多面体
Icosidodecahedron 20･12面体 と Rhombic Triacontahedron 菱形30面体 との
複合多面体 compounds の製作途中です。
組み立て作業は終わりました。これから微調整をします。
高さは約 160mm 5×5 のすす竹です。
準正多面体 の複合多面体の製作は 今回が初めてでした。
しかし組み立て方法は簡単です。
Icosidodecahedron や Rhombic Triacontahedron を
作った経験があれば 説明するまでもないと思います。
始めにお伝えしました 十字架状の結合部品の組合せで完成します。
次回は [5,6,6] Truncated Icosahedron 切頂20面体 (サッカーボール)の
双対多面体 Pentakis Dodecahedron 五方12面体 についてお伝えしようと思っています。
2012年11月20日
11[3,5,3,5] Compounds 多面体 製作道具
[3,5,3,5]複合多面体 compounds の寸法の決定についてお伝えします。
[3,5,3,5]多面体と [3,5,3,5]双対多面体の稜芯寸を
同じ値にしなければなりません。
高さを約 160mm に予定をしていましたので、稜芯寸を 80mmとします。
それそれれの稜の寸法を得るために
稜寸と 稜芯寸の比を表わす直線を方眼紙に描きます。
[3,5,3,5]多面体の稜寸と稜芯寸の比は 1 対 1.5388 ( 154/237 ) ですが
稜の中間点で [3,5,3,5]双対多面体の稜と直角に交差するため
対辺 154 の 1/2 の 77 で 底辺 237 の斜線を引きます。
画面にある 3本の斜線の 真ん中の線がそれです。
3本の斜線の右側のが 対辺 125 底辺 250 で 5角形の中心の上にくる稜の比です。
3本の斜線の左側のが 対辺 034 底辺 178 で 3角形の中心の上にくる稜の比です。
縦方向に下から 80の座標の横線と斜線の交点からそれぞれの値が得られます。
この図では より正確な値を得るために 縦線 横線 斜線の必要部分を
カッターナイフで処理しています。実寸で 40.0mm 26.0mm 15.3mm となります。
左上の cradleで 平面に 45度+45度の角度ですべての稜部品の片側を整形します。
その下の ペアーの cradleで26.0mmの部品を 仰角 18度の傾斜で加工します。
左に接合角 58.28度 右に接合角 31.72度で 60個と、
右に接合角 58.28度 左に接合角 31.72度で 60個必要です。
右上の cradleで 40.0mmの部品を 26.57度の仰角で 60個加工します。
その下の cradleで 15.3mmの部品を 10.81度の仰角で 60個加工します。
これらの 4種類の形状部品で 画面にある十字架状の 結合部品を 60個つくります。
これを接着してゆけば 複合多面体が完成します。そのはずです。
この [3,5,3,5]複合多面体は 私にとって初めての製作です。
急いだり、作業に飽きたりして 品質の良くない部品を作らないよう、
ゆっくりと作ってゆこうと思っています。
11 1.5388 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの稜芯寸 ( 237/154 ) 11 .50000 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の寸法/稜芯寸 ( 125/250 ) 11 .19098 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の寸法/稜芯寸 ( 034/178 )
2012年11月11日
11[3,5,3,5] Compounds 多面体 製作道具
[3,5,3,5]の複合多面体 compounds の製作に必要な治具です。
高さを約 160mm にして 5×5 のすす竹でつくる予定をしています。
今回は [3,5,3,5]多面体と[3,5,3,5]双対多面体の
稜の部材の形状加工についてです。
再びの説明となります。寸法の決定については 次回にお伝えします。
三枚あるA4の方眼紙の内の左の方眼紙の中に [3,5,3,5]多面体の治具があります。
方眼紙の左下かどから上方向 233 右方向 144の座標に線をひき、
そして 左上かどから下方向 233 右方向 144の座標に線をひき
58.28度を上下対称にプロットしています。
これが 5角形の接合角です。
この角度と90度との差(余角) が3角形の接合角(31.72度) になります。
つまり 5角形の接合角と 3角形の接合角を合計すると 丁度 90度です。
この方眼紙の右にある三角形ふたつの部材は15mmの厚みのバルサ材で、
対辺 077 底辺 237 でできる 仰角 18度の傾斜です。
これらの上にある 四角形の部材が
仰角18度の余角(72度)で切断面をつくり 寸法や形状を整える治具です。
そして cradleの傾斜の溝にする部材が 2セット写っています。
この多面体には 二種類のcradleが必要です。
左に接合角 58.28度 右に接合角 31.72度のcradleと、
右に接合角 58.28度 左に接合角 31.72度のcradleとです。
つづいて この方眼紙の右の二枚の方眼紙の説明をします。
この二つで [3,5,3,5]双対多面体のcradleを作ります。
二つの内の左側の図で
5角形の中心の上にくる稜を製作するためのcradleを作ります。
方眼紙の左下かどから 右方向 178 上方向 245の座標に線をひき、
そして左右対称に 右下かどから 左方向 178 上方向 245の座標に線をひき、
5角形の上の接合角 36.00度×2 をプロットしています。
傾斜の部材は 対辺 125 底辺 250 でできる 26.57度の仰角です。
二つの内の右側の図で
3角形の中心の上にくる稜を製作するためのcradleを作ります。
方眼紙の左下かどから上方向 194 右方向 112の座標に線をひき、
そして上下対称に 左上かどから下方向 194 右方向 112の座標に線をひき、
3角形の上の接合角 60.00度×2 をにプロットしています。
傾斜の部材は 対辺 034 底辺 178 でできる 10.81度の仰角です。
11 58.283 [3,5,3,5] 5角形の接合角 ( 233/144 ) 11 31.717 [3,5,3,5] 3角形の接合角 ( 144/233 ) 11 18.000 [3,5,3,5] 稜の仰角 ( 077/237 ) 11 36.000 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の接合角/2 ( 360/5度/2 178/245 ) 11 26.565 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の仰角 ( 125/250 ) 11 60.000 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の接合角/2 ( 360/3度/2 194/112 ) 11 10.812 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の仰角 ( 034/178 )
2012年11月9日
[3,5,3,5]多面体と[3,5,3,5]双対多面体との諸量をもとに
複合多面体 compounds を作ってゆきます。
すでに諸量は お伝えしているのですが表示や説明が 稚拙だったと反省しています。
改めてお伝えします。
[3,5,3,5]の諸量です。
11 Icosidodecahedron 20･12面体 11 .95106 [3,5,3,5] 基本数 11 18.000 [3,5,3,5] 稜の仰角 ( 077/237 ) 11 58.283 [3,5,3,5] 5角形の接合角 ( 233/144 ) 11 31.717 [3,5,3,5] 3角形の接合角 ( 144/233 ) 11 1.6180 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの頂芯寸 ( 233/144 ) 11 1.5388 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの稜芯寸 ( 237/154 ) 11 1.3764 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの 5角形の面芯寸 ( 245/178 ) 11 1.5115 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの 3角形の面芯寸 ( 198/131 ) 11 60 [3,5,3,5] 5角形と 3角形の間の稜の必要個数 11 29.305982844911989541 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの面積 11 13.835525936249404140 [3,5,3,5] 稜寸を 1としたときの体積 [3,5,3,5]双対多面体 Rhombic Triacontahedron の諸量です。 寸法は もとの多面体 Icosidodecahedron の稜寸が 1のとき、 複合多面体となる寸法にしています。つまり 稜芯寸が同じです。 もとの多面体の 3角形や5角形の位置をもとに計算しています。 11 Rhombic Triacontahedron 菱形30面体 11 26.565 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の仰角 ( 125/250 ) 11 10.812 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の仰角 ( 034/178 ) 11 36.000 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の接合角/2 ( 360/5度/2 178/245 ) 11 60.000 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の接合角/2 ( 360/3度/2 194/112 ) 11 1.4635 双対[3,5,3,5] 面芯寸 ( 221/151 ) 11 1.5388 双対[3,5,3,5] 稜芯寸 ( 237/154 ) 11 .76942 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の寸法 ( 177/230 ) 11 .29389 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の寸法 ( 072/245 ) 11 .50000 双対[3,5,3,5] 5角形の中心の上にくる稜の寸法/稜芯寸 ( 125/250 ) 11 .19098 双対[3,5,3,5] 3角形の中心の上にくる稜の寸法/稜芯寸 ( 034/178 ) 11 1.0633 双対[3,5,3,5] 5角形と3角形をまたぐ稜の寸法 ( 168/158 ) 11 .72654 双対[3,5,3,5] 5角形と3角形をまたぐ稜の寸法/面芯寸 ( 178/245 ) 11 60 双対[3,5,3,5] 5角形と3角形をまたぐ稜の必要個数 11 30.338137289060528404 双対[3,5,3,5] 面積 11 14.800212429686842801 双対[3,5,3,5] 体積
2012年11月3日
[3,6,6]の双対多面体 Triakis Tetrahedron 製作が完成です。
左の[3,6,6] Truncated Tetrahedron 切頂4面体と この大きさで複合多面体ができます。
材質は 5×5 のすす竹です。鋭い面の角度 (60度) の加工にてこずりました。
[3,6,6]の複合多面体の製作には 上の二つの多面体を作る行程数と、
それにそれぞれの稜を直角に交差させるための加工作業が加わります。
複合多面体の製作については しばらく後にお伝えしようかとおもいます。
次回は 最初のブログで お伝えした、
11 [3,5,3,5] Icosidodecahedron 20･12面体
11 双対[3,5,3,5] Rhombic Triacontahedron 菱形30面体
の 複合多面体について説明しようかと思っています。
2012年11月3日
[3,6,6]の双対多面体製作に必要な 図面と治具です。
左の図にあるのが
片方の接合角が 60度 両方を合わせて 120度の cradleと、
片方の接合角が 30度 両方を合わせて 060度の cradleです。
角度決定は 対辺 112 底辺 194 で 上下対象に角度 60＋60 をプロットしています。
その余角の 対辺 194 底辺 112 の斜線で 左右対称に角度 30＋30 が得られます。
06 60.000 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜の接合角 ( 180/3度 194/112 )
06 30.000 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜の接合角 ( 180/6度 112/194 )
中間に置いてある用紙が二種類の仰角を得るための図面です。
左の三角形の傾斜は
対辺 056 底辺 198 で得られる 15.8度のゆるい角度です。
接合角が 120度あるcradleの仰角となります。
この角度の余角で
もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜の片方の 切断面の角度にします。
06 15.793 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜の仰角 ( 056/198 )
その右下の三角形の傾斜は
対辺 239 底辺 169 で得られる54.7度の きつい角度です。
接合角が 60度あるcradleの仰角となります。
この角度の余角で
もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜の両方の 切断面の角度にします。
06 54.736 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜の仰角 ( 239/169 )
右の図面で 稜の部品の寸法を決定します。
もとの多面体の高さを 70mm として
その稜と直交して接する稜の寸法にしています。
もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜寸が 77.2mm。
もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜寸が 128.6mmとなります。
06 1.1023 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜寸 / 基準高 ( 194/176 )
06 1.8371 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜寸 / 基準高 ( 248/135 )
2012年10月31日
[3,6,6]の双対多面体 Triakis Tetrahedron 三方4面体 の製作についてお伝えします。
[3,6,6]双対多面体製作に必要な諸量です。
寸法は もとの多面体 Truncated Tetrahedron の稜寸が 1のとき、
複合多面体 compounds となる寸法にしています。つまり 稜芯寸が同じです。
06 .61237 [3,6,6] もとの多面体の稜寸を 1としたとき その 6角形の面芯寸 06 1.0206 [3,6,6] もとの多面体の稜寸を 1としたとき その 3角形の面芯寸 06 1.6330 [3,6,6] もとの多面体の稜寸を 1としたとき上の二つの値の合計。 つまり多面体[3,6,6]の高さ ( 178/109 の比例関係 )であり、これを "基準高" とします。 06 54.736 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜の仰角 ( 239/169 ) 06 15.793 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜の仰角 ( 056/198 ) 06 30.000 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜の接合角 ( 180/6度 112/194 ) 06 60.000 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜の接合角 ( 180/3度 194/112 ) 06 1.5000 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜寸 06 .30000 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜寸 06 1.8000 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜寸 06 1.1023 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜寸 / 基準高 ( 194/176 ) 06 3.0000 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜寸 06 1.8371 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜寸 / 基準高 ( 248/135 ) 06 17.909773867919159185 双対[3,6,6] 面積 06 5.7275649276110349476 双対[3,6,6] 体積 06 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と3角形をまたぐ稜の必要個数は 12 06 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形と6角形をまたぐ稜の必要個数は 06 以下の値は複合多面体製作に必要な諸量です。 06 .30619 [3,6,6] もとの多面体の稜寸 / 基準高 / 2 ( 064/209 ) 06 .91856 双対[3,6,6] もとの多面体の6角形の上の稜寸 / 基準高 ( 158/172 ) 06 .18371 双対[3,6,6] もとの多面体の3角形の上の稜寸 / 基準高 ( 045/245 )
2012年10月28日
[3,6,6] 切頂4面体 Truncated Tetrahedron の製作途中です。
多面体の諸量です。
06 Truncated Tetrahedron 切頂4面体
06 .90453 [3,6,6] 基本数
06 25.239 [3,6,6] 稜の仰角 ( 099/210 )
06 73.221 [3,6,6] 6角形の接合角 ( 199/060 )
06 33.557 [3,6,6] 3角形の接合角 ( 132/199 )
06 1.1726 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの頂芯寸 ( 197/168 の比例関係 )
06 1.0607 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの稜芯寸 ( 175/165 の比例関係 )
06 .61237 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの 6角形の面芯寸 ( 109/178 の比例関係 )
06 1.0206 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの 3角形の面芯寸 ( 099/097 の比例関係 )
06 1.6330 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの 多面体の高さ
06 12.124 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの面積
06 2.7106 [3,6,6] 稜寸を 1としたときの体積
06 [3,6,6] 6角形と 3角形の間の稜の必要個数は 12
06 [3,6,6] 6角形と 6角形の間の稜の必要個数は 06
完成です。左は [3,3,3,3,5] 右は [3,4,5,4] です。
高さはどれも 7cmほどです。
多面体を並べて 展示することを考えると、
作品のどんな形状がどんな大きさでうまくバランスが取れるのか、
このことについては いつも考えさせられます。
これはうまくいっていません。
2012年10月27日
13[3,3,3,3,5] Carbon nanotube 多面体
Ｓ形の結合部品の組合せ作業のみで迷うことなく簡単に
Pentagonal Hexecontahedron が完成しました。
簡単にとは言っても 稜部品のカットと整形には 飽きるほど単純な反復作業に耐えてきましたが。
次に何をしようかと迷っています。
今までの製作方法の説明と 諸量のデータで 正多面体 準正多面体 双対多面体 そしてそれらの複合多面体 compounds はつくれるはずです。
しかし 私の説明がうまく伝えられていればのことですが。
私自身まだ 作っていない多面体や 複合多面体がありますので
思いつくまま製作して それをお伝えしようかなと 今思っています。
一番最初のブログで お伝えするとしてまだ実行していないものがあります。
それはカーボンナノチューブ (Carbon nanotube) 模型です。
平面充填六角形の円柱座標での取り扱いという単純な作業ではなく。
平面充填三角形のかど点を 三次元の中の円柱面に投影するという説明が必要です。
またその中のタイプの spiral な形状の説明も必要となってきます。
私には大変 困難なことです。少しずつ 準備をしてゆこうと思っています。
球ではなく円柱を取り扱うため symmetry なことではかなり劣りますし。
sashimono としては歪みが生じます。
どれだけ関心のある方たちが居られるかも不安ではあります。
2012年10月21日
[3,3,3,3,5] 双対多面体 Pentagonal Hexecontahedron 製作途中です。
左上の四角形の板で作った部品で 三角形の面の上にくる稜の部品をカットします。
その右下の四角形の板で 五角形の面の上にくる稜の部品をカットします。
左端中ほどの 角度の鋭い加工部分のある cradle で五角形の面の上にくる稜部品を整形します。 19.158度の仰角があります。
そしてもう片方の鈍角な加工部分のある cradle で三角形の面の上にくる稜部品を整形します。 7.912度の仰角があります。
寸法の長い 三角形面と五角形面とをまたぐ稜部品はこの二つの cradle をつかいます。
寸法の短い 三角形面と三角形面とをまたぐ稜部品は鈍角な加工部分のある cradle のみをつかいます。
部品は二種類 (3,3形 3,5形) です。
部品を縦方向に置いた場合 以下の形状と個数でず。
三角形をつくる接合面が左右 上下ともにあるもの (3,3形) が 90個必要です。
上下どちらか一端の 左右が 三角形を そしてその反対側の 左右が五角形をつくるもの (3,5形) が 60個必要です。
この[3,3,3,3,5] 双対多面体も鏡像体が存在し 接合作業で混乱が生じる場合があります。
それを回避するための一つの方法が以下です。
元の[3,3,3,3,5] 多面体と同じように 基本的な結合部品があります。
形状が鏡像関係にある結合部品 (Ｎ形 Ｓ形) があり どちらか一方の部品の集合で多面体が完成します。
画面中ほど上に 小さい部品 (3,3形) 三つでＮのような形に接合しそれに長い部品 (3,5形) を二つ結合させた結合部品が Ｎ形 です。
画面中央に 小さい部品 (3,3形) 三つでＳのような形に接合しそれに長い部品 (3,5形) を二つ結合させた結合部品 (Ｓ形) があります。
今回は Ｓ形の結合部品の組合せで作業を進めてゆこうとしています。
2012年10月19日
[3,3,3,3,5] 双対多面体 Pentagonal Hexecontahedron 製作に必要なもの についてお伝えします。
左のグラフ用紙の上方向にある 三角形の部品は 元の多面体 (変形12面体 Snub Dodecahedron) の 5角形の上にくる稜の仰角をつくる傾斜部品です。その角度は 底辺 213 対辺 074 で表される 斜線をプロットして得られます。
その線に沿って置いてある四角形の板が 90度から仰角を引いた角度 (余角)で稜部品をカットするものです。
10×10 の角材の断面の対角線方向にカットした形状のものを二本貼っています。
左下方向にある 三角形の部品は 元の多面体 (変形12面体 Snub Dodecahedron) の 3角形の上にくる稜の仰角をつくる傾斜部品です。
底辺 223 対辺 031 で表される 斜線をプロットして得られます。
四角形の板はその余角で稜部品をカットするものです。
右のグラフ用紙は [3,3,3,3,5] 双対多面体の稜寸を求めるものです。
二本の勾配を比較して 90度に近い方が 3角形と3角形とをまたぐ稜寸を決めるものです。
双対多面体の面から双対多面体の中芯点までの距離 (面芯寸)を 1としたとき
稜の寸法は 0.2858 になり 対辺 070 底辺 245 でグラフ用紙にその比が得られます。
二つ目の勾配の線が5角形と3角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸 ( 125/250 ) です。
グラフ用紙に載っている二つの部品は 面芯寸が 100mmのときの 稜の部品の寸法になっています。
2012年10月18日
[3,3,3,3,5] 双対多面体の クレィドル cradle の製作中です。
左側のグラフ用紙の上に乗った部品の説明をします。
元の多面体 (変形12面体 Snub Dodecahedron) の
5角形の上にくる稜をつくる cradle です。
接合角は 72度で 左右それぞれ 36度 (360/5/2度 178/245) になります。
その角度は 底辺 245 対辺 178 で表される 斜線を
左右対称にプロットして得られます。
その上方向にある 三角形の部品は
19.158度 (074/213) の仰角をつくる傾斜部品です。
その角度は 底辺 213 対辺 074 で表される 斜線をプロットして得られます。
厚さが 20mm のバルサ材です。
その横にあるのが 巾 30mm の薄板の上に部品を貼ったものです。
10×10 の角材の断面の対角線方向にカットした形状のものを二本貼っています。
対角線方向を下にしています。
右側のグラフ用紙の上に乗った部品の説明をします。
元の多面体 (変形12面体 Snub Dodecahedron) の
3角形の上にくる稜をつくる cradle です。
接合角は 120度で 左右それぞれ 60度 (360/3/2度 194/112) になります。
その角度は 底辺 112 対辺 194 で表される 斜線を
左右対称にプロットして得られます。
その上方向にある 三角形の部品は
7.912度 (031/223) の仰角をつくる傾斜部品です。
その角度は 底辺 223 対辺 031 で表される 斜線をプロットして得られます。
2012年10月17日
上は[3,3,3,3,5] 双対多面体 Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体です。
これからつくる製作説明の多面体は 10×10 のバルサ材で
直径20cm の大きさにしようと思っています。
正多面体や準正多面体 の稜寸や仰角は 1種類ですが
双対多面体の稜寸は ほとんど複数あります。
稜寸が1種類でも 仰角は複数あります。
[3,3,3,3,5] 双対多面体は
5角形と3角形の間の稜(3,5形)と 3角形と3角形の間の稜(3,3形) の二種類あります。
もとの多面体[3,3,3,3,5]を基準として以下に諸量の説明をします。
つまりもとの多面体の稜芯寸と こちらの稜芯寸とが同じ値としています。
面芯寸は 2.0399 です。
(3,5形)の稜寸は 1.0200 で 面芯寸との比は 125/250 です。
対辺 125 底辺 250 の比例関係をグラフにプロットしますと
対辺 100mm (作ろうとする多面体の半径) に対する 底辺の実寸は 約50mm になります。
つまり 直径 200mm の (3,5形)の稜寸は 約50mm です。
マザーになる部品の寸法を グラフから決定し それをコピーしながら部品を作ってゆきます。
(3,3形)の稜寸は 0.5829 で 面芯寸との比は 070/245 です。
直径 200mm の (3,3形)の稜寸は 約29mm です。
5角形の上にくる稜の仰角は 19.16度です。
グラフの上に 対辺74 底辺213 で表示できる角度です。
材料カットに必要な 仰角の余角 ( 90 – 19.16 ) もこれから求めます。
3角形の上にくる稜の仰角は 7.91度です。
グラフの上に 対辺31 底辺223 で表示できる角度です。
(3,5形)の稜の必要個数は 60で (3,3形)の稜の必要個数は 90です。
5角形の上にくる稜の接合角は 360 / 5 で 072度なので それぞれ片方が 36度になります。
3角形の上にくる稜の接合角は 360 / 3 で 120度なので それぞれ片方が 60度になります。
今回から 文章の表現方法を変えています。
過去の文章にも 修正を施しました。
英語への自動翻訳を少し意識しています。
以前の多くの文章が自動翻訳では 理解困難だったかもしれません。
2012年10月10日
[3,3,3,3,5] の稜の部品加工が終了し 組み立て作業に入っています。
部品は二種類 (3,3形 3,5形) で 部品を縦方向に置いた場合
三角形をつくる接合面が左右 上下ともにあるもの (3,3形) が 90個と
片側 上下が 三角形を そして他の側の上下が五角形をつくるもの (3,5形) が 60個です。
この多面体には鏡像体が存在するため 接合作業で混乱が生じる場合があります。
これを避けるために 今回は一つの方法をとっています。
画面左下のほうに三つの部品 (3,3形) を S状につなげて 二つの部品 (3,5形) を添えているのと
三つの部品 (3,3形) を N状につなげて 二つの部品 (3,5形) を添えているのがありますが
S形に 3,5形二つを結合して 三角形二個つなげた基本結合部品と
N形に 3,5形二つを結合して 三角形二個つなげた基本結合部品との
どちらか一方のみの組合せで多面体 [3,3,3,3,5] が完成します。
今回 N形のほうで結合を進めています。
完成しました。
次回は [3,3,3,3,5] 双対多面体 Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体の
製作手順を お伝えします。
2012年10月9日
[3,3,3,3,5]準正多面体 の 変形12面体 Snub Dodecahedron の製作部品をつくってゆきます。
作業盆上の四角形の寸法カット用治具は ストッパーもガイドも付けていません。
位置決めのしるしに合わせて ノコギリでカットしてゆくだけです。
作業に慣れや 理解が進めば治具をシンプルにしてゆきます。
10×10 のバルサ材で 14cm の大きさにしようと思っています。
接合面の角度整形をする前の 部品は 1種類で 150個必要です。
仰角 13.411度は グラフ用紙に 対辺 36 底辺 151 の斜線から求め
材料カットに必要な 仰角の余角 ( 90 – 13.411 ) もこれから求めます。
寸法は 三角形の面を底にしたときの高さを 14cm として計算しました。
面芯寸は 2.0771 なので 対辺 243 底辺 117 の比例関係をグラフにプロットし
対辺 70 に対する 底辺の 実寸がその寸法で 約 33.7mm です。
もくもくと ただひたすら カット作業を進めてゆきます。
[3,3,3,3,5] 双対多面体は 10×10 のバルサ材で 20cm の大きさの製作を予定しています。
2012年10月5日
今回から [3,3,3,3,5] の多面体とその双対についてお伝えします。
左が [3,3,3,3,5] 変形12面体 Snub Dodecahedron を 5×5の太さのすす竹で表現。
高さは約 70mmです。
右が その双対多面体で Pentagonal Hexecontahedron 五角60面体。
高さは約 105mmです。
どちらの多面体も 鏡面対称の立体が存在します。
多面体の諸量です。
13 変形12面体 Snub Dodecahedron 13 0.9727 [3,3,3,3,5] 基本数 13 13.411 [3,3,3,3,5] 稜の仰角 ( 036/151 ) 13 56.273 [3,3,3,3,5] 5角形の接合角 ( 250/167 ) 13 30.932 [3,3,3,3,5] 3角形の接合角 ( 148/247 ) 13 2.1558 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの頂芯寸 ( 166/077 の比例関係 ) 13 2.0971 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの稜芯寸 ( 216/103 の比例関係 ) 13 1.9809 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの 5角形の面芯寸 ( 208/105 の比例関係 ) 13 2.0771 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの 3角形の面芯寸 ( 243/117 の比例関係 ) 13 55.287 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの面積 13 37.617 [3,3,3,3,5] 稜寸を 1としたときの体積 13 [3,3,3,3,5] 5角形と 3角形の間の稜の必要個数は 60 13 [3,3,3,3,5] 3角形と 3角形の間の稜の必要個数は 90 双対の諸量 ( もとの多面体の 稜芯寸と こちらの稜芯寸とが同じ値として) 13 五角60面体 Pentagonal Hexecontahedron 13 2.0399 双対[3,3,3,3,5] 面芯寸 13 2.0971 双対[3,3,3,3,5] 稜芯寸 13 2.2200 双対[3,3,3,3,5] 5角形上の頂芯寸 13 2.1172 双対[3,3,3,3,5] 3角形上の頂芯寸 13 19.158 双対[3,3,3,3,5] 5角形上の稜の仰角 ( 074/213 ) 13 7.9123 双対[3,3,3,3,5] 3角形上の稜の仰角 ( 031/223 ) 13 36.000 双対[3,3,3,3,5] 5角形上の稜の接合角 ( 180/5度 178/245 ) 13 60.000 双対[3,3,3,3,5] 3角形上の稜の接合角 ( 180/3度 194/112 ) 13 1.0200 双対[3,3,3,3,5] 5角形と3角形とをまたぐ稜寸 13 0.5829 双対[3,3,3,3,5] 3角形と3角形とをまたぐ稜寸 13 0.5000 双対[3,3,3,3,5] 5角形と3角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸 ( 125/250 ) 13 0.2858 双対[3,3,3,3,5] 3角形と3角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸 ( 070/245 ) 13 55.281 双対[3,3,3,3,5] 面積 13 37.588 双対[3,3,3,3,5] 体積 13 双対[3,3,3,3,5] 5角形と 3角形の間の稜の必要個数は 60 13 双対[3,3,3,3,5] 3角形と 3角形の間の稜の必要個数は 90
2012年10月4日
[4,6,10] 双対多面体の接合が完了したところです。
まだまだ結合にむらがあり 修正をしてゆきます。
接合面にまだ可塑性が残っているためそれが可能です。
しかし 色々と修正を加えてもシィメトリではない いびつな部分が残ってしまいました。
角度 寸法 加工 等の誤差や 材質のばらつきなどが どうしても発生しています。
いつも誤差との戦いです より完全なシィメトリに強くあこがれます。
2012年10月3日
[4,6,10] の双対多面体の製作途中です。
三角形が基本の形ですが 鏡面対象の 二種類あります。
前回お伝えした [4,6,10] 多面体と同じく どちらか一つの形状を基本部品として
部分から 中間的形状を作り それらを組合せ 全体的形状に組み立ててゆきます。
接着剤は 透明タイプの合成ゴム系です。
バルサ材は 白っぽいので 透明タイプではないと 接着剤の色が気になることがあります。
合成ゴム系の接着剤は 素早く接着できて 接着面に可塑性がしばらく残り
組み立て作業がスムーズに進みます。
2012年10月2日
10角形と06角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 68.93mm です。
左が 10角形の上の稜の形状をつくるクレィドル cradle で
接合角は左右それぞれ 18度 ( 077 / 237 ) 仰角は 24.095度 ( 072/161 ) です。
右が 06角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 30度 ( 112 / 194 ) 仰角は 13.283度 ( 055/233 ) です。
10角形と04角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 58.61mm です。
左が 10角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 18度 ( 077 / 237 ) 仰角は 24.095度 ( 072/161 ) です。
右が 04角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 45度 ( 180 / 180 ) 仰角は 7.623度 ( 019/142 ) です。
06角形と04角形とをまたぐ稜の製作です。
稜寸は 37.31mm です。
左が 06角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 30度 ( 112 / 194 ) 仰角は 13.283度 ( 055/233 ) です。
右が 04角形の上の稜の形状をつくる cradle で
接合角は左右それぞれ 45度 ( 180 / 180 ) 仰角は 7.623度 ( 019/142 ) です。
2012年9月28日
双対 [4,6,10] をつくるための治具や図です。
私は左ききのため画像は 左右反転しています。
今回は 10×10 のバルサ材で 高さ 20cm の大きさに作る予定です。
画面の右の図は 面芯寸 100mm に対する稜の寸法を決定するためのものです。
前回お伝えした 諸量 (下の三行 )をもとにしてグラフ用紙に 図を描いています。
18 0.6893 ( 122 / 177 ) 双対[4,6,10] 10角形と06角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.5861 ( 143 / 244 ) 双対[4,6,10] 10角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
18 0.3731 ( 075 / 201 ) 双対[4,6,10] 06角形と04角形とをまたぐ稜寸 / 面芯寸
用紙の上に置いている部品の 一番上の寸法の長いのが
10角形と06角形とをまたぐ稜で
面芯寸 100 に対し68.93 であることを 実寸で確認できます。
対辺 122 底辺 177 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
上からみて 次の部品は 10角形と04角形とをまたぐ稜寸で
面芯寸 100 に対し 58.61 であることを 実寸で確認できます。
対辺 143 底辺 244 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
そして 次の部品は 06角形と04角形とをまたぐ稜寸で
面芯寸 100 に対し 37.31 であることを 実寸で確認できます。
対辺 075 底辺 201 の傾きの線でこの比例関係が得られます。
左側にあるのが 上から 10角形用 6角形用 4角形用 の cradle と
寸法カット用 治具です 以下の諸量をもとにしています。
18 24.094842552110700967 双対[4,6,10] 10角形上の稜の仰角 ( 072/161 )
18 13.282525588538994676 双対[4,6,10] 06角形上の稜の仰角 ( 055/233 )
18 7.6226318593503043571 双対[4,6,10] 04角形上の稜の仰角 ( 019/142 )
18 18.000000000000000000 双対[4,6,10] 10角形上の接合角 ( 180/10度 )
18 30.000000000000000000 双対[4,6,10] 06角形上の接合角 ( 180/06度 )
18 45.000000000000000000 双対[4,6,10] 04角形上の接合角 ( 180/04度 )
18度は 077 / 237 30度は 112 / 194 45度は 180 / 180 で得られます。
2012年9月27日
