多面体
08[3,4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
[3,4,4,4] の compounds 複合多面体の cradle と 稜部品です。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
左二つの cradle が 準正多面体 Rhombicuboctahedron
斜方立方8面体の稜部品製作用です。
4,3形と 4,4形の稜部品があり
4,3形とは 4角形の面と3角形の面に挟まれた 稜部品のことで
4,4形とは 4角形の面と4角形の面に挟まれた 稜部品のことです。
仰角は 20.94度 ( 075/196 ) で 稜部品の寸法は すべて 23.0mm になります。
左側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 49.21度( 175/151 ) の加工をします。
この cradle で 稜線を挟んで左右とも 4形の形状の稜部品(4,4形)を 48個つくります。
左側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 32.37度( 116/183 ) の加工をします。
この cradle で 片方が 3形の形状の稜部品をつくります。
そしてその片方を 上で説明した 4形の cradle で加工し (4,3形)として 24個つくります。
それと 4形と 3形が逆になっている稜部品を 24個つくります。
真ん中の cradle で 稜が直角に交差するための形状を作ります。
稜部品の すべての片端は 仰角 0度 接合各 45度×2 に加工します。
右二つの cradle が 双対多面体の Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体製作用です。
4形と 3形の稜部品があり
4形とは 元の多面体 (Rhombicuboctahedron)の 4角形の面の上にくる 稜部品のことで
3形とは 元の多面体の 3角形の面の上にくる 稜部品のことです。
右側二つのうちの 左の cradle が 4形の接合角 45度( 180/180 ) の部品の加工をします。
仰角は 22.50度( 070/169 ) 寸法が 24.9mm で 72個つくります。
右側二つのうちの 右の cradle が 3形の接合角 60度( 194/112 ) の部品の加工をします。
仰角は 12.76度( 029/128 ) 寸法が 13.6mm で 24個つくります。
これらの cradle で 計 5種類の稜部品をつくることになります。
そして それらを組み合わせて 2種類の 十字状の結合部品をつくると 作業がうまくゆきます。
二種類とは
4角形と 4角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 4角形をまたぐ稜が交差している結合部品と、
4角形と 3角形に挟まれた稜の中心を 4角形と 3角形をまたぐ稜が交差している結合部品。
2013年2月3日
BASIC 多面体 諸量
[3,4,4,4] の複合多面体 compounds の製作の説明をすべきですが
同じ作業を長く続けるのが苦手な私は 稜部品の製作が 遅々として進んでいません。
5×5 のすす竹で 12cm の大きさで作ろうとしています。
時間稼ぎとして 双対多面体の諸量計算のシンプルな BASIC プログラムを お伝えしておきます。
!! コピー開始
! 双対多面体の諸量の計算
! 元の多面体の稜寸を 1 として
OPTION ANGLE DEGREES
! 求める双対多面体に対応する元の多面体の
! 稜芯寸を入力 し 正n角形の 角数を 入力
! *********************************
LET b00=1.30656296487639 ! 稜芯寸
LET b01=3 ! 角数
! *********************************
LET b02=360/b01/2 ! 接合角/2
LET b03=.5/TAN(b02) ! 辺心寸
LET b04=ASIN(b03/b00) ! 仰角
LET b05=b03/COS(b04) ! 稜寸
PRINT "稜寸 = "; 1
PRINT "稜芯寸 = "; b00
PRINT "正n角形 = "; b01
PRINT "接合角/2 = "; b02
PRINT "仰角 = "; b04
PRINT "双対稜寸 = "; b05
END
! コピー終わり
2013年1月31日
08[3,4,4,4] Compounds 多面体
[3,4,4,4]の準正多面体と
その双対多面体を複合させた多面体についてお伝えします。
準正多面体 で作る 複合多面体 compounds の説明は
以前 [3,5,3,5] においても行っています。
二つの多面体の 稜芯寸は 同一の値として計算します。
つまり 二つの多面体の稜が 直角に交差する形になります。
全ての値は 準正多面体 の稜の寸法が 1 としたときの値です。
08 [3,4,4,4]compounds 複合多面体 作成に必要な諸量
08 .38268343236508977173 複[3,4,4,4]0.5 /稜芯寸( 075/196 )
08 .22654091966098642160 複[3,4,4,4]3形 稜寸/稜芯寸( 029/128 )
08 .41421356237309504880 複[3,4,4,4]4形 稜寸/稜芯寸( 070/169 )
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4形 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3形 接合角( 116/183 )
08 [3,4,4,4]4,4形稜部品 必要個数 48
08 [3,4,4,4]4,3形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4]4,3形と 鏡面対称 な稜部品 必要個数 24
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4形 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3形 仰角( 029/128 )
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4形 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3形 接合角/2( 194/112 )
08 双[3,4,4,4]4形稜部品 必要個数 72
08 双[3,4,4,4]3形稜部品 必要個数 24
2013年1月17日
08[3,4,4,4] 多面体 製作道具
Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体製作の 二種類の cradle と
二種類の 形状に接合した 稜部品です。
cradle は 20.94度 (075/196) の仰角があり
左が 接合角 49.21度 (175/151)で 四角形を囲む 稜部品を作り、
右が 接合角 32.37度 (116/183)で 三角形を囲む 稜部品を作ります。
四角形の稜部品は4,4形を 四つ合わせ 6組あり、
三角形の稜部品は4,3形を 三つ合わせ 8組あります。
四角形の稜部品の “かど” と三角形の “かど” とを接合してゆけば 簡単に完成します。
接合作業は完了です(写真左)。
次回は [3,4,4,4] 複合多面体 compounds についてお伝えします。
2013年1月16日
BASIC 多面体 諸量
A4 の方眼紙 (section paper) で 角度や 寸法比の値を得たいときに
必要な数値を 整数/整数 に変換する BASIC のプログラムをお伝えします。
以下をコピーし 実行してください。
!! コピー開始
OPTION ANGLE DEGREES
! a00 に 数値入力
! 対辺/底辺 に変換したい角度は 90度より小さく 5度より大きい
! 整数/整数 に変換したい数値は 5 以下
! 上記の範囲で 計算ができます
!*************************
LET a00= 20.9410204722436
!*************************
LET a01=a00 ! 入力値加工
LET a02=250 ! 長いほうの罫線表示巾の寸法
LET a03=180 ! 短いほうの罫線表示巾の寸法
LET a04=1 ! 誤差初期値
LET a05=0 ! 小さい方の整数
LET a06=0 ! 大きい方の整数
LET a07=0 ! ｓｗａｐ サイン
IF a01>5 THEN ! 角度の変換か数値の変換かの判定
IF a01>45 THEN ! 45度より大の場合 余角で計算
LET a01=90-a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
LET a01=TAN(a01)
END IF
IF a01>1 THEN ! すべて 1より 小で計算
LET a01=1/a01
LET a07=1 ! ｓｗａｐ サイン on
END IF
FOR x=a02 TO 1 STEP -1
LET a08=ROUND(x*a01,0) ! 短いほうの整数値
IF a08>180 THEN GOTO 100 ! 短いほうが 180以下になるまで計算しない
LET a09=ABS(a01-a08/x) ! 誤差の絶対値
IF a09< a04 THEN ! 誤差が最小か判定
LET a04=a09 ! 最小誤差値を入れる
LET a05=a08 ! 短いほうの数を入れる
LET a06=x ! 長いほうの数を入れる
END IF
100
NEXT x
PRINT a00 ! 入力値表示
IF a07=1 THEN SWAP a05,a06 ! ｓｗａｐ処理
PRINT a05;"/";a06 ! 演算値表示
END
! コピー終わり
2013年1月14日
BASIC 多面体 諸量
フリーウェアーソフトの 十進BASIC を使って 諸量の計算ができます。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照
様々な場面で活用され 紹介されているソフトです。
英語版 Decimal BASIC もあります。
以下のプログラムを コピーして それを実行すると 走ります。
試してみては いかがでしょう。
! の記号の後ろの 文字は プログラムでは実行されません。
気にせず コピーの中に含めて かまいません。
!!コピー開始*******************************************
!*** プラトン多面体 アルキメデス多面体の 諸量の計算 ***
!******************************************************
OPTION ANGLE DEGREES ! 三角関数の角の大きさの単位を度(DEGREES)にする
DIM men(18,6) ! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数
DIM met$(18) ! 多面体の記号
DIM khn(18,10) ! 多面体の基本数など
FOR s1=1 TO 18
FOR s2=1 TO 6
READ men(s1,s2) ! データを読み込む
NEXT s2
READ met$(s1) ! 多面体の記号を読込む
NEXT s1
PRINT "名称","基本数"
PRINT "①仰角","L接合角","M接合角","S接合角"
PRINT "②頂芯寸","稜芯寸"
PRINT "③L面芯寸","M面芯寸","S面芯寸"
PRINT
!********************
!*** 諸量計算開始 ***
!********************
FOR ss=1 TO 18
LET lk=men(ss,1) ! 大角形の角数
LET mk=men(ss,2) ! 中角形の角数
LET sk=men(ss,3) ! 小角形の角数
LET la=0.5/SIN(180/lk) ! L角心寸
LET ma=0.5/SIN(180/mk) ! M角心寸
LET sa=0.5/SIN(180/sk) ! S角心寸
! 内角を二等辺三角形の頂角としたときの底辺の1/2の長さ l01 m02 s03
LET l01=SIN((180-360/lk)/2)
LET m02=SIN((180-360/mk)/2)
LET s03=SIN((180-360/sk)/2)
LET l04=men(ss,4) ! 頂を構成する大角形の個数
LET m05=men(ss,5) ! 頂を構成する中角形の個数
LET s06=men(ss,6) ! 頂を構成する小角形の個数
LET f02 =0 ! 総接合角と360度との差の最小値 初期値は0
LET c0=l01 ! 基本数より短い値
LET c9=1 ! 基本数より長い値
101
LET c5=c9-(c9-c0)/2 ! 短と長の中間の 仮の基本数
LET l01X=ASIN(l01/c5) ! 角数が一番多い多角形面に 接する側の接合角
LET m02X=ASIN(m02/c5) ! 角数が次に多い多角形面に 接する側の接合角
LET s03X=ASIN(s03/c5) ! 角数が一番小い多角形面に 接する側の接合角
LET f01=360 -l01X*2*l04 -m02X*2*m05 -s03X*2*s06 ! 総接合角と360度との差
IF f01 = f02 THEN
LET khn(ss,1)=c5 ! 基本数
LET khn(ss,2)=l01X ! 大接合角
LET khn(ss,3)=m02X ! 中接合角
LET khn(ss,4)=s03X ! 小接合角
LET khn(ss,5)=ACOS(c5) !仰角
LET khn(ss,6)=1/SQR(1-c5^2)/2 ! 頂芯寸 = 外接球半径
LET khn(ss,7)=1/SQR(1-c5^2)/2*c5 ! 稜芯寸
LET khn(ss,8)=SQR(khn(ss,6)^2-la^2) ! L面芯寸
IF mk > 2 THEN
LET khn(ss,9)=SQR(khn(ss,6)^2-ma^2) ! M面芯寸
END IF
IF sk > 2 THEN
LET khn(ss,10)=SQR(khn(ss,6)^2-sa^2) ! S面芯寸
END IF
PRINT met$(ss), khn(ss,1)
PRINT "①";khn(ss,5),khn(ss,2),khn(ss,3),khn(ss,4)
PRINT "②";khn(ss,6),khn(ss,7)
PRINT "③";khn(ss,8),khn(ss,9),khn(ss,10)
PRINT
GO TO 102
END IF
LET f02 = f01
IF f01 > 0 THEN !総接合角が360度に満たない→仮の基本数c5が基本数より長い
LET c9 = c5 ! 基本数より長い値に仮の基本数c5を入れる
ELSE ! 総接合角が 360度をオーバー → 仮の基本数c5が基本数より短い
LET c0 = c5 ! 基本数より短い値に仮の基本数c5を入れる
END IF
GOTO 101
102
NEXT ss
!*******************
!*** データ領域 ***
!*******************
! 多面体の一つの頂を構成する多角形の種類と数 (2角数は ダミー)
! (1)L角数 (2)M角数 (3)S角数 (4)L個数 (5)M個数 (6)S個数
DATA 3, 2, 2, 3, 1, 1 , "01[3,3,3] "
DATA 3, 2, 2, 4, 1, 1 , "02[3,3,3,3]"
DATA 4, 2, 2, 3, 1, 1 , "03[4,4,4]"
DATA 3, 2, 2, 5, 1, 1 , "04[3,3,3,3,3]"
DATA 4, 3, 2, 2, 2, 1 , "05[3,4,3,4]"
DATA 6, 3, 2, 2, 1, 1 , "06[3,6,6]"
DATA 4, 3, 2, 1, 4, 1 , "07[3,3,3,3,4]"
DATA 4, 3, 2, 3, 1, 1 , "08[3,4,4,4]"
DATA 5, 2, 2, 3, 1, 1 , "09[5,5,5]"
DATA 6, 4, 2, 2, 1, 1 , "10[4,6,6]"
DATA 5, 3, 2, 2, 2, 1 , "11[3,5,3,5]"
DATA 8, 3, 2, 2, 1, 1 , "12[3,8,8]"
DATA 5, 3, 2, 1, 4, 1 , "13[3,3,3,3,5]"
DATA 5, 4, 3, 1, 2, 1 , "14[3,4,5,4]"
DATA 8, 6, 4, 1, 1, 1 , "15[4,6,8]"
DATA 6, 5, 2, 2, 1, 1 , "16[5,6,6]"
DATA 10, 3, 2, 2, 1, 1 , "17[3,10,10]"
DATA 10, 6, 4, 1, 1, 1 , "18[4,6,10]"
END ! コピー終わり
注 計算結果は
一般解を求める BASIC program の出力一覧 (2015 8/4) で表示しています。
2013年1月11日
08[3,4,4,4] 多面体 諸量
[3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体 と
Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体の諸量を表記しておきます。
08 [3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体
08 .93394883109446475958 [3,4,4,4]基本数
08 20.941020472243838873 [3,4,4,4]仰角( 075/196 )
08 1.3989663259659067020 [3,4,4,4]頂芯寸( 249/178 )
08 1.3065629648763765279 [3,4,4,4]稜芯寸( 179/137 )
08 49.210529059074710890 [3,4,4,4]4 接合角( 175/151 )
08 32.368412822775867329 [3,4,4,4]3 接合角( 116/183 )
08 1.2071067811865475244 [3,4,4,4]4 面芯寸( 204/169 )
08 1.2742736942483016631 [3,4,4,4]3 面芯寸( 223/175 )
08 21.464101615137754587 [3,4,4,4]面積
08 8.7140452079103168293 [3,4,4,4]体積
08 67.500000000000000000 [3,4,4,4]4 面角
08 77.235610317245345685 [3,4,4,4]3 面角
08 135.00000000000000000 [3,4,4,4]4,4 面角
08 144.73561031724534568 [3,4,4,4]4,3 面角
08 [3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 [3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
08 双対[3,4,4,4]Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体
08 138.11795905551232225 双[3,4,4,4]二面角
08 1.2202629537976100741 双[3,4,4,4]面芯寸( 205/168 )
08 22.500000000000000000 双[3,4,4,4]4 仰角( 070/169 )
08 12.764389682754654315 双[3,4,4,4]3 仰角( 029/128 )
08 .54119610014619698440 双[3,4,4,4]4 稜寸( 092/170 )
08 .29598997565807943876 双[3,4,4,4]3 稜寸( 074/250 )
08 81.578941881850578219 双[3,4,4,4]4 かど角
08 115.26317435444826534 双[3,4,4,4]3 かど角
08 1.4142135623730950488 双[3,4,4,4]4 頂芯寸( 239/169 )
08 1.3396704247226696103 双[3,4,4,4]3 頂芯寸( 213/159 )
08 21.513454645857756671 双[3,4,4,4]面積
08 8.7506905708484345088 双[3,4,4,4]体積
08 45.000000000000000000 双[3,4,4,4]4 接合角/2( 180/180 )
08 60.000000000000000000 双[3,4,4,4]3 接合角/2( 194/112 )
08 1.0823922002923939688 双[3,4,4,4]4,4 稜寸( 184/170 )
08 .83718607580427642316 双[3,4,4,4]4,3 稜寸( 180/215 )
08 .88701553785915963963 双[3,4,4,4]4,4 稜寸/面芯寸( 157/177 )
08 .68607022215896109603 双[3,4,4,4]4,3 稜寸/面芯寸( 118/172 )
08 双[3,4,4,4] 4,4形稜部品 必要個数 24
08 双[3,4,4,4] 4,3形稜部品 必要個数 24
2013年1月11日
14[3,4,5,4] 多面体
[ 3,4,5,4 ]の双対多面体Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体の
二種類の結合部品の組合せが 完成しました。
あと一つの星型結合部品をはめれば 接合作業は完成です。
この状態で それぞれの合わさり具合を調整したりします。
少し不満は残りますが 作品完成とします。
左にある [3,4,5,4]Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体 は
十年以上前 すす竹を材料にして多面体製作 を始めた頃の作品です。
次回は [3,4,4,4] Rhombicuboctahedron 斜方立方8面体 (写真左)と
その双対多面体 ( Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体 )とで出来る
複合多面体 compounds についてお伝えしようかと思っています。
双対多面体の Trapezoidal Icositetrahedron 凧形24面体 はすでにお伝えしています。
2013年1月10日
14[3,4,5,4] 多面体
準正多面体[ 3,4,5,4 ]の双対多面体 Trapezoidal Hexecontahedron の
二種類ある稜部品( 4,3形と5,4形 )つくりが完了し 接合作業にはいりました。
今回は 二種類の結合部品の組合せで 立体をつくってゆきます。
4,3形の部品を 三つ合わせた結合部品 20個 と
5,4形の部品を 五つ合わせた結合部品 12個 です。
4,3形の結合部品の接合部分は 3形で 接合角 120度 ( 360度/3 ) 仰角 07.62度です。
5,4形の結合部品の接合部分は 5形で 接合角 072度 ( 360度/5 ) 仰角 18.43度です。
この二種類の部品を作れば 接合作業は 方法を説明するまでもなく進みます。
私は 同じ作業を長く続けるのが苦手なので 完成までに 少し時間がかかります。
2013年1月9日
14[3,4,5,4] 多面体 製作道具
前回お伝えした 二種類ある稜部品の拡大写真です。
どちらも mother として決定したものですが 加工品質や精度は この程度です。
両面テープの破片で支え 罫線に合わせようとして 撮っています。
二本の斜線と 横線との交差部分は カッターナイフでの罫書きです。
計算では 大きいほうの寸法が 20.45mm 小さいのが 13.28mm です。
1mm という巾が かなり大きなものだと実感させられます。
2012年12月27日
14[3,4,5,4] 多面体 製作道具
[ 3,4,5,4 ]の双対多面体を作るのに必要な 稜部品製作の治具について今回もお伝えします。
三つある cradle は 左から 元の多面体の面 (三角形、四角形、五角形)に対応して
3形、4形、5形 の三種類です。
3形は 仰角 07.62度 接合角は 左右 60度で 120度。
4形は 仰角 13.28度 接合角は 左右 45度で 090度。
5形は 仰角 18.43度 接合角は 左右 36度で 072度 となります。
それらの下にある長方形の治具で 稜部品の寸法と切断角を決定し 切りそろえます。
今までお伝えしていた この作業の治具は 個別に作り消耗品としていましたが
これは 再利用することにより その作業を簡略にしています。
厚さ 5mm 巾 10mm の細板を 5mmずつずらせて 4枚張り合わせた受け台です。
使うごとに スリットを増やしてゆきます。
この画面では仰角 13.28度の傾斜に治具をあわせ
垂直の罫線方向に ノコギリでスリットをいれています。
これが仰角 13.28度の余角 (76.72度) になり 4形の 稜の部分をつくります。
寸法決定は 右の図から作った 基準部品の mother をもとにして治具にしるしをいれます。
これで 5,4形の稜部品の片端と 4,3形の稜部品の片端を作り、二種類のしるしが必要です。
あと 5形と3形の スリットをいれて しるしをつけています。
切断面の整形は cradle での作業で行います。
右にある小さい二つの部品は 二種類ある稜部品( 4,3形と5,4形 )の mothers です。
小さい方が 四角形と三角形をまたぐ稜の部品 ( 4,3形 ) です。
稜寸に対する 面芯寸は 0.380 対 1 ( 063 対 166 ) で罫線紙に表示。
そして大きい方が ( 5,4形 )で、
稜寸に対する 面芯寸は 0.584 対 1 ( 111 対 190 )で罫線紙に表示しています。
今回も 5×5 のすす竹で 大きさを 70mm にしようとしています。
二本の斜線と 数値 35の 位置の横線との 交点がそれぞれの実寸です。
小さい方は 15mm 以下の寸法部品をつくることになります。
作業性を高め 正確さを維持できるよう試行錯誤しながら進めてゆきます。
(カーソルを画像に置き 左クリックすれば 大きな画像が得られます。)
2012年12月26日
14[3,4,5,4] 多面体 製作道具
[ 3,4,5,4 ]の双対多面体 Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体を作るのに必要な稜部品製作の治具についてお伝えします。
私は クレィドル cradle という用語をよく用います。小児用ベッドから由来した言葉で台座とか受け台などの治具の用語として 工業的な分野で用いられています。
そして 多面体製作の場合 稜部品の接合形状を完成させるための治具にのみcradle という用語を用いています。
また dresser を “仕上げ切削用具” の意味として用い mother という用語は “基準となる参照部品” という意味で使っています。
cradle の傾斜部品を作ろうとしています。
Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体は 双対多面体ですので 仰角は 複数存在します。
今回は三種類必要です。
元の多面体の 五角形の中心の上にくる部品を作る仰角は 18.43度
元の多面体の 四角形の中心の上にくる部品を作る仰角は 13.28度
元の多面体の 三角形の中心の上にくる部品を作る仰角は 7.62度です。
罫線上での角度表示は
18.43度が 座標0,0 の位置から 縦 83 横 249 の位置に線を描きます。
画面では三本ある斜線の一番角度のきつい斜線です。
その線に沿って傾斜部品を整形する治具を作っています。
その下の斜線が 13.28度で
座標0,0 の位置から 縦 55 横 233 の位置に線を描いています。
一番下の斜線で 厚み15mm のバルサ材の切り出し角度を確認しています。
7.62度で 座標0,0 の位置から 縦 19 横 142 の位置に線を描いています。
私は 数値計算をする場合
表計算ソフトなど パソコンのソフトを用いて行っていますが
タンジェントの確認や 手軽な計算用具としては関数電卓を用いています。
私が 多面体を作り始めた頃は 関数電卓は \10,000 では到底買えませんでした。
指数表示や 三角関数の演算ができれば いいのです。
今では \1,000 でお釣がきます。関数電卓は 多面体製作には お勧めです。
2012年12月23日
14[3,4,5,4] 多面体 諸量
[ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体 と
Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体の諸量を表記しておきます。
14 [3,4,5,4]Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体
14 .97460776237817045237 [3,4,5,4]基本数
14 12.939318437111839760 [3,4,5,4]仰角( 051/222 )
14 2.2329505094156900495 [3,4,5,4]頂芯寸( 230/103 )
14 2.1762508994828215111 [3,4,5,4]稜芯寸( 222/102 )
14 56.108494226282325602 [3,4,5,4]5 接合角( 131/088 )
14 46.512922254478226490 [3,4,5,4]4 接合角( 136/129 )
14 30.865661264761221417 [3,4,5,4]3 接合角( 104/174 )
14 2.0645728807067603073 [3,4,5,4]5 面芯寸( 192/093 )
14 2.1180339887498948482 [3,4,5,4]4 面芯寸( 233/110 )
14 2.1570198525202442752 [3,4,5,4]3 面芯寸( 151/070 )
14 59.305982844911989541 [3,4,5,4]面積
14 41.615323782497967065 [3,4,5,4]体積
14 71.565051177077989352 [3,4,5,4]5 面角
14 76.717474411461005324 [3,4,5,4]4 面角
14 82.377368140649695643 [3,4,5,4]3 面角
14 148.28252558853899468 [3,4,5,4]5 4 面角
14 159.09484255211070097 [3,4,5,4]4 3 面角
14 [3,4,5,4] 5 4 個数 60
14 [3,4,5,4] 4 3 個数 60
14 双対[3,4,5,4]Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体
14 154.12136312577632048 双[3,4,5,4]二面角
14 2.1209910195184334175 双[3,4,5,4]面芯寸( 193/091 )
14 18.434948822922010648 双[3,4,5,4]5 仰角( 083/249 )
14 13.282525588538994676 双[3,4,5,4]4 仰角( 055/233 )
14 7.6226318593503043571 双[3,4,5,4]3 仰角( 019/142 )
14 .72541696649427383703 双[3,4,5,4]5 稜寸( 177/244 )
14 .51374314837300779674 双[3,4,5,4]4 稜寸( 112/218 )
14 .29124883602080337314 双[3,4,5,4]3 稜寸( 060/206 )
14 67.783011547435348796 双[3,4,5,4]5 かど角
14 86.974155491043547019 双[3,4,5,4]4 かど角
14 118.26867747047755717 双[3,4,5,4]3 かど角
14 2.2939698674519558970 双[3,4,5,4]5 頂芯寸( 234/102 )
14 2.2360679774997896964 双[3,4,5,4]4 頂芯寸( 161/072 )
14 2.1956534020612776371 双[3,4,5,4]3 頂芯寸( 202/092 )
14 59.767395102644803054 双[3,4,5,4]面積
14 42.255369424239875108 双[3,4,5,4]体積
14 36.000000000000000000 双[3,4,5,4]5 接合角/2( 178/245 )
14 45.000000000000000000 双[3,4,5,4]4 接合角/2( 180/180 )
14 60.000000000000000000 双[3,4,5,4]3 接合角/2( 194/112 )
14 1.2391601148672816338 双[3,4,5,4]5 4 稜寸( 171/138 )
14 .80499198439381116988 双[3,4,5,4]4 3 稜寸( 161/200 )
14 .58423637981674733850 双[3,4,5,4]5 4 稜寸/面芯寸( 111/190 )
14 .37953578161617248109 双[3,4,5,4]4 3 稜寸/面芯寸( 063/166 )
14 双[3,4,5,4] 5 4 個数 60
14 双[3,4,5,4] 4 3 個数 60
2012年12月19日
07[3,3,3,3,4] 多面体
[3,3,3,3,4] の双対多面体の Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体を作っています。
5×5 のすす竹で 完成品の大きさは 70mm の予定です。
二つの cradleで 二種類 ( 3,3形 3,4形) の部品を作っています。
3,3形は 寸法の小さい方で 右下の cradleで 36個作ります。
接合面が 60度＋60度 仰角は 13.38度( 059/248 )で両端を加工します。
3,4形は 寸法の大きい方で 右の二つの cradleで 24個作ります。
片端の接合面や仰角は 3,3形と同じに加工し、
もう片端は 45度＋45度 仰角 23.63度( 105/240 )で加工します。
この多面体も 鏡像体があり 部品の接合方法は
[3,3,3,3,5] の双対多面体 Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体と同じです。
結合部品 (Ｎ形 Ｓ形) があり どちらか一方の部品の集合12セットで多面体が完成します。
小さい部品 (3,3形) 三つでＮのような形に接合しそれに長い部品 (3,4形) を二つ結合させたＮ形を作るタイプと。
小さい部品 (3,3形) 三つでＳのような形に接合しそれに長い部品 (3,4形) を二つ結合させたＳ形 があります。
今回は Ｓ形の結合部品の組合せで作業を進めています。
[3,3,3,3,4]の 準正多面体と 双対多面体の製作が完成しました。
右の図は 以下の数値をもとに底辺の数値 35で 対辺から 稜の部品の実寸を決定しています。
07 .72776796213464204867 双[3,3,3,3,4]4 3 稜寸/面芯寸( 131/180 )
07 .51264139544774378927 双[3,3,3,3,4]3 3 稜寸/面芯寸( 081/158 )
次回は [ 3,4,5,4 ] Rhombicosidodecahedron 斜方20･12面体の双対多面体
Trapezoidal Hexecontahedron 凧形60面体についてお伝えします。
2012年12月19日
07[3,3,3,3,4] 多面体
[3,3,3,3,4] Snub Cubeの 部品製作が完了し 組み立て作業をしています。
5×5 のすす竹で 完成品の大きさは 四角形を底にして 70mm の予定です。
部品寸法は 約30.6mmです。( 35 ÷ 1.143 = 30.621 )
二つの cradleで 二種類(3,3形 3,4形) の部品を作っています。
どちらも 仰角は 21.85度です。
部品を縦方向に置いた場合
三角形をつくる接合面が左右 上下ともにあるもの (3,3形) が 36個と
片側 上下が 三角形を そして他の側の上下が四角形をつくるもの (3,4形) が 24個です。
この多面体には [3,3,3,3,5]と同じく 鏡像体が存在します。
そのため 接合作業で 同じような混乱が生じる場合があります。
これを避けるために
三つの部品 (3,3形) を S状につなげて 二つの部品 (3,4形) を添える方法と
三つの部品 (3,3形) を N状につなげて 二つの部品 (3,4形) を添える方法があります。
S形に 3,4形二つを結合して 三角形二個つなげた基本結合部品と
N形に 3,4形二つを結合して 三角形二個つなげた基本結合部品との
どちらか一方の基本結合部品12個 の組合せで 多面体 [3,3,3,3,4] が完成します。
今回も N形のほうで結合を進めています。
完成しました。 手前は 以前作った [3,3,3,3,5]です。
2012年12月16日
07[3,3,3,3,4] 多面体 製作道具
[3,3,3,3,4] Snub Cube の製作道具を作っているところです。
図右の 二つの傾斜部品は 対辺 91 底辺 227 で表わされる 21.85度の仰角固定部品。
その横が 対辺 147 底辺 125 で表わされる 49.62度×2で左右対称な 接合角固定部品。
図左が 対辺 156 底辺 244 で表わされる 32.59度×2で左右対称な 接合角固定部品です。
双対多面体 [3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron の製作道具を作っているところです。
図右の 傾斜部品は 対辺 59 底辺 248 で表わされる 13.38度の仰角固定部品。
その横が 対辺 194 底辺 112 で表わされる 60.00度×2で左右対称な 接合角固定部品。
図左の 傾斜部品は 対辺 105 底辺 240 で表わされる 23.63度の仰角固定部品。
その横が 対辺 180 底辺 180 で表わされる 45.00度×2で左右対称な 接合角固定部品です。
写真左 上と下 は [3,3,3,3,4] 準正多面体 Snub Cube 製作のcradle です。
上は 四角形に接する稜を作り 21.85度の仰角 49.62度×2で左右対称な 接合角。
下は 三角形に接する稜を作り 21.85度の仰角 32.59度×2で左右対称な 接合角です。
写真右 上と下 は [3,3,3,3,4] 双対多面体 Pentagonal Icositetrahedron 製作のcradle です。
まだ稜部品先端の加工部分の整形が済んでいません。
上は 四角形の上にくる稜を作り 23.63度の仰角 45.00度×2で左右対称な 接合角。
下は 三角形の上にくる稜を作り 13.38度の仰角 60.00度×2で左右対称な 接合角です。
2012年12月10日
07[3,3,3,3,4] 多面体 諸量
[3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体 と
その双対多面体の Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体 の諸量を表示します。
07 [3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体
07 .92819137798557160941 07[3,3,3,3,4]基本数
07 21.845383553837898091 07[3,3,3,3,4]仰角( 091/227 )
07 1.3437133737446017013 07[3,3,3,3,4]頂芯寸( 215/160 )
07 1.2472231679936432518 07[3,3,3,3,4]稜芯寸( 222/178 )
07 49.624148955803785616 07[3,3,3,3,4]4 接合角( 147/125 )
07 32.593962761049053596 07[3,3,3,3,4]3 接合角( 156/244 )
07 1.1426135089259620935 07[3,3,3,3,4]4 面芯寸( 200/175 )
07 1.2133558000218923103 07[3,3,3,3,4]3 面芯寸( 182/150 )
07 19.856406460551018348 07[3,3,3,3,4]面積
07 7.8894773999753902065 07[3,3,3,3,4]体積
07 66.366136216794602533 07[3,3,3,3,4]4 面角
07 76.617293856710015509 07[3,3,3,3,4]3 面角
07 142.98343007350461804 07[3,3,3,3,4]4 3 面角
07 153.23458771342003102 07[3,3,3,3,4]3 3 面角
07 [3,3,3,3,4] 4 3 個数 24
07 [3,3,3,3,4] 3 3 個数 36
07 双対[3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体
07 136.30923289232420382 双[3,3,3,3,4]二面角
07 1.1576617909555498021 双[3,3,3,3,4]面芯寸( 191/165 )
07 23.633863783205397467 双[3,3,3,3,4]4 仰角( 105/240 )
07 13.382706143289984491 双[3,3,3,3,4]3 仰角( 059/248 )
07 .54577648445886681200 双[3,3,3,3,4]4 稜寸( 131/240 )
07 .29673267798599365525 双[3,3,3,3,4]3 稜寸( 073/246 )
07 80.751702088392428768 双[3,3,3,3,4]4 かど角
07 114.81207447790189281 双[3,3,3,3,4]3 かど角
07 1.3614101519264425345 双[3,3,3,3,4]4 頂芯寸( 226/166 )
07 1.2820358469890142117 双[3,3,3,3,4]3 頂芯寸( 200/156 )
07 19.299406563296038279 双[3,3,3,3,4]面積
07 7.4473951888148613654 双[3,3,3,3,4]体積
07 45.000000000000000000 双[3,3,3,3,4]4 接合角/2( 180/180 )
07 60.000000000000000000 双[3,3,3,3,4]3 接合角/2( 194/112 )
07 .84250916244486046725 双[3,3,3,3,4]4 3 稜寸( 107/127 )
07 .59346535597198731050 双[3,3,3,3,4]3 3 稜寸( 127/214 )
07 .72776796213464204867 双[3,3,3,3,4]4 3 稜寸/面芯寸( 131/180 )
07 .51264139544774378927 双[3,3,3,3,4]3 3 稜寸/面芯寸( 081/158 )
07 双対[3,3,3,3,4] 4 3 個数 24
07 双対[3,3,3,3,4] 3 3 個数 36
2012年12月5日
16[5,6,6] 多面体
Pentakis Dodecahedron 五方12面体 がもう少しでできます。
組み立ての 秘訣は 六角形と五角形をまたぐ稜の部品を星型にして 12個作ります。
そして星型と星型とを 六角形と六角形をまたぐ稜部品を間にして 組み合わせて行きます。
接着作業は終わりました。接合面の微調整をし 接着剤のはみ出しを取ります。
右側の Truncated Icosahedron は この Pentakis Dodecahedron と一緒に作っていました。
5×5 のすす竹で 約 70mm の大きさです。
次回は [3,3,3,3,4] Snub Cube 変形立方体 と
その双対多面体の Pentagonal Icositetrahedron 五角24面体 について お伝えします。
2012年12月4日
16[5,6,6] 多面体 製作道具
[5,6,6]の双対多面体の製作準備をしているところです。
部品製作の方法を伝える場合 双対多面体は 元の多面体の構造を基準として説明します。
この多面体に必要な部品は
六角形と六角形をまたぐ部品と 六角形と五角形をまたぐ部品の二種類です。
六角形と六角形をまたぐ部品は 元の多面体の稜寸を 1とした場合 1.854 の稜寸。
部品の両端は六角形の中心の上に来て 左右それぞれ 30度 の接合角で仰角は 20.91度。
30個必要です。
六角形と五角形をまたぐ部品は 元の多面体の稜寸を 1とした場合 1.645 の稜寸。
片端が 六角形の中心の上に来て 左右それぞれ 30.00度 の接合角で仰角は 20.91度。
もう一つの端は 五角形の中心の上に来て
左右それぞれ 36.00度 の接合角で仰角は 16.47度。60個必要です。
次に稜の寸法の決定についてお伝えします。
完成の多面対の面芯寸を 1 とすると
六角形と六角形をまたぐ部品の稜寸は 0.7800。0.7800 対 1 は 156 対 200です。
六角形と五角形をまたぐ部品の稜寸は 0.6919。0.6919 対 1 は 128 対 185です。
二つの部品の寸法の比例関係を正確にするために 罫線紙から求めます。
六角形と六角形をまたぐ部品の場合は
縦方向に 200 横方向に 156 の点に 座標 0,0 から斜線をプロットします。
六角形と五角形をまたぐ部品の場合は
縦方向に 185 横方向に 128 の点に 座標 0,0 から斜線をプロットします。
完成の多面体の高さを 70mm としていますので 面芯寸を 35mm とします。
縦方向に 35の位置から横方向に向けた直線と斜線の交点から
それぞれの稜寸が 実寸として得られます。
六角形と六角形をまたぐ部品の稜寸は 0.7800×35 で 27.30mm。
六角形と五角形をまたぐ部品の稜寸は 0.6919×35 で 24.22mm のはずです。
この操作を 写真右の用紙で行っています。
写真左の用紙で 六角形の上に来る部品の cradle を作ろうとしています。
左右それぞれ 30度 の接合角で仰角は 20.91度。
30.00度のタンジェントは 112/194。20.91度のタンジェントは 089/233 です。
写真中の用紙で 五角形の上に来る部品の cradle を作ろうとしています。
左右それぞれ 36.00度 の接合角で仰角は 16.47度。
36.00度のタンジェントは 178/245。16.47度のタンジェントは 055/186 です。
2012年11月30日
16[5,6,6] 多面体
[5,6,6] Truncated Icosahedron 切頂20面体 (サッカーボール)の
双対多面体 Pentakis Dodecahedron 五方12面体 についてお伝えします。
すす竹 5×5 で 高さ約70mm の立体模型をつくる予定です。
すでにお伝えしている Truncated Icosahedron 切頂20面体も含めて
諸量を表示します。
16 [5,6,6] Truncated Icosahedron 切頂20面体
16 .97943208548641418658 16[5,6,6]基本数
16 11.640723136770606678 16[5,6,6]仰角( 048/233 )
16 2.4780186590676155376 16[5,6,6]頂芯寸( 223/090 )
16 2.4270509831248422723 16[5,6,6]稜芯寸( 233/096 )
16 62.154680232796997218 16[5,6,6]6 接合角( 248/131 )
16 55.690639534406005565 16[5,6,6]5 接合角( 233/159 )
16 2.2672839422285121914 16[5,6,6]6 面芯寸( 229/101 )
16 2.3274384367663271103 16[5,6,6]5 面芯寸( 135/058 )
16 72.607253034133921879 16[5,6,6]面積
16 55.287730758122739236 16[5,6,6]体積
16 69.094842552110700967 16[5,6,6]6 面角
16 73.527789307239603390 16[5,6,6]5 面角
16 138.18968510422140193 16[5,6,6]6 6 面角
16 142.62263185935030436 16[5,6,6]6 5 面角
16 [5,6,6] 6 6 個数 30, 6 5 個数 60
16 双[5,6,6] Pentakis Dodecahedron 五方12面体
16 156.71855372645878664 双[5,6,6]二面角
16 2.3771316059838161118 双[5,6,6]面芯寸( 145/061 )
16 20.905157447889299033 双[5,6,6]6 仰角( 089/233 )
16 16.472210692760396610 双[5,6,6]5 仰角( 055/186 )
16 .92705098312484227231 双[5,6,6]6 稜寸( 178/192 )
16 .71764499555916901903 双[5,6,6]5 稜寸( 122/170 )
16 55.690639534406005565 双[5,6,6]6 かど角
16 68.618720931187988871 双[5,6,6]5 かど角
16 2.5980762113533159403 双[5,6,6]6 頂芯寸( 239/092 )
16 2.5309268686270615215 双[5,6,6]5 頂芯寸( 205/081 )
16 75.565544704433850714 双[5,6,6]面積
16 59.876414880097563514 双[5,6,6]体積
16 30.000000000000000000 双[5,6,6]6 接合角/2( 112/194 )
16 36.000000000000000000 双[5,6,6]5 接合角/2( 178/245 )
16 1.8541019662496845446 双[5,6,6]6 6 稜寸( 178/096 )
16 1.6446959786840112913 双[5,6,6]6 5 稜寸( 250/152 )
16 .77997447073711053264 双[5,6,6]6 6 稜寸/面芯寸( 156/200 )
16 .69188259267762587725 双[5,6,6]6 5 稜寸/面芯寸( 128/185 )
16 双[5,6,6] 6 6 個数 30, 6 5 個数 60
2012年11月30日
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