多面体

野宮問題

Excel 嵯峨近辺 未分類

前回 嵯峨を話題にしたキッカケに調べものをしていると
以前から思っていた野宮に対する疑問がとけました。

明治維新後の動乱で ひどい目に遭った 神社仏閣の代表として
野宮 南禅寺問題 と名付けて関心を持っていました。

古代の神社の様式を未だに伝える
由緒ある静粛な野宮に接して線路がひかれ
蒸気機関車がやかましく往来することがどうしてできたのか。

南禅寺の敷地に水路閣という煉瓦つくりの水路がドッカリ鎮座し
そして
琵琶湖疎水の水を 滝や渓流にした素晴らしい庭園を配し
お妾さんを囲っていたとの噂もある 邸宅のかずかずが
どうしてできしまったのか。

南禅寺問題は 廃仏棄釈で文句は言えなかったからと
わりと簡単に解けましたが
明治維新後の神社は 不遇ではなかったはずだという疑問です。
調べもので分かったのは
その時の野宮は 村の管理下にある小さな ほこら でしかなく
神に仕える人たちは農業やほかの仕事で生計を立てていた程
神社の力はなかった。がその答えです。

明治32年に鉄道が通り 明治40年にやっと 野宮への援助が始まりました。

ご近所の天龍寺さんも 長州の本陣だったことで焼き討ちされたり
散々な目に遭って経営難になり
敷地内で風呂屋を経営していたとも聞いています。
でもそれに屈せず
今は 世界遺産に登録されている 素晴らしい寺院に復興しています。

話題をもう一つ。
ヘロンの開平方の エクセル版です。
本やインターネットを参照しながら
文字や数式からの説明を読んでいますが
なかなか理解しにくいものです。そこで エクセルで表現し
これを操作しながら 理解を深めてゆこうとしているところです。

√A ≒ 1/2*(a+A/a)		
A=	1000	
a=	   7	
		
 1/2*(a+A/a)	a  　　　　　　　√A と a との差
74.92857143	7	　　　　 67.92857143
		
44.13730764	74.92857143	-30.79126379
33.39693882	44.13730764	-10.74036882
31.66990145	33.39693882	-1.727037365
31.62281166	31.66990145	-0.047089791
31.6227766	31.62281166	-3.50609E-05
31.6227766	31.6227766	-1.94369E-11
31.6227766	31.6227766	　         0

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。

√A ≒ 1/2*(a+A/a)
 
 
A=
1000
 
a=
7
 
 
 

 1/2*(a+A/a)	
 
 a
√A と a との差
 
=1/2*(B6+B2/B6)
 
=B3
=A6-B6
 
 
 
=1/2*(B8+$B$2/B8)
=A6
=A8-B8
 
=1/2*(B9+$B$2/B9)
=A8
=A9-B9
 
  
9 行目の A 列から C 列 までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
16行ぐらいまでドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。
A= 1000  a= 7 のところが変更可能です。

2017年3月20日

アルブレヒト・デューラーとLucas Cranach der Ältere

Dürer’s solid 未分類

国立国際美術館で開かれている クラーナハの絵画展に行ってきました。


クラーナハ ( Lucas Cranach der Ältere 1472-1553 ) は
ドイツ・ルネッサンスを代表する芸術家で
後世の絵画作品にも大きな影響を与えているとのことです。

絵画にはあまり興味がない私ですが あの有名な宗教改革を興した
マルティン・ルター（Martin Luther 1483- 1546 ）の肖像画作者だと知ったことと
妻が 強く誘うもので 重い腰をあげて 大阪まで行ってきました。

人物の特徴的な表現に魅かれたり
当時のドイツの雰囲気が感じられるような気分になったりで
いつになく感銘を受けていました。

それと 彼に影響を及ぼしたと思われる同時代のドイツの画家
アルブレヒト・デューラー ( Albrecht Dürer 1471-1528 ) の
作品も数点あり 既にお伝えしたことのある メランコリア もあったのです。
以前　メランコリア を見たときは 思った以上に小さく(238mm×186mm)
印象として感動に乏しかったのですが
今回は 小さいと感じてしまったことが不思議で
思いがけず鑑賞することができたことに 大変感動しました。

2017年3月11日

アルキメデスの円周率計算

Excel 未分類

普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見たいと思って 最近のブログを書いています。
今回はアルキメデス (287 BC? – 212 BC?) の円周率の計算法についてです。

アルキメデスは 直径が 1 となる円に対し
かどが円に内から接する正六角形の周の寸法と
辺 が円に外から接する正六角形の周の寸法との中間の値が
円周率だとして多角形の周の寸法を求めています。

円に接する多角形の角数を多くすればするほど
かどが接する多角形と 辺が接する多角形との
周の寸法の差が 縮まり円周率に近づくということです。

彼は 六角形の周の寸法をもとに その倍の12角形を計算し
その倍の24角形を計算しそして 48角形 96角形と行ったそうです。
そして 3+10/71 < 円周率 < 3+1/7 の結果になったとのことです。
つまり 3.14084507042254 < 円周率 < 3.14285714285714 です。

当時の記数法で どのように計算したかは あまり判っていないようです。

現代風に計算すると以下のようになります。

  
   角数
 
内 周寸 an
 
 外 周寸 An
 
    差
 
 1
  6×1= 6
a1 = 3          
 
 A1= 2×√3               
 A1-a1
 
 2
  6×2=12
a2 = √( a1×A2 )
 
 A2= 2×a1×A1 / ( a1+A1 )
 A2-a2
 
 3
 12×2=24
a3 = √( a2×A3 )
 
 A3= 2×a2×A2 / ( a2+A2 )
 A3-a3
 
 4
 24×2=48
a4 = √( a3×A4 )
 
 A4= 2×a3×A3 / ( a3+A3 )
 A4-a4
 
 5
 48×2=96
a5 = √( a4×A5 )
 
 A5= 2×a4×A4 / ( a4+A4 )
 A5-a5
 

 
     角数
 
内側 n角形の周寸
 
外側 n角形の周寸
 
         差       
 
 
        6
 
3               
 
3.46410161513775
 
0.464101615137755 
 
 
       12
 
3.10582854123025
 
3.21539030917347
 
0.109561767943223 
 
 
       24
 
3.13262861328124
 
3.1596599420975 
 
0.027031328816262 
 
 
       48
 
3.13935020304687
 
3.14608621513143
 
0.006736012084568 
 
 
       96
 
3.14103195089051
 
3.14271459964537
 
0.001682648754859 
 

 
n角数
 
 内側 n角形の周寸
 
 外側 n角形の周寸
 
  差  
 
 
6    
 
=SIN(PI()/A2)*A2 
 
=TAN(PI()/A2)*A2 
 
=C2-B2
 
 
=A2*2
 
=SQRT(B2*C3)     
 
=2*B2*C2/(B2+C2) 
 
=C3-B3
 

2017年3月4日

パズル気分で 古典的掛け算

Excel 未分類

久しぶりの投稿です。

私の多面体製作の道具として Excel は欠かせません。
高機能関数電卓として重宝しています。

普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見てみたいと 以前から思っていました。

パピルスに書かれた掛け算と ロシア農民の掛け算 を例に
Excel で表現してみました。
Wikipedia の Ancient Egyptian multiplication を参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication

80 × 14 = 1120 の計算で説明します。
下に表現しているのが パピルスに書かれた掛け算 です。

80 × 14 = 1120 として既に解が求まっている状態です。
80を入力すると その下の列の 数値が 変化し
80 80×2=160 160×2=320 320×2=640 . . . と前の数を2倍しています。
80 に 1 2 4 8 . . . を乗じても同じです。
その横の縦列は 1 2 4 8 16 . . . が固定されています。

そして 次の縦列が表示欄で 1 2 4 8 16 . . .の数列の
各数値を そのままにするか 0 にするかを表示します。
その合計が 掛けられるほうの数値
今回は 14 が表示されています。
次の✔下の縦列が 入力欄で 1 か 0 を入れて 14 になるようにします。
つまり 0.1.1.1 の入力で 0 + 2 + 4 + 8 = 14 になります。

そして この 0.1.1.1 が 0 + 160 + 320 + 640 = 1120 に連動しています。

パピルスに書かれた掛け算

 
  80
 
 ×
 
14
 
 =
 
1120
 
 
 
 
 
 ✔
 
 
 
  80
 
 1
 
 0
 
 0
 
   0
 
 
 160
 
 2
 
 2
 
 1
 
 160
 
 
 320
 
 4
 
 4
 
 1
 
 320
 
 
 640
 
 8
 
 8
 
 1
 
 640
 
 
   
 
16
 
  
 
  
 
    
 
 
 
 
14
 
 
1120
 

14               →    14 
14 / 2 = 7  + 0  →  ✔ 7
 7 / 2 = 3  + 1  →  ✔ 3
 3 / 2 = 1  + 1  →  ✔ 1    

ロシア農民の掛け算

 
 80
 
 ×
 
14
 
 =
 
1120
 
 
 
 
 
 
 
 
 80
 
 
14
 
 
 
 
160
 
✔
 
 7
 
 
 160
 
 
320
 
✔
 
 3
 
 
 320
 
 
640
 
✔
 
 1
 
 
 640
 
 
    
 
    
 
 
 
1120
 

 
パピルスに書かれた掛け算
 
 
 
 
 
 
 
80
 
×
 
14
 
=
 
=E17
 
=A2*C2
 
 
 
 
 
 ✔
 
 
 
 
=A2
 
=2^0
 
=B4*D4
 
0
 
=A4*D4
 
=(MOD(C22,2))
 
 
=A4*2
 
=2^1
 
=B5*D5
 
1
 
=A5*D5
 
=(MOD(C23,2))
 
 
=A5*2
 
=2^2
 
=B6*D6
 
1
 
=A6*D6
 
=(MOD(C24,2))
 
 
=A6*2
 
=2^3
 
=B7*D7
 
1
 
=A7*D7
 
=(MOD(C25,2))
 
 
=A7*2
 
=2^4
 
=B8*D8
 
0
 
=A8*D8
 
=(MOD(C26,2))
 
 
=A8*2
 
=2^5
 
=B9*D9
 
0
 
=A9*D9
 
=(MOD(C27,2))
 
 
=A9*2
 
=2^6
 
=B10*D10
 
0
 
=A10*D10
 
=(MOD(C28,2))
 
 
=A10*2
 
=2^7
 
=B11*D11
 
0
 
=A11*D11
 
=(MOD(C29,2))
 
 
=A11*2
 
=2^8
 
=B12*D12
 
0
 
=A12*D12
 
=(MOD(C30,2))
 
 
=A12*2
 
=2^9
 
=B13*D13
 
0
 
=A13*D13
 
=(MOD(C31,2))
 
 
=A13*2
 
=2^10
 
=B14*D14
 
0
 
=A14*D14
 
=(MOD(C32,2))
 
 
=A14*2
 
=2^11
 
=B15*D15
 
0
 
=A15*D15
 
=(MOD(C33,2))
 
 
=A15*2
 
=2^12
 
=B16*D16
 
0
 
=A16*D16
 
=(MOD(C34,2))
 
 
 
 
=SUM(C4:C16)
 
 
=SUM(E4:E16)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ロシア農民の掛け算
 
 
 
 
 
 
 
=A2
 
×
 
=C2
 
=
 
=E35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=A2
 
=IF(MOD(C22,2)=0,"","✔")
 
=C2
 
 
=IF(B22="✔",A22,"")
 
 
 
=IF(C23=0,"",A22*2)
 
=IF(MOD(C23,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C22,2)
 
 
=IF(B23="✔",A23,"")
 
 
 
=IF(C24=0,"",A23*2)
 
=IF(MOD(C24,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C23,2)
 
 
=IF(B24="✔",A24,"")
 
 
 
=IF(C25=0,"",A24*2)
 
=IF(MOD(C25,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C24,2)
 
 
=IF(B25="✔",A25,"")
 
 
 
=IF(C26=0,"",A25*2)
 
=IF(MOD(C26,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C25,2)
 
 
=IF(B26="✔",A26,"")
 
 
 
=IF(C27=0,"",A26*2)
 
=IF(MOD(C27,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C26,2)
 
 
=IF(B27="✔",A27,"")
 
 
 
=IF(C28=0,"",A27*2)
 
=IF(MOD(C28,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C27,2)
 
 
=IF(B28="✔",A28,"")
 
 
 
=IF(C29=0,"",A28*2)
 
=IF(MOD(C29,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C28,2)
 
 
=IF(B29="✔",A29,"")
 
 
 
=IF(C30=0,"",A29*2)
 
=IF(MOD(C30,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C29,2)
 
 
=IF(B30="✔",A30,"")
 
 
 
=IF(C31=0,"",A30*2)
 
=IF(MOD(C31,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C30,2)
 
 
=IF(B31="✔",A31,"")
 
 
 
=IF(C32=0,"",A31*2)
 
=IF(MOD(C32,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C31,2)
 
 
=IF(B32="✔",A32,"")
 
 
 
=IF(C33=0,"",A32*2)
 
=IF(MOD(C33,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C32,2)
 
 
=IF(B33="✔",A33,"")
 
 
 
=IF(C34=0,"",A33*2)
 
=IF(MOD(C34,2)=0,"","✔")
 
=QUOTIENT(C33,2)
 
 
=IF(B34="✔",A34,"")
 
 
 
 
 
 
 
=SUM(E22:E34)
 
 
 
 

2017年2月28日

2017 元旦

嵯峨近辺 未分類

2017 元旦
明けましておめでとうございます。

除夜の鐘を撞くつもりで 昨夜も いつものお寺に行きました。
いつもの通りの時間に着いたのですが
108枚の整理カードは 既になくなっていました。
人が多く 洛外の ひなびたお寺ではもうなくなってきているようです。

初詣にも行ってきました。
暇をもてあますこともなく日々を送れていることに感謝し
今年も いいことがありますようにと
お願いをしてきました。のどかな朝を感じています。

野宮神社 8:20 a.m.


昨年の ブログでの年初の抱負 ( New Year’s resolution ) は
『 誰でも手軽に作れる多面体 をめざしてゆきます。』でした。

” 誰でも ” という言葉の意味の理解に混乱があり
筆の進みが 遅々とすることが多々ありました。

“教えて君” という言葉が使われているようですね。
教えて君 には 伝えきれていないとは思いますが
同好の士や 実際に多面体を作ってみようとしている人には
もうほとんど 私のわかっている
製作のコツをお伝えしえているかなと思っています。
説明のまずさや 表現間違いの存在の可能性は否めませんが。

今年も 思うことをつれづれと伝えてゆこうとしています。

2017年1月1日

[3,3,3,3,5] の計算式

13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量

前々回と前回の続きです。

また [3,3,3,3,5] の 外接球半径についてです。

計算式が判明していないのが残念です。と書いていました。

しかし
日本語版の Wikipedia の変形十二面体に 計算式が載っていました。
(2015年3月16日 (月) 07:24時点における版 より)

他の言語での Wikipedia では 載っていないようです。

灯台もと暗しです。

自力解決のため
他の人の成果をあまり 参考にしなかったと 言い訳けを言っておきます。

エクセルで 計算できる表現で記述すると 以下です。

=1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+
(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+
(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))

 2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
   18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
   42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
   61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
   71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
   89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
   40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
   70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
   24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
   26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
   61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
   10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
   30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
   57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
   32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
   21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
   37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
   32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
   22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
   29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041 

2016年9月3日

[3,3,3,3,4] と [ 3,3,3,3,5] の外接球半径 1000桁

07[3,3,3,3,4] 13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量

前回の続きです。

Raspberry Pi で Mathematica　を走らせて
多面体の 外接球半径 ( 頂芯寸 ) のシンプルな計算式を求めたとして
Excel で使用できる 表を載せました。

計算式という 式にこだわっているのは
その式の表現する値は 近似値ではないからです。

Excel で [3,3,3,3,4] の 頂芯寸の 計算式は
=SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) で
表示は 15桁の表示指定で 1.343713373744600 となっています。

この数式を 多倍長電卓LM で１０００桁指定で 実行すると以下です。

[3,3,3,3,4] 外接球半径

 1.34371 33737 44601 70127 15287 53975 05824 76376 02609 35358
   64988 77762 09658 55706 90893 48794 56973 31688 73082 16628
   10517 86312 34231 18912 48934 22698 98513 13152 52388 83099
   99695 51465 34656 54666 91199 73057 12404 87181 58689 83101
   52706 73588 95439 45759 66808 98001 82458 74562 03715 47798
   73758 91138 64065 13093 44833 73642 76320 04740 38209 97931
   21283 63087 45536 25488 82847 16710 31601 12312 74946 88760
   75947 23068 26438 72263 54595 16709 53642 47794 39632 74759
   99864 48261 56826 97693 61084 82504 65047 47725 73973 75581
   77519 56125 26881 51031 78761 94824 75418 84415 24688 37953
   07401 46214 60745 49416 60020 61203 67766 70368 45208 15639
   13255 40719 84840 73695 37115 68354 45051 94655 39154 15438
   52061 97480 37458 38311 41863 43914 37952 62153 58312 90302
   21901 83004 41970 32795 85375 45937 91929 07117 32102 04879
   62563 41502 88258 97563 31599 80542 81380 61709 57750 80055
   92392 17968 33724 70868 62099 96630 67075 59371 76770 36409
   06359 45200 09505 63444 91600 53436 55518 90992 23660 99813
   72421 11438 19374 00218 74596 54930 76261 02604 25038 80259
   06749 56526 92077 83952 39016 51486 43263 70810 40971 32169
   84435 10226 61936 74850 55855 77017 66200 17485 66370 5204

[3,3,3,3,5] 外接球半径

 2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
   18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
   42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
   61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
   71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
   89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
   40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
   70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
   24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
   26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
   61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
   10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
   30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
   57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
   32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
   21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
   37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
   32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
   22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
   29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041

2016年9月1日

Raspberry Pi で Mathematica

Excel 多面体 未分類 諸量

今 多面体製作そっちのけで ラズパイの マセマティカに 傾注しています。

ラズパイは シングルボードコンピュータ で
下画像右下の 85.60 mm × 56.5 mm の基盤上にあり
透明ケースに入っているのがそれです。

通販で ￥5000 ぐらいで簡単に入手でき
Mathematica　を無料でタウンロードできます。

マセマティカなんて 使用料が高く
とても 自分のパソコンでは走らせることはないと思っていました。

最近 ラズパイのことを知り 早速購入して Mathematica で遊んでいます。



以前 Excel で 外接球半径 というエピソードを載せたことがあります。

一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が
簡単にできる多面体は多くあるとしてExcel での計算を 載せていました。

[3,3,3,3,4]　[3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10]　は 保留し
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではないとしていました。

今回 Mathematica を用いて 方程式計算をさせたり
式を簡素化させる機能を使ったりで
Excel で使える計算式を 短くしました。

[3,3,3,3,4] は Solve という機能で未知数の探索をさせて解を得ました。
[3,3,3,3,5] は 私の能力では Mathematica をしても 未解です。

他は 長ったらしい計算式を Simplify という機能で縮めました。
それでも 長いものもあります。
もっと短くなるものもあるはずですが 今はこれまでです。

以下の 資料で プラトン多面体 アルキメデス多面体の
ほとんどの諸量が得られるはずです。

必要諸量を 全て計算式で表示していますので
精度の高い計算ができます。 ( 稜寸は 1 として )

画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件 Excel に転記できます。　転記位置は自由です。

 
     
 
 s
 
 m
 
 l
 
 S
 
 M
 
 L
 
 頂芯寸
 
  
 
 
 
 
 
01 [3,3,3]
 
3
 
 
 
4
 
 
 
=SQRT(3/2)/2
 
  
 
  3A
 
=COS(PI()/3) 
 
 
02 [3,3,3,3]
 
3
 
 
 
8
 
 
 
=1/SQRT(2)
 
  
 
  4A
 
=COS(PI()/4) 
 
 
03 [4,4,4]
 
4
 
 
 
6
 
 
 
=SQRT(3)/2
 
  
 
  5A
 
=COS(PI()/5) 
 
 
04 [3,3,3,3,3]
 
3
 
 
 
20
 
 
 
=1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5)))
 
  
 
  6A
 
=COS(PI()/6) 
 
 
05 [3,4,3,4]
 
3
 
4
 
 
8
 
6
 
 
1
 
  
 
  8A
 
=COS(PI()/8) 
 
 
06 [3,6,6]
 
3
 
6
 
 
4
 
4
 
 
=SQRT(11/2)/2
 
  
 
 10A
 
=COS(PI()/10) 
 
 
07 [3,3,3,3,4]
 
3
 
4
 
 
32
 
6
 
 
=SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3)))))
 
  
 
  3B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/3) 
 
 
08 [3,4,4,4]
 
3
 
4
 
 
8
 
18
 
 
=1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2)
 
  
 
  4B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/4) 
 
 
09 [5,5,5]
 
5
 
 
 
12
 
 
 
=1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5)))
 
  
 
  5B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/5) 
 
 
10 [4,6,6]
 
4
 
6
 
 
6
 
8
 
 
=SQRT(5/2)
 
  
 
  6B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/6) 
 
 
11 [3,5,3,5]
 
3
 
5
 
 
20
 
12
 
 
=SQRT(1/2*(3+SQRT(5)))
 
  
 
  8B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/8) 
 
 
12 [3,8,8]
 
3
 
8
 
 
8
 
6
 
 
=1/2*SQRT(7+4*SQRT(2))
 
  
 
 10B
 
=(1/2)/COS(PI()/2-PI()/10) 
 
 
13 [3,3,3,3,5]
 
3
 
5
 
 
80
 
12
 
 
 
  
 
  3C
 
=(1/2)^2*3/TAN(PI()/3) 
 
 
14 [3,4,5,4]
 
3
 
4
 
5
 
20
 
30
 
12
 
=1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5)))
 
  
 
  4C
 
=(1/2)^2*4/TAN(PI()/4) 
 
 
15 [4,6,8]
 
4
 
6
 
8
 
12
 
8
 
6
 
=1/2*SQRT(13+6*SQRT(2))
 
  
 
  5C
 
=(1/2)^2*5/TAN(PI()/5) 
 
 
16 [5,6,6]
 
5
 
6
 
 
12
 
20
 
 
=1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5)))
 
  
 
  6C
 
=(1/2)^2*6/TAN(PI()/6) 
 
 
17 [3,10,10]
 
3
 
10
 
 
20
 
12
 
 
=1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5)))
 
  
 
  8C
 
=(1/2)^2*8/TAN(PI()/8) 
 
 
18 [4,6,10]
 
4
 
6
 
10
 
30
 
20
 
12
 
=1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))
 
  
 
 10C
 
=(1/2)^2*10/TAN(PI()/10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
s m l　　
 
角数
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  nA
 
  n角形のかど開き寸/2 
 
 
S M L   
 
面数
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  nB
 
  n角形のかど心寸 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  nC
 
  n角形の面積 
 
 
   
 

2016年8月31日

伝えること 　番外

Compounds 未分類

2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。

「 次回は [ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体について お伝えしようと思っています。」
と言って そのままです。

もうすでに この複合多面体より複雑な
正多面体でつくる複合多面の作り方は お伝えしていますので
より 簡略で平易な作業でできる 作り方を述べようと思っています。

でも
2 × 10 の板棒でつくる 多面体製作については私は ” 初心者 ” なのです。

思いつく方法を 色々試しながら
完成にたどり着いたやり方が 何通りか でてきます。
その中から シンプルで
よりエレガントな方法を 選んで伝えているというのが現状です。

2 × 10 の板棒は 加工がし易いので 試作品が沢山出来てしまっています。
もう少ししたら またフリーマーケットに出せそうなくらいです。

私自身も初心者ですが 伝える相手も初心者を想定して How-to を書いています。
エレガントな方法がなかなか見つからないということもですが
どこまで詳しく 伝えるべきかも悩むところです。

伝える ということの難しさを 実際に伝えているなかで強く実感します。

伝えるということは 広報 教育 報道 対話 などの方法があります。
このブログでは その中で 対話 (チャット) の形式をとっているつもりです。

私は 以下の言い回しを意識して 言葉を選んで伝えるようにしています。
『うわつらかじりの知ったか君 受け売り 切り売り 上から目線。』

リサランドールが
知ったか君をすでに克服している人について 興味深いことを言っています。
以下です。

話のトーンは、
読者を見下していると思える事が多く

科学者を極端なまでにまつりあげているか
退屈なものでしかありませんでした。

研究成果についての
著者の説明は 読者をけむに巻くばかりで

それを発見した研究者を
褒めたたえるだけに ほとんど終始しています。

その理論体系のことや

その理論体系に

科学者が どのように近づいていったのか
の説明はあまりありません。

私が本当に知りたかったのは そのことだったのですが。

－－－ The tone often seemed condescending
to readers, overly worshipful of scientists, or boring. I felt the authors
mystified results or glorified the men who found them, rather than
describing science itself and the process by which scientists made their
connections. That was the part I actually wanted to know.

WARPED PASSAGES LISA RANDALL Preface and Acknowledgments(vii)


今回は
約束が 実行されていない 言い訳を言ってしまったり
知ったか君だったりでした。

2016年6月24日

春のスミレ　番外

嵯峨近辺 未分類

今 多面体製作の 記事を載せようと思えるほどの内容が整っていません。
そこで 存在を 番外で示しておきます。

植物には 興味を持つことはほとんど無いのですが
スミレは別格で この花が咲いているのを発見すると
やっと 春が来たんだと実感させられ ウキウキした 気分になります。

スミレには種類が沢山あって 特定しようと 図鑑で調べると
益々わからなくなってしまいます。

下の画像は 一般のスミレより ちょっと小ぶりのタイプですが 私の好みです。
いくつもの葉が根から上へ伸び しっかり緑色をしていて
ハート形を長く伸ばしたような形状をしています。

散歩の途中で見つけました。
日当りのいい 石垣や敷石のスキマ、舗装道路と歩道との境界などに見られ
自然豊かと思える野原などには あまり見かけたことはありません。

清凉寺山門 石段


私の家の庭には スミレがほとんど生えていません。植える庭がないのではなく
ある昆虫に 根絶やしに近い状態にされたからです。

それは ツマグロヒョウモンという蝶の幼虫です。

スミレと近縁のビオラやパンジーも 好物だと言われていますが
私の庭ではそれらには 一瞥もくれず スミレのみへの攻撃です。

ツマグロヒョウモンは 温暖な気候条件で生育するためか
最近やっと 関東地方でも飛来が確認されるようになったそうです。

邪悪な面は伝わらず 好意的に認知されているようです。
私は親虫や 幼虫がスミレの葉にいるのを発見すると 激しい殺意を覚えます。

2016年4月14日

2016年 正月

嵯峨近辺 未分類

明けましておめでとうございます。

除夜の鐘を撞いてきました。95番目でした。
撞木を引いたあとの撞くタイミングがよかったのか
かなり大きな響きがありました。今年もいいことがありますように。
下画像左から 光の点々が続いているのが 京都市内の夜景です。

そのあと お目当ての ぜんざいのふるまいにも あずかってきました。

2016 元旦 00:30 am 常寂光寺


早朝 初詣に行ってきました。
昼間なら すごく多くの人 ( 特に最近は ) が来られているのですが
静寂を保っています。
下画像 中下 お神酒の酒樽が置いてあります。
小さな紙コップが 添えてあり
ご利益にあずかろうと なみなみと注いで いただきました。

2016 元旦 06:30 am 野宮神社


今年は
誰でも手軽に作れる多面体 をめざしてゆきます。

2016年1月1日

[5,5,5] Platonic solid 再掲

09[5,5,5] Compounds 多面体 未分類

09[5,5,5] のカテゴリーで 既にお伝えしている内容ですが
説明を変えて もう少し詳しく 話を進めてゆこうと思っています。
下画像の 左が それで
正十二面体とか Dodecahedron と呼ばれている 正多面体の一つです。
その横が 正二十面体 そして最後に それらの複合した多面体です。

正五角形 が １２個 組み合わされて できています。
正五角形の 辺と辺が接しているところを 稜とし
かど と かど とが接しているところを 頂 として
立体の 中心を 中芯 という用語を 用いて説明します。



以下に 諸量を記します。特に ことわり の無いかぎり 稜寸は１としての値です。

09 [5,5,5] Dodecahedron 正12面体
09　1.0000000000000000000　[5,5,5]稜寸
09　.93417235896271569645　[5,5,5]基本数
09　20.905157447889299033　[5,5,5]仰　角( 089/233 )
09　60.000000000000000000　[5,5,5]接合角( 194/112 )
09　58.282525588538994676　[5,5,5]片面角( 233/144 )
09　1.4012585384440735447　[5,5,5]頂芯寸( 220/157 )
09　1.3090169943749474241　[5,5,5]稜芯寸( 233/178 )
09　1.1135163644116067352　[5,5,5]面芯寸( 157/141 )
09　116.56505117707798935　[5,5,5]ニ面角
09　20.645728807067603073　[5,5,5]面積
09　7.6631189606246319687　[5,5,5]体積
09　[5,5,5] 稜部品 必要個数 30

２０桁の値で表示しています。
エクセルは １５桁 関数電卓は １０桁ぐらいですが
有効桁数を確認する場合に必要なので この桁にしています。

別の理由として
他人の成果を そのまま用いているのでは無いと
少しは理解してもらえるかな との思いもありました。

今日は これからの ブログ製作の抱負 や 意気込みを
述べたにとどまってしまいました。
不定期に 思いつくまま 補足説明をしてゆこうと思っています。

2015年10月18日

折り紙

多面体 未分類

今 [3,5,3,5] の製作方法について あれやこれやと考えているのですが。
作り方のこと その画像 そして文字での表現 等々 大変です。
参考にしたり 例示したりする資料が 木工では少ないのです。
その点 折り紙での製作は 奥深いものがあります。
以下の 画像は 手元にある 折り紙多面体 関連書籍です。
川村みゆきさん 布施知子さん 堀井洋子さん となぜか女性ばかりです。


折り紙は工芸としても 魅力がありますが
それの数学的理解や解釈に興味深いものがあります。

TEDというプレゼンテーションの動画サイトがあります。
日本語版もあります。

ロバート・ラングが全く新しい時代の折り紙を折るという動画を紹介します。
デジタルキャスト版もあります。


折り紙はアート であり 彫刻だ として
数学の原理を 芸術に当てはめ 背景にある法則が発見されていると言っています。

このプレゼンテーションを
NHKも「折り紙の数学と魔法」という題で放映していました。
NHK 7月22日（水）の番組予定はイ・ジンハとジョセフ・デシモーン
「驚異の超高速3Dプリンター」だそうです。 *注
What if 3D printer was 100x faster?
Reach into the computer and grab a pixel
３Ｄプリンターは 今後 ますます多面体つくりの有力なツールの一つになると思います。
* NHKはBBCなどと比べて アーカイブの扱いに対し 相当ズサンだと感じています。

2015年6月30日

数独 初級 攻略 プログラム　番外

BASIC 未分類

久しぶりです。
多面体関連の内容で 今はお伝えするほどのエピソードはありません。
そこで やっと出来た BASIC プログラムを載せておきます。
以前 Excel で作ったこともある 簡単なロジックで作っています。
仮定を設けての推論はせず 論理的必然としての 結果を表示します。
Excel では IF文が錯綜し 頭が混乱しました。

! 数独 初級 攻略 ツール
! フリーウエアー 十進BASIC でプログラム     
!　http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/　を参照  
!　http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/english/index.htm 英語版     

OPTION BASE 0

DIM x001(9,10)  ! 集計用配列
DIM s001(9,9)   ! 問題データ格納
DIM s002(9,9)   ! 判定用数値格納
DIM s003(9,9)   ! 累積判定用数値格納

! 集計振り分け用データ取り込み
FOR x=1 TO 9
   FOR y=1 TO 9
      READ x001(x,y)
   NEXT y
NEXT x

! 集計振り分け用データ
DATA  1,1,1,  2,2,2,  3,3,3
DATA  1,1,1,  2,2,2,  3,3,3
DATA  1,1,1,  2,2,2,  3,3,3

DATA  4,4,4,  5,5,5,  6,6,6
DATA  4,4,4,  5,5,5,  6,6,6
DATA  4,4,4,  5,5,5,  6,6,6

DATA  7,7,7,  8,8,8,  9,9,9
DATA  7,7,7,  8,8,8,  9,9,9
DATA  7,7,7,  8,8,8,  9,9,9

! 問題データ取り込み  と  集計データ格納
FOR x=1 TO 9
   FOR y=1 TO 9
      READ w001
      IF w001 = 0 THEN LET s002(x,y)=0
      IF w001 > 0 THEN LET s002(x,y)=10^(w001-1)
      LET s001(x,y)=w001
      LET x001(x,0)=x001(x,0)+s002(x,y)
      LET x001(0,y)=x001(0,y)+s002(x,y)
      LET w002=x001(x,y)
      LET x001(w002,10)=x001(w002,10)+s002(x,y)
   NEXT y
NEXT x
PRINT       !   1行スぺースを空ける

! 問題内容を 視覚化
FOR x=1 TO 9
   FOR y=1 TO 9
      IF s001(x,y)=0 THEN 
         PRINT "□ ";
      ELSE
         PRINT s001(x,y);
      END if
      IF y=3 OR y=6 THEN PRINT  "   ";
      IF y=9        THEN PRINT  
   NEXT y
   IF x=3 OR x=6 THEN PRINT 
NEXT x

! 個々の位置に判定数値を格納
FOR x=1 TO 9
   FOR y=1 TO 9
      LET w001=x001(x,y)
      IF s002(x,y) = 0 THEN  
         LET s003(x,y)=x001(x,0)+x001(0,y)+x001(w001,10)
      END if
   NEXT y
NEXT x

PRINT        !   1行スぺースを空ける

! 個々の判定数値を表示
FOR x=1 TO 9
   FOR y=1 TO 9
      IF s003(x,y) = 0 THEN 
         PRINT  "[  ";s001(x,y);"  ]";" ";
      ELSE
         LET w006$=""
         LET w004$= STR$(s003(x,y)+10^9)
         FOR z=1 TO 9
            LET zz=10-z
            LET w005$=mid$(w004$,z+1,1) 
            IF w005$="0" THEN 
               LET w006$=w006$ & STR$(zz)
            ELSE
               LET w006$=w006$ & " "
            END if
         NEXT z
         PRINT w006$;" ";
      END IF
      IF y=3 OR y=6 THEN PRINT  "  ";
      IF y=9        THEN PRINT  
   NEXT y
   IF x=3 OR x=6 THEN PRINT 
NEXT x

! 問題データ
!     a b c   d e f   g h i 

DATA  0,0,0,  0,0,7,  0,8,0  ! 1
DATA  0,0,0,  0,0,0,  0,2,3  ! 2
DATA  1,6,4,  0,0,0,  0,0,0  ! 3

DATA  2,0,7,  1,8,6,  0,0,0  ! 4
DATA  0,8,1,  9,5,0,  0,7,0  ! 5
DATA  9,4,5,  0,0,3,  0,0,6  ! 6

DATA  4,1,2,  0,6,0,  7,0,8  ! 7
DATA  0,0,6,  4,0,9,  2,3,1  ! 8
DATA  3,7,9,  2,0,8,  4,0,5  ! 9

END

□ □ □    □ □  7    □  8 □ 
□ □ □    □ □ □    □  2  3 
 1  6  4    □ □ □    □ □ □ 

 2 □  7     1  8  6    □ □ □ 
□  8  1     9  5 □    □  7 □ 
 9  4  5    □ □  3    □ □  6 

 4  1  2    □  6 □     7 □  8 
□ □  6     4 □  9     2  3  1 
 3  7  9     2 □  8     4 □  5 

    5     9   5 32        3       65 3   9    4321 [   7   ]  9  65   1 [   8   ] 9    4    
 87 5     9   5      8          8 65     9    4  1     54  1  9  65   1 [   2   ] [   3   ] 
[   1   ] [   6   ] [   4   ]   8  5 3   9     32      5  2   9   5     9   5     9 7       

[   2   ]       3   [   7   ]  [   1   ] [   8   ] [   6   ]  9   5 3   9   54    9    4    
   6      [   8   ] [   1   ]  [   9   ] [   5   ]      4 2         3   [   7   ]      4 2  
[   9   ] [   4   ] [   5   ]    7         7    2  [   3   ]   8      1         1 [   6   ] 

[   4   ] [   1   ] [   2   ]      5 3   [   6   ]     5      [   7   ] 9         [   8   ] 
 8  5         5     [   6   ]  [   4   ]   7       [   9   ]  [   2   ] [   3   ] [   1   ] 
[   3   ] [   7   ] [   9   ]  [   2   ]         1 [   8   ]  [   4   ]    6      [   5   ]

2015年4月19日

2015年 正月

嵯峨近辺 未分類

明けまして おめでとうございます。

今年も 多面体などに関連したことを 思いつくまま
ブログに載せてゆこうと思っています。
どうぞ よろしくお願いします。

昨年は サイバー攻撃などの不本意なアクセスを避けるため
双方向の通信機能を犠牲にしていましたが
それでも 私の製作方法の説明記述は 初心者向きではない
という 数人の方の意見をお伺いすることができました。

今年は “初心” という言葉を意識した表現をめざします。

例年になく 雪が積もっています。
昨夜は 天候が悪く 除夜の鐘をつきにゆく気になれませんでした。
そこのお寺でいただける おぜんざいが 目当ての半分だったのですが。
そのかわり今日 近くの神社でお神酒をいただいてきました。
いつもだと 二日目では 樽の底に少し残っている程度ですが
今回は ぐい飲みほどの酒を 飲んでしまいました。

2015年1月2日

フリーマーケットに参加してきました

嵯峨近辺 未分類

今日 京都嵯峨芸術大学のフリーマーケットにいって 多面体を売ってきました。
女ものの商品が多く 訪れる方たちも女性が多くおられました。
多面体に興味を示される方が少ないようで
“何に使うもんなんやろう” と言って通り過ぎる人もおられました。
でも それからしばらくして “これが 噂の多面体や わあすごい” とか
“思ってたより ずっとええやん”
とかという言葉を発する方たちが来られるようになり
自慢げに説明する自分がいました。
一般の人ではなく 応募の時に添付した多面体の写真を
すでに見ていた 運営委員の中の人たちでした。
3Dプリンターて作った 作品を持ってきて説明してくださり
名刺までいただいた教授もおられました。
この後は 一般の方も含めて 身に余る
お褒めのお言葉をいただく波が 数回おとずれました。
小は 500円 大は 1000円～　と表示をしていましたが
そのつど ゼロ円を含めて 気前のいい値段付けをしました。
そして ほとんどの品を持って帰ってもらいました。

気づけば 下の写真 一枚しか撮っていませんでした。まだ準備中です。

2014年10月11日

フリーマーケットに参加予定

未分類

以前 作品が溜まってしまったと お伝えしました。(2014年7月21日)
製作の説明のために 10mm ×10mm の角材でつくったものですが
かさばっています。
家が大きいとはとてもいえず 生活空間に問題が発生しそうな状態です。
たまたま フリーマーケットへの出店案内のチラシが 届いていました。
バラして 再利用するより 人のなにかの用に供することができればと思いました。
そこで 一度は経験するのもいいかと 応募してみました。
下の画像は 作品に名前のラベルを付けているところです。
ラベルの下のスペースに 単価を記入しておくべきですが まだ空白のままです。
“二束三文” という言葉が頭にうかんできます。
多面体に 関心があったり 興味を示してくださる方がおられれば
ただでお譲りしてもいいのですか　と主催者側に問い合わせると OK でした。
でも その判断をする基準は?
“美術的創作物” として目指しているのではなく
“由緒ある多面体” の模型として 目に見える 正確な形を求めて作ったものです。
私の経験では 身内や知人にはそのように感じてくれる人は まれでした。



追伸
10月11日 京都嵯峨芸術大学での フリマです。　

2014年10月8日

2014年 １月元旦

嵯峨近辺 未分類

明けましておめでとうございます。今年も どうぞよろしくお願いします。

昨年は 私にとって 不本意な事が色々起こった年でした。
その中の一つとして 大量のスパムが届いたことが挙げられます。

私のブログに対して 本当に関心のある方がどれだけおられるのかと
ブログの更新に意欲が薄れてしまうことがありました。

しかし 新年を迎え 心も新たに 多面体や 計算幾何学について
お伝えしたい気持ちになっています。

今さっき 除夜の鐘を 近くのお寺でついてきました。
百八つの 86番目でした。

知恩院さんの鐘つきのような 派手なことは出来ませんでしたが
可成り強く撞くことができました。気分が一新しました。



 

2014年1月1日

sashimono [3,4,4,4] の compounds 複合多面体 4

08[3,4,4,4] Compounds 多面体 未分類

もう少しの頑張りです。



[3,4,4,4]複合多面体 compounds が やっとできました。

左の多面体が [3,4,4,4]準正多面体で その横が [3,4,4,4]双対多面体です。

私はここで 準正多面体という用語を用いていますが、日本語の Wikipediaでは、

半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) であり、
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである。

とし、論証として 以下を 挙げています。

自分で自分の首を絞めた話
～　準正多面体と半正多面体　～
京都大学名誉教授
工学博士　宮崎　興二
http://www.zome.jp/column/clm7/clm7.html

これだけの論証で 誤りと言い切れるのかと 驚いています。
この用語説明があるからといって 半正多面体という用語を使う気持ちはありません。
準正多面体という 翻訳用語もあまり好きではないのですが。

ギリシャ文化に起源をもつ多面体についての 日本語の書籍はきわめて少ないと思います。
和魂洋才 のもとに進められた 近代化への文化吸収では 洋魂扱いだったのでしょうか
イスラムやヨーロッパやアメリカの 思い入れとは大きく違うようです。

次回は 05 [ 3,4,3,4 ] Cuboctahedron 立方八面体 の複合多面体について
お伝えしようかと　思っています。

2013年2月4日