05[3,4,3,4]
1.1726039399558573886 1.0606601717798212866 06[3,6,6]
1.3437133737446017013 1.2472231679936432518 07[3,3,3,3,4]
1.3989663259659067020 1.3065629648763765279 08[3,4,4,4]
1.4012585384440735447 1.3090169943749474241 09[5,5,5]
1.5811388300841896660 1.5000000000000000000 10[4,6,6]
1.6180339887498948482 1.5388417685876267013 11[3,5,3,5]
1.7788236456639244509 1.7071067811865475244 12[3,8,8]
2.1558373751156397018 2.0970538352520879924 13[3,3,3,3,5]
2.2329505094156900495 2.1762508994828215111 14[3,4,5,4]
2.3176109128927665138 2.2630334384537146236 15[4,6,8]
2.4780186590676155376 2.4270509831248422723 16[5,6,6]
2.9694490158633984670 2.9270509831248422723 17[3,10,10]
3.8023944998512935848 3.7693771279217166027 18[4,6,10]
L接合角 M接合角 S接合角
01 60.000000000000000000
02 45.000000000000000000
03 60.000000000000000000
04 36.000000000000000000
05 54.735610317245345685 35.264389682754654315
06 73.221345119039642354 33.557309761920715293
07 49.624148955803785616 32.593962761049053596
08 49.210529059074710890 32.368412822775867329
09 60.000000000000000000
10 65.905157447889299033 48.189685104221401934
11 58.282525588538994676 31.717474411461005324
12 74.300142595040478895 31.399714809919042210
13 56.273245517242519944 30.931688620689370014
14 56.108494226282325602 46.512922254478226490 30.865661264761221417
15 71.113329958433603686 62.487651925548662356 46.399018116017733958
16 62.154680232796997218 55.690639534406005565
17 74.759837717322162346 30.480324565355675308
18 73.614860764356080665 60.881040189555234516 45.504099046088684819
S面芯寸 M面芯寸 L面芯寸
01 .20412414523193150818
02 .40824829046386301637
03 .50000000000000000000
04 .75576131407617073048
05 .81649658092772603273 .70710678118654752440
06 1.0206207261596575409 .61237243569579452455
07 1.2133558000218923103 1.1426135089259620935
08 1.2742736942483016631 1.2071067811865475244
09 1.1135163644116067352
10 1.4142135623730950488 1.2247448713915890491
11 1.5115226281523414610 1.3763819204711735382
12 1.6825219847121646795 1.2071067811865475244
13 2.0770896597432085994 1.9809159472818407390
14 2.1570198525202442752 2.1180339887498948482 2.0645728807067603073
15 2.2071067811865475244 2.0907702751760276959 1.9142135623730950488
16 2.3274384367663271103 2.2672839422285121914
17 2.9127811665964150056 2.4898982848827802734
18 3.7360679774997896964 3.6685424806725857361 3.4409548011779338455
2012年8月16日
14[3,4,5,4] Excel 多面体 諸量
斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] の 面芯寸の計算画面です。
(後日 投稿のリメイク版もあります。)
[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体 など
18種類ある値の計算ができます。
頂芯寸 2.23295050941567 角数 3 4 5 を手入力し
=0.5/SIN(PI()/A5) を 5行 B列に
=SQRT($B$2^2-B5^2) を 5行 C列に 入れ 7行まで オートフィルして下さい。
完成品の三角面を底にして置いて 多面体の高さが 7cm になった場合 稜寸は
7 × 1 / ( 2.157×2 ) = 1.623 です。
2012年7月14日
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