Excel

[3,3,3,3,5] の計算式

13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量

前々回と前回の続きです。

また [3,3,3,3,5] の 外接球半径についてです。

計算式が判明していないのが残念です。と書いていました。

しかし
日本語版の Wikipedia の変形十二面体に 計算式が載っていました。
(2015年3月16日 (月) 07:24時点における版 より)

他の言語での Wikipedia では 載っていないようです。

灯台もと暗しです。

自力解決のため
他の人の成果をあまり 参考にしなかったと 言い訳けを言っておきます。

エクセルで 計算できる表現で記述すると 以下です。

=1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+
(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+
(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))

実行すると 2.15583737511564　の値になりました。

Mathematica や 多倍長電卓LM でその計算式を実行すると
以下の値になりました。　　1000桁指定で。
 2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
   18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
   42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
   61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
   71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
   89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
   40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
   70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
   24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
   26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
   61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
   10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
   30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
   57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
   32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
   21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
   37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
   32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
   22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
   29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041
Mathematica　での計算内容を確認できます。⇒ Wolfram Alpha

2016年9月3日

[3,3,3,3,4] と [ 3,3,3,3,5] の外接球半径 1000桁

07[3,3,3,3,4] 13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量

前回の続きです。

Raspberry Pi で Mathematica　を走らせて
多面体の 外接球半径 ( 頂芯寸 ) のシンプルな計算式を求めたとして
Excel で使用できる 表を載せました。

計算式という 式にこだわっているのは
その式の表現する値は 近似値ではないからです。

Excel で [3,3,3,3,4] の 頂芯寸の 計算式は
=SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) で
表示は 15桁の表示指定で 1.343713373744600 となっています。

この数式を 多倍長電卓LM で１０００桁指定で 実行すると以下です。

[3,3,3,3,4] 外接球半径

 1.34371 33737 44601 70127 15287 53975 05824 76376 02609 35358
   64988 77762 09658 55706 90893 48794 56973 31688 73082 16628
   10517 86312 34231 18912 48934 22698 98513 13152 52388 83099
   99695 51465 34656 54666 91199 73057 12404 87181 58689 83101
   52706 73588 95439 45759 66808 98001 82458 74562 03715 47798
   73758 91138 64065 13093 44833 73642 76320 04740 38209 97931
   21283 63087 45536 25488 82847 16710 31601 12312 74946 88760
   75947 23068 26438 72263 54595 16709 53642 47794 39632 74759
   99864 48261 56826 97693 61084 82504 65047 47725 73973 75581
   77519 56125 26881 51031 78761 94824 75418 84415 24688 37953
   07401 46214 60745 49416 60020 61203 67766 70368 45208 15639
   13255 40719 84840 73695 37115 68354 45051 94655 39154 15438
   52061 97480 37458 38311 41863 43914 37952 62153 58312 90302
   21901 83004 41970 32795 85375 45937 91929 07117 32102 04879
   62563 41502 88258 97563 31599 80542 81380 61709 57750 80055
   92392 17968 33724 70868 62099 96630 67075 59371 76770 36409
   06359 45200 09505 63444 91600 53436 55518 90992 23660 99813
   72421 11438 19374 00218 74596 54930 76261 02604 25038 80259
   06749 56526 92077 83952 39016 51486 43263 70810 40971 32169
   84435 10226 61936 74850 55855 77017 66200 17485 66370 5204
以前掲載した 諸量の計算プログラム では 1.34371337374461 でした。

このプログラムと同じ ロジックで 多倍長電卓に 計算させた値と
上の 1000桁の値とは イコールでした。

同じように [3,3,3,3,5] を計算させると 以下になりました。
1000桁の精度は 維持できていると思います。
計算式が判明していないのが残念です。
[3,3,3,3,5] 外接球半径

 2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
   18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
   42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
   61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
   71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
   89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
   40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
   70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
   24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
   26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
   61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
   10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
   30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
   57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
   32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
   21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
   37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
   32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
   22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
   29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041

2016年9月1日

Raspberry Pi で Mathematica

Excel 多面体 未分類 諸量

今 多面体製作そっちのけで ラズパイの マセマティカに 傾注しています。

ラズパイは シングルボードコンピュータ で
下画像右下の 85.60 mm × 56.5 mm の基盤上にあり
透明ケースに入っているのがそれです。

通販で ￥5000 ぐらいで簡単に入手でき
Mathematica　を無料でタウンロードできます。

マセマティカなんて 使用料が高く
とても 自分のパソコンでは走らせることはないと思っていました。

最近 ラズパイのことを知り 早速購入して Mathematica で遊んでいます。

PIC_2386

以前 Excel で 外接球半径 というエピソードを載せたことがあります。

一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が
簡単にできる多面体は多くあるとしてExcel での計算を 載せていました。

[3,3,3,3,4]　[3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10]　は 保留し
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではないとしていました。

今回 Mathematica を用いて 方程式計算をさせたり
式を簡素化させる機能を使ったりで
Excel で使える計算式を 短くしました。

[3,3,3,3,4] は Solve という機能で未知数の探索をさせて解を得ました。
[3,3,3,3,5] は 私の能力では Mathematica をしても 未解です。

他は 長ったらしい計算式を Simplify という機能で縮めました。
それでも 長いものもあります。
もっと短くなるものもあるはずですが 今はこれまでです。

以下の 資料で プラトン多面体 アルキメデス多面体の
ほとんどの諸量が得られるはずです。

必要諸量を 全て計算式で表示していますので
精度の高い計算ができます。 ( 稜寸は 1 として )

画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件 Excel に転記できます。　転記位置は自由です。



        s  m  l  S  M  L  頂芯寸       


 01 [3,3,3] 3   4   =SQRT(3/2)/2      3A =COS(PI()/3)  


 02 [3,3,3,3] 3   8   =1/SQRT(2)      4A =COS(PI()/4)  


 03 [4,4,4] 4   6   =SQRT(3)/2      5A =COS(PI()/5)  


 04 [3,3,3,3,3] 3   20   =1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5)))      6A =COS(PI()/6)  


 05 [3,4,3,4] 3 4  8 6  1      8A =COS(PI()/8)  


 06 [3,6,6] 3 6  4 4  =SQRT(11/2)/2     10A =COS(PI()/10)  


 07 [3,3,3,3,4] 3 4  32 6  =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3)))))      3B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/3)  


 08 [3,4,4,4] 3 4  8 18  =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2)      4B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/4)  


 09 [5,5,5] 5   12   =1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5)))      5B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/5)  


 10 [4,6,6] 4 6  6 8  =SQRT(5/2)      6B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/6)  


 11 [3,5,3,5] 3 5  20 12  =SQRT(1/2*(3+SQRT(5)))      8B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/8)  


 12 [3,8,8] 3 8  8 6  =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2))     10B =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/10)  


 13 [3,3,3,3,5] 3 5  80 12        3C =(1/2)^2*3/TAN(PI()/3)  


 14 [3,4,5,4] 3 4 5 20 30 12 =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5)))      4C =(1/2)^2*4/TAN(PI()/4)  


 15 [4,6,8] 4 6 8 12 8 6 =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2))      5C =(1/2)^2*5/TAN(PI()/5)  


 16 [5,6,6] 5 6  12 20  =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5)))      6C =(1/2)^2*6/TAN(PI()/6)  


 17 [3,10,10] 3 10  20 12  =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5)))      8C =(1/2)^2*8/TAN(PI()/8)  


 18 [4,6,10] 4 6 10 30 20 12 =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5))     10C =(1/2)^2*10/TAN(PI()/10)  


               


 s m l　　 角数            nA   n角形のかど開き寸/2  


 S M L    面数            nB   n角形のかど心寸  


              nC   n角形の面積

2016年8月31日

稜部品接合角計算

Excel 多面体 諸量

多面体模型の製作方法を伝えるということが
このブログを立ち上げた 理由の大きな一つです。
模型のタイプは スケルトンな表示が特徴の レオナルドスタイルの一種です。

最初は 角棒を使った模型を主にお伝えしていました。
加工作業に かなりの労力 ( 加工に使う材料にもよりますが ) を必要としました。
テーマが決まると 実際にその都度製作の作業をし
工法の工夫や試作を 繰り返していました。
また 黙々と作業の継続が必要なことが多く 遅々として進まないことがありました。

でも 最近は 角棒でなく 板棒を用いることによって
作業負荷がかなり軽減されました。
だだ 正多面体の説明に 私自身のこだわりも色々あって 筆が進まず
伝えのこしも ありますが 正多面体 については シリーズの終わりとします。

正多面体の双対多面体も 正多面体で かなりシンプルで
製作や 資料作成の努力をする割に 達成感の程度が ゆるいものでした。
ちょっと気分転換をする必要があります。

これからは 2 × 10 の板棒で作る
アルキメデス多面体 を取り上げようと思っています。
手始めに [ 3,5,3,5 ] Icosidodecahedron 20･12面体 を考えています。
私の最も気に入っている多面体で 過去にもこだわってお伝えしたことがありますが
またやります。その 双対多面体もです。

アルキメデス多面体や その双対は それぞれ特徴があり
多面体模型を 完成品として手に持ったときの 感動を 私は毎回味わっています。

以下に 稜部品の接合部分の角度計算のための Excel 用の計算式を載せておきます。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
稜寸 = 1 として計算しています。



 角数 片かど底角 片かど底角R  片かど底寸           


 03 =(180-(360/A2))/2 =(PI()-(PI()*2/A2))/2  =SIN(C2) 03          


 04 =(180-(360/A3))/2 =(PI()-(PI()*2/A3))/2  =SIN(C3) 04          


 05 =(180-(360/A4))/2 =(PI()-(PI()*2/A4))/2  =SIN(C4) 05          


 06 =(180-(360/A5))/2 =(PI()-(PI()*2/A5))/2  =SIN(C5) 06          


 08 =(180-(360/A6))/2 =(PI()-(PI()*2/A6))/2  =SIN(C6) 08          


 10 =(180-(360/A7))/2 =(PI()-(PI()*2/A7))/2  =SIN(C7) 10          


                


   頂芯寸 仰角(R) 底面稜寸 片接合角S(R) 片接合角M(R) 片接合角L(R)    片接合角S(D) 片接合角M(D) 片接合角L(D)  


 01 [3,3,3] 0.612372435695794 =ASIN(0.5/C10) =COS(D10) =ASIN(E2/E10)      =DEGREES(F10)    


 02 [3,3,3,3] 0.707106781186547 =ASIN(0.5/C11) =COS(D11) =ASIN(E2/E11)      =DEGREES(F11)    


 03 [4,4,4] 0.866025403784438 =ASIN(0.5/C12) =COS(D12) =ASIN(E3/E12)      =DEGREES(F12)    


 04 [3,3,3,3,3] 0.951056516295153 =ASIN(0.5/C13) =COS(D13) =ASIN(E2/E13)      =DEGREES(F13)    


 05 [3,4,3,4] 1 =ASIN(0.5/C14) =COS(D14) =ASIN(E2/E14) =ASIN(E3/E14)     =DEGREES(F14) =DEGREES(G14)   


 06 [3,6,6] 1.17260393995585 =ASIN(0.5/C15) =COS(D15) =ASIN(E2/E15) =ASIN(E5/E15)     =DEGREES(F15) =DEGREES(G15)   


 07 [3,3,3,3,4] 1.3437133737446 =ASIN(0.5/C16) =COS(D16) =ASIN(E2/E16) =ASIN(E3/E16)     =DEGREES(F16) =DEGREES(G16)   


 08 [3,4,4,4] 1.3989663259659 =ASIN(0.5/C17) =COS(D17) =ASIN(E2/E17) =ASIN(E3/E17)     =DEGREES(F17) =DEGREES(G17)   


 09 [5,5,5] 1.40125853844407 =ASIN(0.5/C18) =COS(D18) =ASIN(E4/E18)      =DEGREES(F18)    


 10 [4,6,6] 1.58113883008418 =ASIN(0.5/C19) =COS(D19) =ASIN(E3/E19) =ASIN(E5/E19)     =DEGREES(F19) =DEGREES(G19)   


 11 [3,5,3,5] 1.61803398874989 =ASIN(0.5/C20) =COS(D20) =ASIN(E2/E20) =ASIN(E4/E20)     =DEGREES(F20) =DEGREES(G20)   


 12 [3,8,8] 1.77882364566392 =ASIN(0.5/C21) =COS(D21) =ASIN(E2/E21) =ASIN(E6/E21)     =DEGREES(F21) =DEGREES(G21)   


 13 [3,3,3,3,5] 2.15583737511563 =ASIN(0.5/C22) =COS(D22) =ASIN(E2/E22) =ASIN(E4/E22)     =DEGREES(F22) =DEGREES(G22)   


 14 [3,4,5,4] 2.23295050941569 =ASIN(0.5/C23) =COS(D23) =ASIN(E2/E23) =ASIN(E3/E23) =ASIN(E4/E23)    =DEGREES(F23) =DEGREES(G23) =DEGREES(H23)  


 15 [4,6,8] 2.31761091289276 =ASIN(0.5/C24) =COS(D24) =ASIN(E3/E24) =ASIN(E5/E24) =ASIN(E6/E24)    =DEGREES(F24) =DEGREES(G24) =DEGREES(H24)  


 16 [5,6,6] 2.47801865906761 =ASIN(0.5/C25) =COS(D25) =ASIN(E4/E25) =ASIN(E5/E25)     =DEGREES(F25) =DEGREES(G25)   


 17 [3,10,10] 2.96944901586339 =ASIN(0.5/C26) =COS(D26) =ASIN(E2/E26) =ASIN(E7/E26)     =DEGREES(F26) =DEGREES(G26)   


 18 [4,6,10] 3.80239449985129 =ASIN(0.5/C27) =COS(D27) =ASIN(E3/E27) =ASIN(E5/E27) =ASIN(E7/E27)    =DEGREES(F27) =DEGREES(G27) =DEGREES(H27)  


    
 　　　

2016年8月13日

数値の整数比変換 と 双対多面体諸量

Excel 諸量

数値の整数比変換 と 双対多面体諸量 を求める Excel 画面を載せておきます。
どちらも すでにお伝えしている 計算式の 機能を追加したものです。
以後の 多面体製作の説明に 必要と思えたからです。

■角度や数値を整数比に換算する Excel 画面■
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。




 298
'=最大値+1


=SMALL(D2:D81,1)
桁数
4





 =A1-1
=A2*($G$2)
=ROUND( B2,0)
=ROUND(ABS(B2-C2),$G$1)
=IF(D2=$E$1,B2," ")
数値
=H5





 =A2-1
=A3*($G$2)
=ROUND( B3,0)
=ROUND(ABS(B3-C3),$G$1)
=IF(D3=$E$1,B3," ")







 =A3-1
=A4*($G$2)
=ROUND( B4,0)
=ROUND(ABS(B4-C4),$G$1)
=IF(D4=$E$1,B4," ")
寸法a
0.5
           a/b




 =A4-1
=A5*($G$2)
=ROUND( B5,0)
=ROUND(ABS(B5-C5),$G$1)
=IF(D5=$E$1,B5," ")
寸法b
=0.707106781186547
=G4/G5




 =A5-1
=A6*($G$2)
=ROUND( B6,0)
=ROUND(ABS(B6-C6),$G$1)
=IF(D6=$E$1,B6," ")


   対辺/底辺




 =A6-1
=A7*($G$2)
=ROUND( B7,0)
=ROUND(ABS(B7-C7),$G$1)
=IF(D7=$E$1,B7," ")
角度
54.7356103172453
=TAN(RADIANS(G7))




  




B 列 から E 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 2 行目から E 列 7 行目までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。
a/b もしくは 対辺/底辺 の値を 数値の欄に入れ
=最大値+1　や 桁数 の値を色々変えて確認してください。

■双対多面体の諸量を求める Excel 画面■
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
２４行目以降はデータです。各行のデータを２行目にcopy and paste してください。



  
名称
S角数
M角数
L角数
S面数
M面数
L面数
頂芯寸

双稜寸形




11
[3,5,3,5]
3
5
0
20
12
0
1.61803398874989

SM 60



















角数
個数
多角形のかど心寸
面芯寸
多角形の辺心寸
面積
体積








=C2
=F2
=0.5/SIN(PI()/A5)
=SQRT($I$2^2-C5^2)
=0.5/TAN(PI()/A5)
=E5/2*A5*B5
=F5*D5/3
総面積
=SUM(F5:F7)






=D2
=G2
=IF(B6>0,0.5/SIN(PI()/A6),0)
=IF(B6>0,SQRT($I$2^2-C6^2),0)
=IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/A6),0)
=IF(B6>0,E6/2*A6*B6,0)
=IF(B6>0,F6*D6/3,0)








=E2
=H2
=IF(B7>0,0.5/SIN(PI()/A7),0)
=IF(B7>0,SQRT($I$2^2-C7^2),0)
=IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/A7),0)
=IF(B7>0,E7/2*A7*B7,0)
=IF(B7>0,F7*D7/3,0)
総体積
=SUM(G5:G7)

SS 寸法














=G15*2






かど角/2 (R)
かど心寸
辺心寸
稜芯寸
心・かど・芯角
双頂芯寸
双面芯寸

SM 寸法




=C2
=F2
=PI()/2-PI()/A10
=0.5/COS(C10)
=0.5*TAN(C10)
=SQRT(I2^2-0.5^2)
=ACOS(D10/I2)
=F10^2/D5
=H10*SIN(G10)

=G15+G16




=A6
=G2
=IF(B11>0,PI()/2-PI()/A11,0)
=IF(B11>0,0.5/COS(C11),0)
=IF(B11>0,0.5*TAN(C11),0)
=IF(B11>0,F10,"")
=IF(B11>0,ACOS(D11/I2),"")
=IF(B11>0,F11^2/D6,"")
=IF(B11>0,H11*SIN(G11),"")

SL 寸法




=A7
=H2
=IF(B12>0,PI()/2-PI()/A12,0)
=IF(B12>0,0.5/COS(C12),0)
=IF(B12>0,0.5*TAN(C12),0)
=IF(B12>0,F11,0)
=IF(B12>0,ACOS(D12/I2),0)
=IF(B12>0,F12^2/D7,0)
=IF(B12>0,H12*SIN(G12),0)

=G15+G17














MM 寸法






双菱形長寸
双菱形短寸/2
個別双面積
個別双体積
双稜寸
双稜開角/2
双対面積

=G16+G16




=A10
=F2
=H10*COS(G10)
=0.5*SIN(C10)
=C15*D15*A15*B15
=E15*I10/3
=SQRT(H10^2-F10^2)
=DEGREES(ASIN(D15/G15))
=SUM(E15:E17)

ML 寸法




=A6
=G2
=IF(B16>0,H11*COS(G11),0)
=IF(B16>0,0.5*SIN(C11),0)
=IF(B16>0,C16*D16*A16*B16,0)
=IF(B16>0,E16*I11/3,0)
=IF(B16>0,SQRT(H11^2-F11^2),0)
=IF(B16>0,DEGREES(ASIN(D16/G16)),0)
双対体積

=G16+G17




=A7
=H2
=IF(B17>0,H12*COS(G12),0)
=IF(B17>0,0.5*SIN(C12),0)
=IF(B17>0,C17*D17*A17*B17,0)
=IF(B17>0,E17*I12/3,0)
=IF(B17>0,SQRT(H12^2-F12^2),0)
=IF(B17>0,DEGREES(ASIN(D17/G17)),0)
=SUM(F15:F17)























面角
双対仰角

双接合角/2

双稜寸 / 稜芯寸


=K2&"  必要"




=A10
=F2
=DEGREES(ACOS(E10/F10))
=90-C20

=90-DEGREES(C10)

=G15/F10







=A6
=G2
=IF(B21>0,DEGREES(ACOS(E11/F11)),0)
=IF(B21>0,90-C21,0)

=IF(B21>0,90-DEGREES(C11),0)

=IF(B16>0,G16/F11,0)







=A7
=H2
=IF(B22>0,DEGREES(ACOS(E12/F12)),0)
=IF(B22>0,90-C22,0)

=IF(B22>0,90-DEGREES(C12),0)

=IF(B17>0,G17/F12,0)























名称
S角数
M角数
L角数
S面数
M面数
L面数
頂芯寸

双稜寸形




1
[3,3,3]
3
0
0
4
0
0
0.612372435695794

SS  6




2
[3,3,3,3]
3
0
0
8
0
0
0.707106781186547

SS 12




3
[4,4,4]
4
0
0
6
0
0
0.866025403784438

SS 12




4
[3,3,3,3,3]
3
0
0
20
0
0
0.951056516295153

SS 30




5
[3,4,3,4]
3
4
0
8
6
0
1

SM 24




6
[3,6,6]
3
6
0
4
4
0
1.17260393995585

SM 12 MM  6




7
[3,3,3,3,4]
3
4
0
32
6
0
1.3437133737446

SS 36 SM 24




8
[3,4,4,4]
3
4
0
8
18
0
1.3989663259659

SM 24 MM 24




9
[5,5,5]
5
0
0
12
0
0
1.40125853844407

SS 30




10
[4,6,6]
4
6
0
6
8
0
1.58113883008418

SM 24 MM 12




11
[3,5,3,5]
3
5
0
20
12
0
1.61803398874989

SM 60




12
[3,8,8]
3
8
0
8
6
0
1.77882364566392

SM 24 MM 12




13
[3,3,3,3,5]
3
5
0
80
12
0
2.15583737511563

SS 90 SM 60




14
[3,4,5,4]
3
4
5
20
30
12
2.23295050941569

SM 60 ML 60




15
[4,6,8]
4
6
8
12
8
6
2.31761091289276

SM 24 SL 24 ML 24




16
[5,6,6]
5
6
0
12
20
0
2.47801865906761

SM 60 MM 30




17
[3,10,10]
3
10
0
20
12
0
2.96944901586339

SM 60 MM 30




18
[4,6,10]
4
6
10
30
20
12
3.80239449985129

SM 60 SL 60 ML 60

2016年8月3日

A４用紙からの 角度の求め方 2

Excel 多面体 製作道具 諸量

前回 A４用紙を主要なツールとして 角度を求める方法をお伝えしました。

A４用紙の寸法比は 規格で定められており
一つのパッケージに含まれる A４用紙一枚が規格に合致していると判断できれば
その用紙を含むパッケージの全ての用紙が規格に合致しているとしました。

以下が A４と関連する用紙の諸量です。
A０用紙    　841 × 1189     841 ×  1189.3536060     +0.000297309
A１用紙    　594 ×  841     594 ×  840.04285605     -0.001139399
A２用紙　    420 ×  594     420 ×  593.96969620     -0.000051019
A３用紙    　297 ×  420     297 ×  420.02142802     +0.000051017
A４用紙    　210 ×  297     210 ×  296.96484810     -0.000051019
A５用紙    　148 ×  210     148 ×  209.30360723     -0.003327190
A４用紙/2　148.5 ×  210   148.5 ×  210.01071401     +0.000051017

A０用紙に対する上記の数値計算の方法は以下です。他の用紙も同様。

841 × √2              = 1189.3536060
1 - 1189 / 1189.3536060 =  0.000297309
A４用紙は手軽で安価に入手でき 直角と１対ルート２ の寸法比を
精度の高い値で表示ができるということです。
それと A４用紙を 半分に分割した用紙のほうが
A５用紙より精度が高いようです。

また 角度を整数比の値に換算したデータがあれば これらの用紙を用いて
様々な角度が精度高く得ることができます。
ただその用紙を直接カットし 定規として使用するには
寸法が大きすぎることがあったり もろくて弱いという欠点があります。

そこで 私は 写真用紙の L版や スケッチ用画用紙 メモカードなどで
A４用紙から 転記して使っています。

角度を整数比に換算した値は
このブログの “諸量” のカテゴリーの中からも得られますが
以下に Excel の 計算画面用データを載せておきます。
以前も 同じようなプログラムを載せていますが
それを少し変えて作っています。

“最大値+1” と “桁数” と”角度” に入力可能です。

■角度を A4 用紙に表示するための整数比換算の Excel 画面■

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste




 251
'=最大値+1
 
 
=SMALL(D2:D81,1)
桁数
5




=A1-1
=TAN(RADIANS($G$2))*A2
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A2,0)
=ROUND(ABS(B2-C2),$G$1)
=IF(D2=$E$1,B2,"   ")
角度
35.2643896827546




=A2-1
=TAN(RADIANS($G$2))*A3
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A3,0)
=ROUND(ABS(B3-C3),$G$1)
=IF(D3=$E$1,B3,"   ")
 
 




 


B 列 から E 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 2 行目から E 列 3 行目までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

2016年7月20日

Excel で双対多面体諸量計算

11[3,5,3,5] Excel 多面体 諸量

多面体の製作方法を [3,5,3,5] を例にして シリーズでお伝えしています。

つぎは [3,5,3,5] の双対多面体の 三角棒での作り方を 考えているのですが
面と面でつくるための 接合角の数値算出の資料がありませんでした。

そこで 双対多面体の 面積と 体積 も含めた 
Excel での計算式が出来ましたので 載せておきます。
この計算式は 菱形の面をつくる 接合角の値を出したくて作りました。
下が その出力の一部です。

元の多面体の稜寸を 1 としたときの
0.293892626146237 + 0.769420884293813 = 1.06331351044005
が 正三角形と正五角形をまたぐ稜の寸法で これ一種類です。

三角形の上にくる双対の稜は 58.2825255885389 度ずつで左右結合され
五角形の上にくる双対の稜は 31.717474411461  度ずつで左右結合される 
菱形の面をもつ 多面体になります。

そのときの 面積は 30.3381372890605 になり
           体積は 14.8002124296868 になります。


 角数  個数  双稜寸  稜開き角/2  双対面積  


 3  20  0.293892626146237  58.2825255885389  30.3381372890605  


 5  12  0.769420884293813  31.717474411461  双対体積  


 0  0  0  0  14.8002124296868
sakai_01694
上は 四角棒で作った 以前にもお伝えしている作品です。右が双対多面体です。

三角棒では まだできていません。

詳しくは 次回にお伝えしようと思っています。


Excel の計算式です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste
隠れた部分もありますが 全範囲を指定すれば コピーできます。



  名称S角数M角数L角数S面数M面数L面数頂芯寸  


11[3,5,3,5]350201201.61803398874989  


  


角数個数多角形のかど心寸面芯寸多角形の辺心寸面積体積  


=C2=F2=0.5/SIN(PI()/A5)=SQRT($I$2^2-C5^2)=0.5/TAN(PI()/A5)=E5/2*A5*B5=F5*D5/3総面積=SUM(F5:F7)  


=D2=G2=IF(B6>0,0.5/SIN(PI()/A6),0)=IF(B6>0,SQRT($I$2^2-C6^2),0)=IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/A6),0)=IF(B6>0,E6/2*A6*B6,0)=IF(B6>0,F6*D6/3,0)  


=E2=H2=IF(B7>0,0.5/SIN(PI()/A7),0)=IF(B7>0,SQRT($I$2^2-C7^2),0)=IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/A7),0)=IF(B7>0,E7/2*A7*B7,0)=IF(B7>0,F7*D7/3,0)総体積=SUM(G5:G7)  


  


かど角/2かど心寸辺心寸稜芯寸心・かど・芯角双頂芯寸双面芯寸  


=A5=B5=PI()/2-PI()/A10=0.5/COS(C10)=0.5*TAN(C10)=SQRT(I2^2-0.5^2)=ACOS(D10/I2)=F10^2/D5=H10*SIN(G10)  


=A6=B6=IF(B11>0,PI()/2-PI()/A11,0)=IF(B11>0,0.5/COS(C11),0)=IF(B11>0,0.5*TAN(C11),0)=IF(B11>0,F10,"")=IF(B11>0,ACOS(D11/I2),"")=IF(B11>0,F11^2/D6,"")=IF(B11>0,H11*SIN(G11),"")  


=A7=H2=IF(B12>0,PI()/2-PI()/A12,0)=IF(B12>0,0.5/COS(C12),0)=IF(B12>0,0.5*TAN(C12),0)=IF(B12>0,F11,0)=IF(B12>0,ACOS(D12/I2),0)=IF(B12>0,F12^2/D7,0)=IF(B12>0,H12*SIN(G12),0)  


  


双菱形長寸双菱形短寸/2個別双面積個別双体積双稜寸稜開き角/2双対面積  


=A10=B10=H10*COS(G10)=0.5*SIN(C10)=C15*D15*A15*B15=E15*I10/3=SQRT(H10^2-F10^2)=DEGREES(ASIN(D15/G15))=SUM(E15:E17)  


=A11=B11=IF(B16>0,H11*COS(G11),0)=IF(B16>0,0.5*SIN(C11),0)=IF(B16>0,C16*D16*A16*B16,0)=IF(B16>0,E16*I11/3,0)=IF(B16>0,SQRT(H11^2-F11^2),0)=IF(B16>0,DEGREES(ASIN(D16/G16)),0)双対体積  


=A12=B12=IF(B17>0,H12*COS(G12),0)=IF(B17>0,0.5*SIN(C12),0)=IF(B17>0,C17*D17*A17*B17,0)=IF(B17>0,E17*I12/3,0)=IF(B17>0,SQRT(H12^2-F12^2),0)=IF(B17>0,DEGREES(ASIN(D17/G17)),0)=SUM(F15:F17)  


  


色付けした全範囲を指定し 19 行目 A 列に copy and paste
これは データ資料であり 
必要な数値を求めるときに 2 行目 A 列に 各行を copy and paste してください。



　　  名称  S角数  M角数  L角数  S面数  M面数  L面数  頂芯寸  


01  [3,3,3]  3  0  0  4  0  0  0.612372435695794  


02  [3,3,3,3]  3  0  0  8  0  0  0.707106781186547  


03  [4,4,4]  4  0  0  6  0  0  0.866025403784438  


04  [3,3,3,3,3]  3  0  0  20  0  0  0.951056516295153  


05  [3,4,3,4]  3  4  0  8  6  0  1  


06  [3,6,6]  3  6  0  4  4  0  1.17260393995585  


07  [3,3,3,3,4]  3  4  0  32  6  0  1.3437133737446  


08  [3,4,4,4]  3  4  0  8  18  0  1.3989663259659  


09  [5,5,5]  5  0  0  12  0  0  1.40125853844407  


10  [4,6,6]  4  6  0  6  8  0  1.58113883008418  


11  [3,5,3,5]  3  5  0  20  12  0  1.61803398874989  


12  [3,8,8]  3  8  0  8  6  0  1.77882364566392  


13  [3,3,3,3,5]  3  5  0  80  12  0  2.15583737511563  


14  [3,4,5,4]  3  4  5  20  30  12  2.23295050941569  


15  [4,6,8]  4  6  8  12  8  6  2.31761091289276  


16  [5,6,6]  5  6  0  12  20  0  2.47801865906761  


17  [3,10,10]  3  10  0  20  12  0  2.96944901586339  


18  [4,6,10]  4  6  10  30  20  12  3.80239449985129

2015年7月19日

Excel で 外接球半径

Excel 多面体 諸量

前回
一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が簡単にできる多面体は多くあります。
と言いました。
以下に Excel での計算を 載せておきます。
[3,3,3,3,4]　[3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10]　は 保留します。
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではありませんでした。
それらは パズル気分で 処理する Excel や
一般解を求める BASIC で処理したほうが得策のようです。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste




 角数側角度(R)かど開き寸/2かど開き寸


  3=PI()/B2=COS(C2)=D2*2


  4=PI()/B3=COS(C3)=D3*2


  5=PI()/B4=COS(C4)=D4*2


  6=PI()/B5=COS(C5)=D5*2


  8=PI()/B6=COS(C6)=D6*2


  10=PI()/B7=COS(C7)=D7*2


  


  かど・中心寸頂・底心寸外接球半径


 1[3,3,3]=(SQRT(3)/2)/3*2=SQRT(1-C10^2)=0.5/D10


 2[3,3,3,3]=1/SQRT(2)=SQRT(1-C11^2)=0.5/D11


 3[4,4,4]=SQRT(2)*(SQRT(3)/2)/3*2=SQRT(1-C12^2)=0.5/D12


 4[3,3,3,3,3]=0.5/SIN(PI()/5)=SQRT(1-C13^2)=0.5/D13


 5[3,4,3,4]=SQRT(1+E3^2)/2=SQRT(1-C14^2)=0.5/D14


 6[3,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D2^2)*D5=SQRT(1-C15^2)=0.5/D15


 7[3,3,3,3,4]


 8[3,4,4,4]=(0.5*E3)/COS(ACOS(((E3-1)/2)/E3)/2)=SQRT(1-C17^2)=0.5/D17


 9[5,5,5]=E4*SQRT(3)/2/3*2=SQRT(1-C18^2)=0.5/D18


 10[4,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D3^2)*D5=SQRT(1-C19^2)=0.5/D19


 11[3,5,3,5]=SQRT(1+E4^2)/2=SQRT(1-C20^2)=0.5/D20


 12[3,8,8]=E6/SQRT(E6^2-D2^2)*D6=SQRT(1-C21^2)=0.5/D21


 13[3,3,3,3,5]


 14[3,4,5,4]


 15[4,6,8]


 16[5,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D4^2)*D5=SQRT(1-C25^2)=0.5/D25


 17[3,10,10]=E7/SQRT(E7^2-D2^2)*D7=SQRT(1-C26^2)=0.5/D26


 18[4,6,10]
以下のような 表示になります。


  角数側角度(R)かど開き寸/2かど開き寸


 31.04719755119660.51


 40.7853981633974480.7071067811865481.4142135623731


 50.6283185307179590.8090169943749471.61803398874989


 60.5235987755982990.8660254037844391.73205080756888


 80.3926990816987240.9238795325112871.84775906502257


 100.3141592653589790.9510565162951541.90211303259031


 


 かど・中心寸頂・底心寸外接球半径


 1[3,3,3]0.5773502691896260.8164965809277260.612372435695794


 2[3,3,3,3]0.7071067811865470.7071067811865480.707106781186547


 3[4,4,4]0.8164965809277260.5773502691896260.866025403784439


 4[3,3,3,3,3]0.850650808352040.5257311121191340.951056516295153


 5[3,4,3,4]0.8660254037844390.51


 6[3,6,6]0.9045340337332910.4264014327112211.17260393995586


 7[3,3,3,3,4]


 8[3,4,4,4]0.9339488310944650.3574067443365931.39896632596591


 9[5,5,5]0.9341723589627160.356822089773091.40125853844407


 10[4,6,6]0.9486832980505140.3162277660168381.58113883008419


 11[3,5,3,5]0.9510565162951540.3090169943749481.61803398874989


 12[3,8,8]0.9596829822606670.281084637714821.77882364566393


 13[3,3,3,3,5]


 14[3,4,5,4]


 15[4,6,8]


 16[5,6,6]0.9794320854864140.2017741061675992.47801865906762


 17[3,10,10]0.9857219192813020.1683814058867152.96944901586339


 18[4,6,10]


2015年6月17日

Excel で諸量計算2

Excel 多面体 諸量

今回も 多面体諸量をExcel で求める方法をお伝えしています。
面積と 体積の 算出です。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste
　　




  名称S角数M角数L角数




1[3,3,3]322









角数個数多角形のかど心寸面芯寸多角形の辺心寸




=C2=F2=0.5/SIN(PI()/A5)=SQRT($I$2^2-C5^2)=0.5/TAN(PI()/A5)




=D2=G2=0.5/SIN(PI()/A6)=SQRT($I$2^2-C6^2)=0.5/TAN(PI()/A6)




=E2=H2=0.5/SIN(PI()/A7)=SQRT($I$2^2-C7^2)=0.5/TAN(PI()/A7)






色付けした全範囲を指定し 1 行目 F 列に copy and paste





S面数M面数L面数頂芯寸




4000.612372435695795









面積体積




=E5/2*A5*B5=F5*D5/3総面積=SUM(F5:F7)




=E6/2*A6*B6=F6*D6/3




=E7/2*A7*B7=F7*D7/3総体積=SUM(G5:G7)






色付けした全範囲を指定し 9 行目 A 列に copy and paste

これは データ資料であり 
必要な数値を求めるときに 2 行目 A 列に 各行を copy and paste してください。






　名称S角数M角数L角数S面数M面数L面数頂芯寸




1[3,3,3]3224000.612372435695795




2[3,3,3,3]3228000.707106781186548




3[4,4,4]4226000.866025403784438




4[3,3,3,3,3]32220000.951056516295154




5[3,4,3,4]3428601




6[3,6,6]3624401.17260393995586




7[3,3,3,3,4]34232601.34371337374461




8[3,4,4,4]34281801.39896632596591




9[5,5,5]52212001.40125853844408




10[4,6,6]4626801.58113883008419




11[3,5,3,5]352201201.6180339887499




12[3,8,8]3828601.77882364566392




13[3,3,3,3,5]352801202.15583737511565




14[3,4,5,4]3452030122.23295050941568




15[4,6,8]46812862.31761091289276




16[5,6,6]562122002.47801865906759




17[3,10,10]3102201202.96944901586341




18[4,6,10]46103020123.80239449985117




  [3,3,3,5]35210200.951056516295154




  [4,4,5]4525200.986715155325985






以下が有効桁数確認のためにまとめた 20 桁 リストです。 
Excel での有効桁数は 13 以上でした。






  名称面積 体積




01[3,3,3]1.73205080756887 72935 .117851130197757 92073




02[3,3,3,3]3.46410161513775 45871 .471404520791031 68293




03[4,4,4]6.00000000000000 00000 1.00000000000000 00000




04[3,3,3,3,3]8.66025403784438 64676 2.18169499062491 23735




05[3,4,3,4]9.46410161513775 45871 2.35702260395515 84147




06[3,6,6]12.1243556529821 41055 2.71057599454843 21769




07[3,3,3,3,4]19.8564064605510 18348 7.88947739997539 02065




08[3,4,4,4]21.4641016151377 54587 8.71404520791031 68293




09[5,5,5]20.6457288070676 03073 7.66311896062463 19687




10[4,6,6]26.7846096908265 27522 11.3137084989847 60390




11[3,5,3,5]29.3059828449119 89541 13.8355259362494 04140




12[3,8,8]32.4346643636148 95173 13.5996632910744 43561




13[3,3,3,3,5]55.2867449584451 48944 37.6166499627333 62976




14[3,4,5,4]59.3059828449119 89541 41.6153237824979 67065




15[4,6,8]61.7551724393036 68108 41.7989898732233 30683




16[5,6,6]72.6072530341339 21879 55.2877307581227 39236




17[3,10,10]100.990760153101 98854 85.0396645593708 81555




18[4,6,10]174.292030342323 92088 206.803398874989 48482




  [3,3,3,5]7.77108182010012 70793 1.57868932583326 32321




  [4,4,5]8.44095480117793 38455 1.72047740058896 69228




双対多面体の 面積と 体積の Excel での計算式は お伝えする予定はまだありません。

面の形状は 1 種類 面芯寸 も 1 種類 なので

一つの面の 面積 × 総面数 が 双対多面体の 表面積 で

双対多面体の 表面積 × 面芯寸 ÷ 3  が 双対多面体の 体積 と

計算は 簡単そうですが

一つの面の 面積 のシンプルな計算式 が考えつかずにいます。

2015年5月29日

多倍長電卓LM で諸量計算

Excel 多面体 諸量

前回 Excel で 多面体諸量を求めました。
その値が どのくらいの精度で 計算できているのかを 調べるため
多倍長電卓LM　というフリーウエアーを用いて計算した値と 比べてみました。
http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html
以下に 多倍長電卓LM で得られた値のリストを載せておきます。
Excel で計算した値 の 有効桁数は 13 ぐらいでしょうか。
多倍長電卓LM　は C言語的な ソフトなので 私には使いづらいですが
十進BASIC と同じくらい 大いに活用させてもらっています。





名称基本数稜芯寸頂芯寸




[3,3,3].577350269189625 76451.353553390593273 76220.612372435695794 52455




[3,3,3,3].707106781186547 52440.500000000000000 00000.707106781186547 52440




[4,4,4].816496580927726 03273.707106781186547 52440.866025403784438 64676




[3,3,3,3,3].850650808352039 93218.809016994374947 42410.951056516295153 57212




[3,4,3,4].866025403784438 64676.866025403784438 646761.00000000000000 00000




[3,6,6].904534033733290 867941.06066017177982 128661.17260393995585 73886




[3,3,3,3,4].928191377985571 609411.24722316799364 325181.34371337374460 17013




[3,4,4,4].933948831094464 759581.30656296487637 652801.39896632596590 67020




[5,5,5].934172358962715 696451.30901699437494 742421.40125853844407 35447




[4,6,6].948683298050513 799601.50000000000000 000001.58113883008418 96660




[3,5,3,5].951056516295153 572121.53884176858762 670141.61803398874989 48482




[3,8,8].959682982260667 289141.70710678118654 752451.77882364566392 44509




[3,3,3,3,5].972732850565595 865322.09705383525208 799252.15583737511563 97018




[3,4,5,4].974607762378170 452372.17625089948282 151122.23295050941569 00495




[4,6,8].976450976246513 241152.26303343845371 462372.31761091289276 65138




[5,6,6].979432085486414 186582.42705098312484 227242.47801865906761 55376




[3,10,10].985721919281301 914612.92705098312484 227242.96944901586339 84670




[4,6,10].991316689541059 391373.76937712792171 660283.80239449985129 35848




[3,3,3,5].850650808352039 93218.809016994374947 42410.951056516295153 57212




[4,4,5].862103722396975 53031.850650808352039 93218.986715155325983 10732

2015年5月28日

Excel で諸量計算

Excel 諸量

多面体[ 3,4,5,4 ] の Excel での諸量計算を リメイク版でお伝えしてきました。
パズル気分で求められると 言いましたので 実際に説明した方法で入力しました。
出てきた結果をまとめた数値が以下です。 




   名称 基本数 稜芯寸 頂芯寸




01 [3,3,3] 0.577350269189626 0.353553390593274 0.612372435695795




02 [3,3,3,3] 0.707106781186548 0.5 0.707106781186548




03 [4,4,4] 0.816496580927726 0.707106781186547 0.866025403784438




04 [3,3,3,3,3] 0.85065080835204 0.809016994374948 0.951056516295154




05 [3,4,3,4] 0.866025403784439 0.866025403784441 1




06 [3,6,6] 0.904534033733291 1.06066017177982 1.17260393995586




07 [3,3,3,3,4] 0.928191377985572 1.24722316799365 1.34371337374461




08 [3,4,4,4] 0.933948831094465 1.30656296487638 1.39896632596591




09 [5,5,5] 0.934172358962716 1.30901699437495 1.40125853844408




10 [4,6,6] 0.948683298050514 1.5 1.58113883008419




11 [3,5,3,5] 0.951056516295154 1.53884176858764 1.6180339887499




12 [3,8,8] 0.959682982260667 1.70710678118654 1.77882364566392




13 [3,3,3,3,5] 0.972732850565596 2.0970538352521 2.15583737511565




14 [3,4,5,4] 0.97460776237817 2.17625089948281 2.23295050941568




15 [4,6,8] 0.976450976246513 2.2630334384537 2.31761091289276




16 [5,6,6] 0.979432085486414 2.42705098312482 2.47801865906759




17 [3,10,10] 0.985721919281302 2.92705098312486 2.96944901586341




18 [4,6,10] 0.991316689541059 3.76937712792159 3.80239449985117




   [3,3,3,5] 0.85065080835204 0.809016994374948 0.951056516295154




   [4,4,5] 0.862103722396976 0.850650808352042 0.986715155325985

2015年5月27日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron 再掲2

14[3,4,5,4] Excel 諸量

今回も 多面体諸量をExcel で求める方法をお伝えした内容の リメイク版です。

[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体など
18 種類ある 値の計算ができます。以下三つの式です。
 
■( 2012年7月12日 斜方20･12面体[ 3,4,5,4 ] ) のリメイク版です。

角度をグラフ用紙に表示するための整数比換算の Excel 画面です。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste




 
 
 
 
=SMALL(D2:D81,1)




250
=TAN(RADIANS($G$2))*A2
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A2,0)
=ABS(B2-C2)
=IF(D2=$E$1,B2,"   ")
仰角
12.9393184371119




249
=TAN(RADIANS($G$2))*A3
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A3,0)
=ABS(B3-C3)
=IF(D3=$E$1,B3,"   ")
 
 




 


B 列 から G 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 2 行目から E 列 3 行目までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。


■( 2012年7月14日 斜方20･12面体[ 3,4,5,4 ] ) のリメイク版です。

頂芯寸 角数 から 面芯寸を求めます。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste





 
頂芯寸
 





 
2.23295050941567
 




 
 
 




角数
多角形のかど心寸
面芯寸





3
=0.5/SIN(PI()/A5)
=SQRT($B$2^2-B5^2)





4
=0.5/SIN(PI()/A6)
=SQRT($B$2^2-B6^2)




5
=0.5/SIN(PI()/A7)
=SQRT($B$2^2-B7^2)




B 列 から C 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。


■( 2012年8月18日 斜方20･12面体[ 3,4,5,4 ] ) のリメイク版です。

双対多面体の製作に必要な数値を求めます。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste





　
稜芯寸
　
　
　
　





　
2.176250899482800
　
　
　
　





　
　
　
　
　
　





角数
多角形の辺心寸
面角
面芯寸
双対仰角
双対稜寸





3
=0.5/TAN(PI()/A5)
=DEGREES(ACOS(B5/$B$2))
=SQRT($B$2^2-B5^2)
=90-C5
=$B$2/D5*B5




4
=0.5/TAN(PI()/A6)
=DEGREES(ACOS(B6/$B$2))
=SQRT($B$2^2-B6^2)
=90-C6
=$B$2/D6*B6




5
=0.5/TAN(PI()/A7)
=DEGREES(ACOS(B7/$B$2))
=SQRT($B$2^2-B7^2)
=90-C7
=$B$2/D7*B7




  



B 列 から F 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

2015年5月25日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron 再掲

14[3,4,5,4] Excel 諸量

2012年7月9日 に 多面体[ 3,4,5,4 ] の諸量計算を
Excel で説明していましたが　記述に誤りや 混乱がありました。
そこで Excel への入力を 容易にするよう
以下に 再度 計算式を 載せておきます。

正多面体 準正多面体 そして正多角柱 反角柱の 諸量が
パズル気分で 求められます。

最初は 12行目 B 列 に 9 を入れ　
その下の B 列 の値を 全て 0 にします。
ある数を入れると 10行目のF列の表示が 360 以上 もしくは エラーになり
その数より 1つ上の値の数を入れると 360 以下になる場合
もとの数字にもどし 下の欄の数字の入力をします　その繰り返しです。
27行目 c 列 に 求める値 基本数が表示されます。
求める 多面体の 多角形の種類が 1 や 2 しかない場合
二番目や三番目の 入力欄には　個数 1 角数 2 としても OK です。
二角形 (角度は 0 ) のダミーです。 

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste




個数
角数
頂角度(R)
頂角度(D)
側角度(R)
側角度(D)
角底寸/2




1
3
=(PI()/2-PI()/B2)*2
=DEGREES(C2)
=PI()/B2
=DEGREES(E2)
=COS(E2)




2
4
=(PI()/2-PI()/B3)*2
=DEGREES(C3)
=PI()/B3
=DEGREES(E3)
=COS(E3)




1
5
=(PI()/2-PI()/B4)*2
=DEGREES(C4)
=PI()/B4
=DEGREES(E4)
=COS(E4)





 
 
 
 
 
 
 








 
 
底面　側角度(R)
底面　頂角度(R)
底面　頂角度(D)
底面　総頂角度(D)
接合角




 
=B2
=ACOS(G2/$C$27)
=(PI()/2-C7)*2
=DEGREES(D7)
=E7*A2
=E7/2 




 
=B3
=ACOS(G3/$C$27)
=(PI()/2-C8)*2
=DEGREES(D8)
=E8*A3
=E8/2 




 
=B4
=ACOS(G4/$C$27)
=(PI()/2-C9)*2
=DEGREES(D9)
=E9*A4
=E9/2 




 
 
 
 
 
=SUM(F7:F9)
 




 
 
 
 
 
 
 










1
9
=B12*1/10^A12
 
 
 
 





2
7
=B13*1/10^A13
 
仰角
 
 





3
4
=B14*1/10^A14
 
=DEGREES(ACOS(C27))
 
 





4
6
=B15*1/10^A15
 
 
 
 





5
0
=B16*1/10^A16
 
 
 
 





6
7
=B17*1/10^A17
 
稜芯寸
 
 





7
7
=B18*1/10^A18
 
=0.5*C27/SQRT(1-C27^2)
 
 





8
6
=B19*1/10^A19
 
 
 
 





9
2
=B20*1/10^A20
 
 
 
 





10
3
=B21*1/10^A21
 
頂芯寸
 
 





11
7
=B22*1/10^A22
 
=0.5/SQRT(1-C27^2)
 
 





12
8
=B23*1/10^A23
 
 
 
 





13
1
=B24*1/10^A24
 
 
 
 





14
7
=B25*1/10^A25
 
 
 
 





15
0
=B26*1/10^A26
 
 
 
 





 
 
=SUM(C12:C26)
 
 
 
 




C 列 から G 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

2015年5月24日

多面体の球形度 3　sphericity

18[4,6,10] BASIC Excel sphericity 多面体 諸量


前回　英語版の Wikipedia での表面積計算が 多面体[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron (=Rhombitruncated Icosidodecahedron)
では私の計算と異なると書きましたが　*注

英語版や他の多くの言語の Wikipediaに載せられた 計算式を
BASICで実行すると以下です。(稜寸=1として) 

LET a=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(6)))))
PRINT a   
END

答=175.031044595664
ドイツ語版(Großes Rhombenikosidodekaeder)
の式です。(稜寸=1として)
LET b=30*(1+SQR(3)+SQR(5+2*SQR(5)))
PRINT b    
END

答=174.292030342324
イタリア語版(Icosidodecaedro troncato)は (稜寸=1として)
LET x=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(5)))))
PRINT x    
END

答=174.292030342324

式の最後の 6*SQR(5) が 英語版の 6*SQR(6) と異なっています。
オランダ語版(Afgeknotte icosidodecaëder)や
ポルトガル語版(Icosidodecaedro truncado スペイン語と同じスペル)では
式は英語版と同じなのに
答えの記述は 174,2920 になっています。
少しためらいもありましたが くどくどと書いてしまいました。
*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)


上記 三種類の計算式を Excel で表示すると以下です。

=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(6)))))
=30*(1+SQRT(3)+SQRT(5+2*SQRT(5)))
=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(5)))))

2014年7月25日

多面体諸量 2

14[3,4,5,4] Excel 多面体 諸量



前回の続きで 多面体諸量の 二面角についてお伝えします。
多面体の面と面とが接する稜にできる角度のことですが
さいころの形をした正六面体 [4,4,4] の二面角は 90度だといえばお判りでしょう。
今お伝えしている 正多面体や準正多面体 の製作過程には必要としません。
できた完成品を見て 認識を深めるだけです。
ただ 複合多面体などでお伝えした 双対多面体の製作には必要な数値です。

上の画像をクリックすると エクセル画面が拡大されて見えます。
後日投稿のリメイク版もあります。

[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体 など
18種類ある値の計算ができます。

1 行目 B 列 → 稜芯寸

4 行目 A 列 → 角数
4 行目 B 列 → 多角形の辺芯寸
4 行目 C 列 → 面角
4 行目 D 列 → 面芯寸
4 行目 E 列 → 双対仰角
4 行目 F 列 → 双対稜寸

5 行目 B 列 → =0.5/TAN(PI()/A5)
5 行目 C 列 → =DEGREES(ACOS(B5/$B$2))
5 行目 D 列 → =SQRT($B$2^2-B5^2)
5 行目 E 列 → =90-C5
5 行目 F 列 → =$B$2/D5*B5

5 行目 B 列 から F 列 までを選択し セルの右下にポインタを合わせ
「＋」を下方( 7行目まで ) にドラッグする[オートフィル]を行います。
この画面の計算は [ 3,4,5,4 ] の計算です。
この多面体の二面角は 三角形と四角形の二面角
82.3773681406496＋76.7174744114609 = 159.094842552110 と
四角形と五角形の二面角
76.7174744114609＋71.5650511770778 = 148.282525588539 の二つです。
五角形と三角形の二面角はありません。
ある書籍には この幻の二面角の数値 153.942419317727 を
153°56′33″と表記して諸量に載せてあるのがありました。
私も人のことは言っておられません 肝に銘じて正確な情報を伝えてゆく所存です。


左は 私の初期の作品で 接着剤が劣化していて 一部の部品が剥がれていました。
高さ約 75mm 6×6 の竹製で 斜方立方8面体 [3,4,4,4] です。
右はその双対多面体の凧形24面体です　これも古い作品です。
4×4のバルサ材での作品ですが 歪みもみられず まずまずの状態です。
次回は この[3,4,4,4]の双対形である凧形24面体についてお伝えしようと思っています。

2012年8月18日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] 5 Rhombicosidodecahedron

14[3,4,5,4] Excel 多面体 製作道具



前回お伝えした 画像内容に不備がありましたので 訂正した画像を掲載します。
画像をクリックすれば より大きな画面になります。
左上の　4角形の接合角　↑166(対辺) を ↑166(底辺)
←175(底辺) を ←175(対辺)　に。
左下の　5角形の接合角　↓131(対辺) を ↓131(底辺)
←195(底辺) を ←195(対辺)　に。
右下の 46.513°の表示位置　が誤っていました ご迷惑をお許しください。

製作に必要な角度の参考にすべき基本データを A4のグラフ用紙で表示することを
このブログではお勧めしています。
分度器よりも A4のグラフ用紙のほうが
今 手ぢかにあるものの中で最も精度が高く表示でき
扱いやすいものとして はるかに優れています。

数値計算は 以前お伝えした エクセルでおこなうことを説明しましたが
A4 のグラフ用紙での表示は
対辺のマクシマムが 180 であり 底辺のマクシマムが 250 のため
45度以上の角度は 90度から 求める角度をマイナスし 余角の数値で計算し
分数の分子が 分母より小になるようにする必要があります。
また 分子の値も 180以下の計算結果を読み取る必要があり
” =SMALL(D2:D81;1)　←1行目 E 列　” の　(D2:D81;1) の 1 の値を　(D2:D81;2)
など 数値を上げてゆくことが必要になる場合も起こります。
かなり煩雑な作業のように思えますが。

確かに 小数点以下の角度まで意識することは 日常生活ではほとんどありませんし
余角とは 90度からある角度(90度より小) を引いた値である
という概念もあまり必要ありません。

しかし 何かをしたいがそれをするのには必要だとなれば
理解しようとする気も湧き 楽しいものです。

いずれ BASIC での計算も お伝えしようと思っています。

2012年7月21日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ]3 Rhombicosidodecahedron

14[3,4,5,4] Excel 多面体 諸量



斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] の　面芯寸の計算画面です。
(後日 投稿のリメイク版もあります。)

[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体 など
18種類ある値の計算ができます。

頂芯寸 2.23295050941567 角数　3 4 5 を手入力し
=0.5/SIN(PI()/A5) を 5行 B列に
=SQRT($B$2^2-B5^2) を 5行 C列に 入れ 7行まで オートフィルして下さい。

完成品の三角面を底にして置いて 多面体の高さが 7cm になった場合 稜寸は
7 × 1 / ( 2.157×2 ) = 1.623 です。

2012年7月14日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ]2 Rhombicosidodecahedron

14[3,4,5,4] Excel ポーカーの確率 多面体 諸量



今度は 角度をグラフ用紙に表示するための整数比換算のエクセル画面です。
計算式は以下です。 後日投稿のリメイク版もあります。

[ 3,4,5,4 ] に限らず
プラトン多面体や アルキメデス多面体 など
18種類ある値の計算ができます。

1行目 E 列    =SMALL(D2:D81,1)

2行目 B 列    =TAN(RADIANS($G$2))*A2    

2行目 C 列    =ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A2,0)

2行目 D 列    =ABS(B2-C2)          

2行目 E 列    =IF(D2=$E$1,B2,"   ")

2行目 B 列から E列までを選択し セルの右下にポインタを合わせ
「＋」を下方(81行まで)にドラッグする[オートフィル]を行います。

A列の 2行目に 250 
A列の 3行目に 249 を入れ 
250と249を選択し
81行目までオートフィルします。                      *2015年3月20日変更
2行目 G列に 12.9393184371119 を入れると
上に掲載の画面と同じ表示結果になります。
この数字は 斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ]の製作部品の仰角で
A列の250 から 171の範囲での計算で
1行目 E列の数値が 最も近似の角度表示をする整数比の 誤差です。
30行目 E列の数値の 222 と 51 がその答えだということです。
A列の数字を251行まで入れて 1までで計算すると
74 対 17.001 が一番誤差が少なく 次は 148 対 34.003 で
三番目に 222 対 51.005 なのですが
エクセルで 関数計算的な数値処理をする場合 煩雑なこともありますが
関数電卓で 数値処理をするより遥かに便利でした (多面体関連についてですが)。
今は フリーウェアーソフトの 十進BASIC を使っています。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/　を参照
このソフトがなかったら 多面体製作が趣味になっていなかったかも知れません。
そのほか ポーカーの役の確率計算を 順列や組み合わせを用いた論理計算ではなく
全数チェックで しかも短時間で調べることもできました。

2012年7月12日

斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron

14[3,4,5,4] Excel 多面体 諸量



斜方20･12面体 [ 3,4,5,4 ] の諸量を エクセルで計算しています。

画像をクリックすると 大きな画面になります。

画像形式が JPGなので　表計算ソフトに文字を移せませんが
最後のほうに記しています文字や計算式を エクセルやそれ相当のソフトに
コピー＆ドロップすれば少しは作業性がよくなり走らすことができます。
*注 後日投稿(2015年 05月24日)のリメイク版もあります。そちらをお勧めします。

カラーの背景のセルのみ 数字の手入力部分です。
これで一般的に 正多面体と準正多面体 のデータが計算できます。

左上の 個数 角数の入力欄は 一つの頂に集まる正多角形の 数と角数を入力します。
必ず三行の入力が必要です。

立方八面体[ 3,4,3,4 ]では 三角形が一個と四角形が二個 それにまた三角形が一個と
入力できますが 三角形が二個 四角形が一個 そして四角形が一個でもOKです。
もっとシンプルな体裁にできるのですが IF文を使ったり 式が複雑になります。
もう一つのカラーの背景の 974607762378170 となっている入力欄に
866025403784438の　数字を入れると　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←*注
10行目のF列に 360.000000000000000となり
立方八面体[ 3,4,3,4 ] の計算完了で 仰角や接合角がわかります。

計算手順は

個数　 角数             個数　 角数
  1      3                2      3
  2      4                1      4
  1      3     とか       1      4      などと入力し

最初は 12行目 B列 に 8 を入れ 後のB列はすべてゼロにして
10行目のF列の表示が 360以上の数値になり

7を入れると 今回は計算異常の表示が出ますが　気にせず
その数より 大であるということであり
もとの数字8にもどし つぎの下の 0 を変更します。

ある数字を入れると 360以上になり
その数より1つ上の数を入れると 360以下になる場合
もとの数字にもどし 下の欄の数字の入力をします　その繰り返しです。(2015年5月22日 変更)
今までは 天下り的な数値報告をしていましたので
その根拠を伝えたかったのですが
文章が長くなったり 理解しにくい点があるかも知れません お許しください。

コピー＆ドロップする内容です
C列からG列までは 書式設定で 小数点以下の桁数を 15にしています。
 1 行目 A 列  →　 個数
 1 行目 B 列  →   角数
 1 行目 C 列  →   頂角度(R)
 1 行目 D 列  →   頂角度(D)
 1 行目 E 列  →   側角度(R)
 1 行目 F 列  →   側角度(D)
 1 行目 G 列  →   角底寸/2

 2 行目 C 列  →   =(PI()/2-PI()/B2)*2
 2 行目 D 列  →   =DEGREES(C2)
 2 行目 E 列  →   =PI()/B2
 2 行目 F 列  →   =DEGREES(E2)
 2 行目 G 列  →   =COS(E2)
　　　2 行目の C 列から G 列まで
      セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
      4 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

 6 行目 C 列  →   底面　側角度(R) 
 6 行目 D 列  →   底面　頂角度(R) 
 6 行目 E 列  →   底面　頂角度(D) 
 6 行目 F 列  →   底面　総頂角度(D)　
 6 行目 G 列  →   接合角

 7 行目 B 列  →   =B2 
 7 行目 C 列  →   =ACOS(G2/$C$27) 
 7 行目 D 列  →   =(PI()/2-C7)*2 
 7 行目 E 列  →   =DEGREES(D7) 
 7 行目 F 列  →   =E7*A2 
 7 行目 G 列  →   =E7/2 
　　　7 行目の B 列から G 列まで
      セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
      9 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

10 行目 F 列  →   =SUM(F7:F9)

12 行目 C 列  →   =B12*1/10^A12
　　　12 行目の C 列 の
      セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
      26 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

27 行目 C 列  →   =SUM(C12:C26) 

13 行目 E 列  →   仰角
14 行目 E 列  →   =DEGREES(ACOS(C27))

17 行目 E 列  →   稜芯寸
18 行目 E 列  →   =0.5*C27/SQRT(1-C27^2)

21 行目 E 列  →   頂芯寸
22 行目 E 列  →   =0.5/SQRT(1-C27^2)　　　*2015年3月20日変更

  *注 
  "951056516295153の　数字を入れると" の表現でした (2015年5月22日 まで)
　これは 立方八面体[ 3,4,3,4 ] の値ではなく 20･12面体[3,5,3,5] の値でした
  混乱をおかけしたことを お詫びし 訂正いたします。

2012年7月9日

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