多面体
01[3,3,3] 02[3,3,3,3] 03[4,4,4] 04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 諸量
2×10 の板棒で作った 正多面体です。
画像手前の多面体は これからお伝えしようとしている 立体です。
左から 01[ 3,3,3 ] , 02[ 3,3,3,3 ] , 03[ 4,4,4 ] です。
後方左は 09[5,5,5] そして 04[3,3,3,3,3]。
諸量を表示しておきます (稜寸は 1 として)。
面積 体積 基本数 頂芯寸 稜芯寸 面芯寸 仰角 片接合角 二面角
01 1.73205 .117851 .577350 .612372 .353553 .204124 54.7356 60.0000 70.5288
02 3.46410 .471405 .707107 .707107 .500000 .408248 45.0000 45.0000 109.471
03 6.00000 1.00000 .816497 .866025 .707107 .500000 35.2644 60.0000 90.0000
04 8.66025 2.18169 .850651 .951057 .809017 .755761 31.7175 36.0000 138.190
09 20.6457 7.66312 .934172 1.40126 1.30902 1.11352 20.9052 60.0000 116.565
作り方については 現在 資料作成中です。
画像下側左右は複合多面体です。
2016年2月24日
04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 製作道具
複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] の 前回作品の改良版です。
画像下右が それで 接合部分に空洞がないのが お判りでしょうか。
寸法の補正はせず 30mm と 49mm の部材で作っています。
二種類の 台形状の部材の作り方は同じで 加工作業を一つ追加しました。
その作業に必要な 治具が 下の二つです。
稜線の集合している 多面体の頂の部分に 部材が届くように
接合部分を尖らせる加工を 施すものです。
このブログで お伝えしている
角材でつくる多面体の クレィドル cradle と言っている治具と同じ機能です。
下左は 稜部品が 5本 均等に一点に集まるように 360/5 となる 36 × 2 の 角度に整形します。
36° の角度に加工した6mm 厚のファルカタ材 二つで作っています。
加工部分を 垂直にするために 仰角の 31.72° と同じ傾斜角度になっています。
部材と同じ 2mm 厚の 板棒で 傾きと添え板をつくっています。
もう一つの治具は 同じように 360/3 となる 60 × 2 の 角度の 開き角と
20.91° の仰角になっています。
2016年2月7日
04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 製作道具 諸量
今回は [5,5,5] と [3,3,3,3,3] を複合させた立体についてお伝えします。
この複合多面体 は バルサ材の棒での製作説明でも 既にお伝えしています。
下画像 右上が それです。
大きさは その左側の二つと比べると 少し大きめです。
[5,5,5] に対応する 稜の寸法は 約 30mm で
前回まで説明している [5,5,5] と同じ寸法ですが
稜芯寸 × 2 が高さになるため 少し大きくなっています。
本来 多角形の組み合わせでてきる多面体の 面と面の接する部分(稜線) は線ですが
ここでは 幅のある線を用いるため
線と線とが 交わる点(頂) は仮想空間上に存在します。
一点に集まる 稜線の幅を 一辺とする 多角錐の頂点ともみなせます。
そのため 幅のある線の端から 頂までの距離は 多面体の形状によって異なります。
複合多面体模型の 幅のある稜線を作る部材の寸法には 補正が必要ということです。
補正する前の 計算としては
[5,5,5] の稜寸 30mm に対し [3,3,3,3,3] のは 約 49mm です。
補正の計算では
[5,5,5] の 30mm を 稜線の厚み分の 丁度 2mm をたした 32mm と
[3,3,3,3,3] は 約 49mm のそのままとなりました。
しかし 実際に製作してみると 30mm と 48mm の 値でうまくいったようです。
下画像がそれです。
全体の寸法のわりに 稜の幅が大きく 接着剤の厚みや 部材の加工誤差 等々
理由は 補正値の計算間違えの可能性も含めて 色々と考えられます。
部材の加工について説明します。
[5,5,5] の部材は 30mm から 板棒の厚み 2mm を引いた 28mm の半分にし
片側が 約69.1 度 もう一方が直角の 台形に整形し60個つくります。
[3,3,3,3,3] は 48mm の 左右約 58.3 度の角度をもつ 台形にし 30個。
二種類の部材を 十字状の ユニットに木工用ボンドで 30 組作り
合成ゴム系ボンドで 組み立てれば 完成です。
上画像の 四角い板でできた治具を台にして 十字状に加工します。
既に作った 十字状ユニットを 板に貼ってあるだけです。
長い部材を 短い二つの材で挟むように 台の上で合わせます。
しばらくすると 長いほうの部材を持って 上にあげても
形を維持しながら もちあがります。
慣れてくれば スムーズな作業ができます。
十字状ユニットをまとめて 電子レンジで 乾燥させ
(安全に対しては それぞれの方の 責任にてお願いします)
あとは 合成ゴム系ボンドで 接着すれば 意外と早く完成します。
以前は 製作説明を 10 × 10 のバルサ材の棒で 主にしていたので
作品の数が増えて 収納に困難をきたしました。
そのため バルサ材の棒で作った作品は フリーマーケットに出店し処分しました。
[5,5,5]+[3,3,3,3,3] の多面体も 含めてです。
後で少し後悔です。プロトタイプの 一点ものでした。
2016年1月24日
04[3,3,3,3,3] ポーカーの確率 多面体 製作道具
[3,3,3,3,3] 正二十面体 Icosahedron の 板棒での製作についてお伝えします。
前回までの [5,5,5] の説明を 理解されているものとして 説明します。
[5,5,5] と同じ大きさにしようとしています。
[5,5,5] の稜寸 は 30mm でしたので
面芯寸 1.11 × 30 × 2 で 高さは 約 67mm てした。
[3,3,3,3,3] の 面芯寸は 稜寸 1 に対して 約 0.756 なので
[3,3,3,3,3] の稜寸 は 67 / 2 / 0.756 で 約 44mm となります。
治具の加工角度は 90 – 31.72 で 約 58.28 度です。
直角を挟む二辺の 比としては 233/144 もしくは 288/178 が近似値です。
下画像 中ほどが その治具と 完成品です。
部材と部材の接合部分は 正五角形の筒状の空洞ができるようにします。
あとは正三角形に正三角形を次々と付けてゆくだけです。
三十枚の部材全部の両端に 合成ゴム系接着剤を塗布し
最初に塗った部材から 順次接着してゆけば あっけなく完成です。
画像右に電卓が二つ写っています。
上が Casio FX-915 で 三十年ほど前に買ったものです。
ソーラーバッテリーを電源とし 今も正常ですが
薄型のため 入力操作に 円滑さは不足しています。
ポーガーの確率計算で 組み合わせの数 52 C の 5 で
2598960 の 値が 簡単に 出てきたのに感激したのを覚えています。
下は 現在活用している Canon F-502G です。
今 最もリーズナブルに 購入できる 関数電卓の一つです。
2016年1月18日
09[5,5,5] 多面体
[5,5,5] の 部材の接合方法の 一つの例として 組み方を説明します。
下画像の 左下からその上へ 中下から上 右下から と説明します。
合成ゴム系接着剤 を使用しています。
左下の Ｙ字状ユニット は 三つの部材で 組み立てています。
平面上に二つの部材を接合し
もう一つの部材の片側にも 接着剤をつけて 数分放置します。
二つの部材の接着面を折り曲げ もう一つの部材とで
正三角柱の空洞ができるような接合をします。
Ｙ状のユニットの上のＨ状ユニットも 同じ方法で作っています。
このＨ状ユニットを 基本ユニットとして六個 製作しています。
中下で Ｈ状ユニット二つを 結合しようとしています。
部材を三つつなげた部分と 部材を二つつないだ部分とを合わせます。
そのようなユニットを 二つ接合しようとしているのが 中上です。
右下で 残りの二つの 基本ユニットを接合し 右上になります。
2016年1月11日
09[5,5,5] 多面体 製作道具
シリーズで お伝えしている [5,5,5] Dodecahedron 正12面体 についてです。
2 × 10× 30 の板棒の５枚組みを 作っています。
基準となるべき形状に加工し
５枚貼り合わせた部材を マザーとしています。赤く塗ったものがそれです。
セロテープて５枚結合した板棒の 切断部位と方向を 確認しているところです。
左右 69.1 度ぼどの角度の面をもつ 10× 10× 30 の 部材を ６個作ろうとしています。
のこぎりで切断した面は その都度 材料棒の面と部材の面の 両方を
治具で 整形し 部材は 基準と比較し 寸法合わせまでしています。
作業手順は 色々と考えられますが
私はこの方法が 歩留まりや 作業性 の面でいいと思っています。
私は 部材を整形する道具を ドレサーと いっています。
ドレサー ( dresser ) は 工業用語としては
以下のような意味があるようです。
使用を続けている中で 劣化が進み 性能が低下した道具の表面を
整え その部位の機能を回復させるもの。
加工途中の製品の表面を
平滑にし整え より完成品に近づけるもの。
2016年1月9日
09[5,5,5] 多面体
[5,5,5] Dodecahedron 正12面体 についてお伝えします。
下画像は 治具つくりと 板棒の扱いについて説明するために載せました。
厚さ 2 mm 幅 10 mm の 板棒で作ってゆきます。右側に 写っています。
2 × 10 の板棒と それを 5 枚束ねて
螺旋状にセロテープを巻き付けた 10 × 10 の棒です。
稜寸を 30 mm ぐらいにしようと思っています。
稜寸を 1 としたときの 多面体の面から 中芯までの寸法は
面芯寸なので 約 1.114 になります。
稜寸を 30 mm とした場合 30 × 1.114 × 2 で 66.84
約 67 mm の大きさになります。
長寸が 30 mm で 2 × 10 の板棒を
左右 69.095° にカットした 台形状の 部材を 30 個つくります。
Ａ４の罫線紙とコピー用紙が写っています。
[5,5,5] の仰角 20.905 度 を表す線が 3 本 記されています。
それは 直角三角形の斜辺ですから 90 から 20.905 を引いた
69.095 度も表示しています。この角度が今回必要な角度です。
Ａ４のコピー用紙には
対辺 089 底辺 233 と 対辺 110 底辺 288 で 直角三角形が描かれ
どちらも 斜辺の角度が 20.905 度の近似値になっています。
Ａ４のコピー用紙は 身近にあり いつでも
分度器よりも精度の高い角度を示すツールにはなりますが
角度を表す起点の位置に制約があります。
罫線紙の場合は 起点の位置にも自由度が高く
1 mm 刻みで 垂直線 水平線が得られ 利便性が高いです。
左の治具が 私のような左利きように作ろうとしているものです。
右の治具が それと鏡面対象になっています。
6 × 60 × 100 のファルカタ材と 10 × 10 のヒノキ材です。
続きは 後日にします。
2016年1月7日
sphericity 多面体 諸量
[5,5,5] を含む 五つの正多面体 を [5,5,5] に続いて 説明したいと思っています。
しかし 正月気分で まだ 説明内容がまとまっていません。
だからと言って
ブログの先頭を 年始の挨拶に いつまでもしておくわけにはいきません。
そこで 正多面体の 主な諸量を あらためて載せておきます。
各数値は稜寸=1として算出しています。
稜寸とは 多面体を構成する正多角形の辺の長さです。
仰角の後に記した整数比は
直角を挟む 対辺 / 底辺 として その斜辺の角度が求まります。
その角度が 仰角の 近似値となります。
面芯寸の後に記した整数比は 稜寸を 1 としたときの
面芯寸 / 稜寸 つまり
面芯寸 / 1 を 近似値の整数比に変換したものです。
01 [3,3,3] 仰 角 54.735610317245345685 ( 239/169 )
02 [3,3,3,3] 仰 角 45.000000000000000000 ( 180/180 )
03 [4,4,4] 仰 角 35.264389682754654315 ( 169/239 )
04 [3,3,3,3,3] 仰 角 31.717474411461005324 ( 144/233 )
09 [5,5,5] 仰 角 20.905157447889299033 ( 089/233 )
01 [3,3,3] 面芯寸 .20412414523193150818 ( 050/245 )
02 [3,3,3,3] 面芯寸 .40824829046386301637 ( 089/218 )
03 [4,4,4] 面芯寸 .50000000000000000000 ( 125/250 )
04 [3,3,3,3,3] 面芯寸 .75576131407617073048 ( 164/217 )
09 [5,5,5] 面芯寸 1.1135163644116067352 ( 157/141 )
以下は 球形度 sphericity についてです。
V/(S*R) は その多面体が どれほど球形に近いかを表す指標のひとつです。
外接球半径 とは 頂芯寸と同じ意味で
多面体の表面の正多角形の かど と かど とが接する点と 多面体の中芯との距離です。
以下も 稜寸=1 として算出しています。
外接球半径 = R 表面積 = S 体積 = V V/(S*R)
01[3,3,3] .612372435695795 1.73205080756888 .117851130197758 .111111111111111
02[3,3,3,3] .707106781186548 3.46410161513775 .471404520791032 .192450089729875
03[4,4,4] .866025403784439 6.00000000000000 1.00000000000000 .192450089729875
04[3,3,3,3,3] .951056516295154 8.66025403784439 2.18169499062491 .264884824097255
09[5,5,5] 1.40125853844407 20.6457288070676 7.66311896062463 .264884824097255
球体 1.00000000000000 12.5663706143592 4.18879020478639 .333333333333333
2016年1月3日
09[5,5,5] 多面体
[5,5,5] Platonic solid の 製作説明をします。
以下の画像の 右上がその完成品で
左右 69.095° にカットした 台形状の
2×10×30 のヒノキ材 30個で てきています。
2mm 幅の稜線でできた 多面体ということになります。
製作の流れを 説明します。
69.095° に 板棒をカットできる治具をつくります。
その角度は 上画像の Ａ４(210 × 297) の用紙に
縦 110 横 288 で 表現されています。
実際の加工では 69° がせいぜいでしょうが。
でも 69.096° の値になっていて
小数点以下二けたまでは正確な近似値です。
作業のなかで 誤差が発生するとしても
できるだけ正確な数値を用いようとしています。
2×10×900 の板棒を 5枚合わせ セロテープを螺旋状に巻き付け
10×10 の棒を作り 左右を 69.095° にカットし
5 枚セロテープでくるんだ塊を6個つくります。
接着剤は 合成ゴム系ボンドを もちいます。
木工用ボンドで 色々工夫をしながら 作ってみたのですが
角度や状態を確保するための 補助治具が 必要となったり
手間のかかる割りに 完成度が もういち だったりでした。
画像左上の Ｙ字状のユニットが基本形状です。
部材を三方向から 一点に合わせた形で
正三角形の空洞が 中心にできます。これが大事です。
この形状のキープが 最も大切な秘訣です。
このＹ字状のユニットに 二つの部材を接合して
上画像の Ｈ状のユニットを 六個つくります。
このユニットの四隅を直線で囲んだら
ちょうど 正四角形になります。
完成品をイメージするとすれば
Ｈ状のユニットの四隅と同寸の正四角形でできた
正六面体 (サイコロ状立体) に
Ｈ状のユニットを交互に向きを変えて
六つの面に貼った状態だといえます。
後日 もっと詳しい説明をしようと思っています。
2015年12月28日
09[5,5,5] Compounds 多面体 未分類
09[5,5,5] のカテゴリーで 既にお伝えしている内容ですが
説明を変えて もう少し詳しく 話を進めてゆこうと思っています。
下画像の 左が それで
正十二面体とか Dodecahedron と呼ばれている 正多面体の一つです。
その横が 正二十面体 そして最後に それらの複合した多面体です。
正五角形 が １２個 組み合わされて できています。
正五角形の 辺と辺が接しているところを 稜とし
かど と かど とが接しているところを 頂 として
立体の 中心を 中芯 という用語を 用いて説明します。
以下に 諸量を記します。特に ことわり の無いかぎり 稜寸は１としての値です。
09 [5,5,5] Dodecahedron 正12面体
09 1.0000000000000000000 [5,5,5]稜寸
09 .93417235896271569645 [5,5,5]基本数
09 20.905157447889299033 [5,5,5]仰 角( 089/233 )
09 60.000000000000000000 [5,5,5]接合角( 194/112 )
09 58.282525588538994676 [5,5,5]片面角( 233/144 )
09 1.4012585384440735447 [5,5,5]頂芯寸( 220/157 )
09 1.3090169943749474241 [5,5,5]稜芯寸( 233/178 )
09 1.1135163644116067352 [5,5,5]面芯寸( 157/141 )
09 116.56505117707798935 [5,5,5]ニ面角
09 20.645728807067603073 [5,5,5]面積
09 7.6631189606246319687 [5,5,5]体積
09 [5,5,5] 稜部品 必要個数 30
２０桁の値で表示しています。
エクセルは １５桁 関数電卓は １０桁ぐらいですが
有効桁数を確認する場合に必要なので この桁にしています。
別の理由として
他人の成果を そのまま用いているのでは無いと
少しは理解してもらえるかな との思いもありました。
今日は これからの ブログ製作の抱負 や 意気込みを
述べたにとどまってしまいました。
不定期に 思いつくまま 補足説明をしてゆこうと思っています。
2015年10月18日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
[3,5,3,5] を 角棒の正三角形のみで作る方法を お伝えします。
[3,5,3,5] の製作説明シリーズは 今回までにしようと思ってます。
三角形や治具の作り方は
前回までの説明で 理解されているものとします。
角材で作った 正三角形 20個を かどとかどとを接合しながら
正五角形を 三角形の辺で作ると [3,5,3,5] の立体ができます。
ただこれは 理屈上のことで
実際の作業では 無重力状態でもないかぎり
位置固定の補助構造物なしに
それぞれの形状を保持しながらの 立体製作はできません。
そこで 最低でも二個の 三角形を かどとかど とを接合した
ユニットが四つ必要となります。これを ２型ユニットとします。
これは 前回も説明している 五角形と五角形を接合する治具の
三角形が向かい合った形状部分で行えます。
その作業でできた ２型ユニットに もう一つ 三角形を接合した
３型ユニットを四つ 作ります。
上に説明した 治具に２型ユニットの 三角を一つずらせて乗せ
それに三角を接合します。下の画像のような方法も考えられます。
２型ユニットの支えで 三角形と２型ユニットを接合します。
そして もう一つの ２型ユニットで 開き具合を調整します。
この ２型ユニット四つ ３型ユニット四つ を構築材料として
かど と かど とを接合しながら 正五角形を 三角形の辺で作ってゆく
という ルールに従えば パズル気分で 立体が完成します。
あと説明すべきことは 三角形の接合面の整形です。
アークサイン ( 三角形の面芯寸 / 頂芯寸 ) で
その角度が求まります。
arcsin ( 1.51152 / 1.61803 ) = 69.0950° となります。
69.0950° を直角を挟む 二辺の比として考えると
233/089 ( 69.0944°) が近似値です。
288/110 ( 69.0959°) が次に近い値です。
この値をもとに 傾斜をつくり 治具の製作をすればよいのですが
簡易な方法を お伝えします。
上画像の 左下のように
五角形での[3,5,3,5] を作るための治具と同じ方法で
三角形の かどと かどを合わせ
その間を 五角形の二辺だけで支える治具を作ります。
強度を高めるために しっかりと固化させます。
これだけでは 加工作業の面積が少ないため 長方形の板を貼ったり
ガイドをつけたりしています。
2015年10月13日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
下の画像で 部品製作用治具の作り方を 前回に続いて説明します。
このブログの中の 製作道具のカテゴリーの内容と
重複するのもありますが くどくどと説明してきたついでに お伝えします。
70 × 30 × 3 mm の木片が 4 個写っています。
このくらいの寸法の木片が 治具の試作や 製作の補助する材料として
重宝することがあり事前に 複数個すでに作ってあったものを使用しています。
Ａ4 の用紙に 用紙の右下かど から 245mm 左 178㎜ 上 の点を結んだ線と
用紙を縦方向に二つ折りにした線があります。
その線で 54° の角度の接合面を持つ 部品をつくる治具の角度決定をしています。
その定まった線に沿って 角棒を木片に接着させているところです。
さし( ruler ) と 三角定規( triangle ) で直線を決めているのは
小さい範囲のなかで 直線の方向を決定するより 誤差が少なくなるからです。
製作途中の 治具の左に完成した治具があります。
寸法決定のための ストッパーが接着されています。
その 位置決めは
マザー( mother) となる 部品をのせて決定します。
この治具の左横に この治具で整形した接合面で
二本の角棒を接合した 角度整形ガイドがあります。
このガイドの左右の寸法は
これから作ろうとしている部品の寸法に合わせています。
それそれの端は 直角に整形しています。
のこぎりで 切りっぱなしでもいい部分でも 面を整えるようにしています。
雑な部分の少ない よりシンメトリーな 治具で モノづくりをしていると
誤差や 異常に気づくのが より容易になると 思っています。
その 面を整えるためものを 板の側面に直角な棒を貼って作っています。
スコヤ ( Machinist square ) で位置決めをしています。
三角定規でそれを行うと 板の側面の直線に 目視で合わせます。
線と線か接しているのを確認するのとでは 正確性が異なります。
さしがね ( Steel square ) でも 近い作業ができますが。
少し 劣ります。
これは 私が実感した 木工作業一般でのことで
ここでの作業の 誤差やバラツキの許容範囲は あまり気にしなくてもいいです。
続いて 下の画像の説明です。
右上の治具で 五角形のユニットを 31.72° 傾けその かど を
垂直に 切削加工します。 粗目のサンドペーパーを貼った ドレサーで。
下にある 同じ形状の へこんだ面を上向きにした治具で 二つの五角形を接合します。
五角形を二つ接合したユニットを 六つつくります。
この形状の治具は 一つ作ればよく 撮影のために二個作っただけです。
接着剤は ここまでの作業では すべて木工用ボンドを 私は使っています。
完全に 固化した後に 次の作業に進みます。
後の作業は 思う以上に簡単だと思います。接着剤は 合成ゴム系を使っています。
二つつながった五角形を 三つつなげると 半円球状になり それらを合わせると完成です。
まったく 今まで木工もしたことのない人をも 想定しながら話を進めてきましたが
くどさだけだった 言われるかもしれません。
一人でも多く このような木工に 親しんでもらえる人が増えることを望んでいます。
2015年10月8日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
今回も [3,5,3,5] の話題をつづけます。下の画像の説明をします。
左上がスコヤ ( Machinist square ) 右下が 部品製作用治具。
右中ほどのは 二つの五角形を かど で接合したユニットで
裏から見て へこんで見える状態。
その左が ユニットを 上から見て 丸みを帯びて見える状態。
その斜め左下が治具です。二種類の多角形をつなぐため
こちらの面つまり立体形状の裏側から
透明なテープを貼った状態。形状が固化しておらず 不安定。
両面テープをつかっています。接着力の違いの種類が多く
必要でない部分にまで ねばつき があっても 活用しています。
その斜め左下も治具で 上から見て 丸みを帯びて見える状態で
形状が固化しており 安定。
立体的形状の外側が見える状態で 内側の多角形の
辺と辺は ぴったりと接しており こちら側からは 開いて見えます。
その隙間を ボンドと楊枝で埋め 固化させています。
この治具の斜面に 完全に固化した五角形形状ユニットを置き
五つある各かどを 58.28° の角度で整形します。
この治具の面の傾斜は 正確につくると 31.72° になり
五角形ユニットをその面に乗せて かど を 90° 直角に面整形をすれば
58.28° の角度の接合面になります。
説明のつづきは 次回に。
2015年10月5日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
今回も [3,5,3,5] の話題をつづけます。下の画像の説明をします。
右上 にあるのが アルミ製の三角定規。
その左が さしがね ( Steel square ) 。
その左は 私が ドレサー ( Dresser ) と呼んでいるものです。
形を整え 綺麗にする の意で この用語をもちいています。
金属製の やすり ( 中目 ) が角材に貼られています。
その左下は 同じ寸法の角材に 紙やすり ( 粗目 ) が貼られています。
その下の 二つの治具は 角棒でつくる五角形の 部品の切断・整形をするもので
同じ加工作業をしますが 右が 簡略した治具です。
それらの 右横に 五角形二つを かどを向かい合わせた塊が 四つあります。
上二つが 治具で 五角形と五角形の間に 三角形と三角形があります。
そのなかの右側の治具に 五角形になったユニットを乗せています。
左のが その治具の製作途中で V 字型の隙間があり 楊枝を埋めます。
この治具で 下に二つある形状のユニットと同じものをつくります。
画像右中ほどにあるユニットもそれらで 計六個必要です。
その下が 完成した多面体です。
あとは 70mm × 140mm の白い板の上に
15mm 高く 70mm × 70mm の板が貼られている治具です。
この治具に乗せて 板や角材を切断します。
今は スコヤ ( Machinist square ) が乗っています。
白い板は厚み 3mm のプラスチックの板で 簡易まな板として売られています。
上に説明した ドレサーの下面にも貼っています。
もう少し説明が必要ですが 次回にします。
2015年10月4日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
[3,5,3,5] の話題をつづけます。
角棒で 正三角形をつくるための角度を表す シンプルな図をＡ４用紙で描きます。
下の画像のように。
長い巾の方向に 紙のかどから 265mm のところに 印しをつけ。
短い巾の方向に 紙のかどから 153mm のところに 印しをつけます。
その二点を通る 直線を引きます。
同じように 用紙の長方向を軸として 対象に直線を引きます。
90° 60° 30° の直角三角形が二つ クロスしている状態です。
三角形製作の作業方法は 前回の 五角形の作り方と同じとして 説明は省きます。
直角をはさむ二辺 265mm と 153mm とでできる角度は約 30.0003533° で
Ａ４用紙に ミリメートルでの 整数比で表示できる 最も精度の高い角度です。
次は 291mm と 168mm とでできる角度で約 29.998682° です。
実際には 線を描く操作のなかで 様々なかたちで誤差の混入が生じます。
今まで説明のもとに 定寸法 定角度に 角材を整形できたとして話を進めます。
五角形で作る [3,5,3,5] は
二つの五角形の面が 58.2826° × 2 の角度で
かど が向かいあって接して結合されたユニットを
6 個 つくることを お勧めします。
上画像の 右下のユニットがそれです。
この六つのユニットの組み合わせで 簡単に 立体が完成します。
私は このユニット作成作業での接着は 木工用ボンドで行っています。
乾燥時の形状が
合成ゴム系ボンドでのものより しっかりしていると思っているからです。
粘性が弱く 完全接着まで時間がかかり 作業性に難があります。
その弱点克服に 私は 電子レンジを活用しています。
これは 私が 自己責任で 注意点をその都度確認しながら行っているものです。
お勧めしているものではありません。私の責任は回避します。
温め時間を 1 分とします。
コップ一杯の冷水を 温めます。飛散させないためその都度 冷水です。
コップは ガラス プラスチック 陶器などで
糊を含め 木材や 紙 を 一緒に温めることができます。
金属 は 不可です。金属製のうわぐすりのかかった陶器もです。
私の苦い経験では 木材だけを 1 分間暖めてしまい
台所が 霞に包まれたようになり きな臭さがなかなか消えませんでした。
面と面を接合させるための治具については 次回お話しします。
2015年10月2日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
説明が 遅々として進んでいませんが [3,5,3,5] の話題をつづけます。
角棒で 正五角形をつくるための角度を表す シンプルな図を作ります。
角度をプロットするための用紙は 今まではグラフ用紙でしたが
今回は Ａ４ のコピー用紙を用います。寸法は 210 × 297 ミリの 大きさです。
長い巾の方向に 紙のかどから 245mm のところに 印しをつけ。
短い巾の方向に 紙のかどから 178mm のところに 印しをつけます。
その二点を通る 直線を引きます。
下の画像の斜めの線がそれで 90° 54° 36° の直角三角形ができています。
用紙の 縦の直線と 斜線とでできた角度が 54° で
多角形を作る材料の 角棒と角棒が接するそれぞれの角度です。
画像右がわの 縦長の治具で 角棒を定寸でカットし 整形します。
これで作った部材が 60 個必要です。
正確な角度で 接合してゆくために
108° ( 54° + 54° ) に角度をつけた治具を作っておきます。
画像中ほどの 一番上がそれです。
この図では 54° は得られても 108° は無理です。
そこで この図に 現在 表示している斜線と左右対称になるよう
同じ方法で 用紙の左下かどから計測して斜線を引きます。
2015年9月30日
11[3,5,3,5] 多面体 諸量
前回 の続きとして [3,5,3,5] の 四角棒の多角形で作る方法をお伝えします。
5 角形 12 個 で作る方法と 3 角形 20 個 で作る方法の 2 つあると言いました。
まずは 5 角形で作る方法を お伝えします。
以下に 少し くどくどと 角度計算方法の説明から始めます。
最初に 正五角形の かどの角度 ( 内角 ) を求めてみます。
結果的には 180 – ( 360 / 5 ) = 108 として求まります。
正五角形の中心と 一つの辺とでできる二等辺三角形を考えます。
正五角形の一つの辺に対応する部分を 底辺 他の二つの辺を 等辺 とします。
底辺と等辺とでできる角度を 底角 等辺と等辺とでできる角度を頂角とします。
頂角は 360° を 角数の 5 で割ると求まり 72° です。
三角形の内角の和は 180° なので
頂角でない 他の二つの角度の合計は 180 – 72 の 108° です。
正五角形の かどの角度 ( 内角 ) は
隣り合う二つの 二等辺三角形の底角の和ですから
一つの二等辺三角形の底角の和と 同値です。つまり 108° です。
正五角形の一つの辺をつくる角棒の接合部分は
二等辺三角形の底角と同じで 108 / 2 の 54° です。
54° を直角を挟む 二辺の比として考えると
245/178 ( 54.0004° ) が近似値です。
正五角形の部品のみで作る 立体も 治具に正三角形を用いることもあるので
同じように計算した 角度を表示します。
三角形の接合角は 30° で 整数比は近似値 112/194 の 29.9987° です。
三角定規 ( 90° 60° 30° ) からも角度が得られます。
あと 製作に必要な数値は 五角形のかどから多面体の中芯までの かど・芯線と
五角形の面とでできる 面角です。
サイン ｘ = 面芯寸 / 頂芯寸 で求められる ｘ がその角度です。
つまり ｘ = アークサイン ( 面芯寸 / 頂芯寸 ) で
arcsin ( 1.37638 / 1.61803 ) = 58.2826° となります。
58.2826° を直角を挟む 二辺の比として考えると
233/144 ( 58.2829° ) が近似値です。
エクセルでの 計算式を載せたかったのですが 弧度法表示が基本なため
度数表示に変換しなくてはならず煩雑になるため やめました。
関数電卓の使用をお勧めします。
文字ばかりの説明になってしまいました。ごめんなさい。
2015年9月18日
11[3,5,3,5] 多面体
多面体を今までとは違った方法で 作ってゆこうとして模索しています。
三角棒で レオナルドスタイル の 多面体を作る例をシリーズで お伝えしましたが
今回は 四角棒での 製作です。
下画像の 上の二つが このブログの初期から説明している方法で作ったもので
その左側の立体は 最近作った作品で ラミン材でできています。
下の二つが 今回説明しようとしている 製作方法で作っています。
どちらも ラミン材製です。
四角棒で多角形をつくり それで多面体に構築してゆくと
厚みのある多角形のため 面と面の接合部分には 溝ができてしまいます。
それを避けるために 接合部分を疑似的に線にする 三角棒を使っていました。
今回取り上げている [3,5,3,5] は 三角形 20個 または 5角形 12 個 のみで
多角形の かど だけの接合で 作ることができ 接合部分の加工が容易です。
上画像の下左が 五角形のみで 下右が 三角形のみでできています。
同じ素材で 三種類作っていますが 違いが判るでしょうか。
ラミン材はワシントン条約の 絶滅危惧種に属すため 手にできなかったのですが
最近 神戸三宮の 東急ハンズで ５×５mm の角材を買うことができました。
京都や大阪には どこの木材売り場にも 見つけられませんでした。
私にとっては レアものです。
しかし 丸棒のラミン材は ホームセンターでもよく見かけます。
木材業界のことは 私にはよくわかりません。
製作方法については 後日お伝えしようと思っています。
2015年8月18日
BASIC 多面体 諸量
すでにお伝えしている BASIC で記述した 諸量計算の 一般解を求めるプログラム の
出力データを載せておきます。( 2013年 1月 11日 掲載)
| | 名称 | 基本数 | | |
| ① | 仰角 | L接合角 | M接合角 | S接合角 |
| ② | 頂芯寸 | 稜芯寸 | | |
| ③ | L面芯寸 | M面芯寸 | S面芯寸 | |
| | | | |
| 01 | [3,3,3] | .577350269189627 | | |
| ① | 54.7356103172453 | 59.9999999999998 | 0 | 0 |
| ② | .612372435695795 | .353553390593275 | | |
| ③ | .204124145231932 | 0 | 0 | |
| | | | |
| 02 | [3,3,3,3] | .707106781186549 | | |
| ① | 44.9999999999999 | 44.9999999999999 | 0 | 0 |
| ② | .707106781186549 | .500000000000002 | | |
| ③ | .408248290463865 | 0 | 0 | |
| | | | |
| 03 | [4,4,4] | .816496580927728 | | |
| ① | 35.2643896827545 | 59.9999999999998 | 0 | 0 |
| ② | .866025403784443 | .707106781186553 | | |
| ③ | .500000000000007 | 0 | 0 | |
| | | | |
| 04 | [3,3,3,3,3] | .850650808352041 | | |
| ① | 31.7174744114609 | 35.9999999999999 | 0 | 0 |
| ② | .951056516295157 | .809016994374951 | | |
| ③ | .755761314076175 | 0 | 0 | |
| | | | |
| 05 | [3,4,3,4] | .86602540378444 | | |
| ① | 29.9999999999998 | 54.7356103172453 | 35.2643896827546 | 0 |
| ② | 1 | .866025403784444 | | |
| ③ | .707106781186547 | .816496580927726 | 0 | |
| | | | |
| 06 | [3,6,6] | .904534033733292 | | |
| ① | 25.2394018206788 | 73.2213451190395 | 33.5573097619207 | 0 |
| ② | 1.17260393995586 | 1.06066017177983 | | |
| ③ | .6123724356958 | 1.02062072615966 | 0 | |
| | | | |
| 07 | [3,3,3,3,4] | .928191377985573 | | |
| ① | 21.8453835538377 | 49.6241489558037 | 32.593962761049 | 0 |
| ② | 1.34371337374461 | 1.24722316799366 | | |
| ③ | 1.14261350892597 | 1.2133558000219 | 0 | |
| | | | |
| 08 | [3,4,4,4] | .933948831094466 | | |
| ① | 20.9410204722436 | 49.2105290590747 | 32.3684128227758 | 0 |
| ② | 1.39896632596592 | 1.30656296487639 | | |
| ③ | 1.20710678118656 | 1.27427369424832 | 0 | |
| | | | |
| 09 | [5,5,5] | .934172358962716 | | |
| ① | 20.9051574478893 | 59.9999999999999 | 0 | 0 |
| ② | 1.40125853844408 | 1.30901699437495 | | |
| ③ | 1.11351636441161 | 0 | 0 | |
| | | | |
| 10 | [4,6,6] | .948683298050515 | | |
| ① | 18.4349488229218 | 65.9051574478892 | 48.1896851042214 | 0 |
| ② | 1.58113883008421 | 1.50000000000002 | | |
| ③ | 1.22474487139162 | 1.41421356237312 | 0 | |
| | | | |
| 11 | [3,5,3,5] | .951056516295154 | | |
| ① | 17.9999999999999 | 58.2825255885389 | 31.717474411461 | 0 |
| ② | 1.6180339887499 | 1.53884176858763 | | |
| ③ | 1.37638192047118 | 1.51152262815235 | 0 | |
| | | | |
| 12 | [3,8,8] | .959682982260668 | | |
| ① | 16.3249499368951 | 74.3001425950404 | 31.399714809919 | 0 |
| ② | 1.77882364566394 | 1.70710678118656 | | |
| ③ | 1.20710678118657 | 1.68252198471218 | 0 | |
| | | | |
| 13 | [3,3,3,3,5] | .972732850565597 | | |
| ① | 13.4106337207749 | 56.2732455172424 | 30.9316886206893 | 0 |
| ② | 2.15583737511568 | 2.09705383525213 | | |
| ③ | 1.98091594728188 | 2.07708965974325 | 0 | |
| | | | |
| 14 | [3,4,5,4] | .974607762378171 | | |
| ① | 12.9393184371117 | 56.1084942262822 | 46.5129222544782 | 30.8656612647612 |
| ② | 2.23295050941571 | 2.17625089948285 | | |
| ③ | 2.06457288070678 | 2.11803398874992 | 2.15701985252026 | |
| | | | |
| 15 | [4,6,8] | .976450976246514 | | |
| ① | 12.4589101916906 | 71.1133299584335 | 62.4876519255486 | 46.3990181160177 |
| ② | 2.3176109128928 | 2.26303343845375 | | |
| ③ | 1.91421356237313 | 2.09077027517606 | 2.20710678118658 | |
| | | | |
| 16 | [5,6,6] | .979432085486415 | | |
| ① | 11.6407231367704 | 62.154680232797 | 55.6906395344059 | 0 |
| ② | 2.47801865906766 | 2.42705098312489 | | |
| ③ | 2.26728394222856 | 2.32743843676637 | 0 | |
| | | | |
| 17 | [3,10,10] | .985721919281303 | | |
| ① | 9.69372389531445 | 74.759837717322 | 30.4803245653556 | 0 |
| ② | 2.96944901586351 | 2.92705098312496 | | |
| ③ | 2.48989828488292 | 2.91278116659653 | 0 | |
| | | | |
| 18 | [4,6,10] | .99131668954106 | | |
| ① | 7.55605404616849 | 73.614860764356 | 60.8810401895552 | 45.5040990460887 |
| ② | 3.80239449985143 | 3.76937712792185 | | |
| ③ | 3.44095480117809 | 3.66854248067273 | 3.73606797749993 | |
2015年8月4日
多面体 諸量
多面体を今までとは違った方法で 作ってゆこうとして模索しています。
その製作に必要な 諸量は 手元にある資料からではなく
このブログから得ることにしています。
自分で作成しているのに まとまりがなく 探すのに苦労することが多々あります。
そこで ６桁に桁数を 落として リストとしてまとめてみました。
多面体諸量 稜寸は1として
| | | 面積 | 体積 | 基本数 | 頂芯寸 | 稜芯寸 | S面芯寸 | M面芯寸 | L面芯寸 |
| 01 | [3,3,3] | 1.73205 | .117851 | .577350 | .612372 | .353553 | .204124 | | |
| 02 | [3,3,3,3] | 3.46410 | .471405 | .707107 | .707107 | .500000 | .408248 | | |
| 03 | [4,4,4] | 6.00000 | 1.00000 | .816497 | .866025 | .707107 | .500000 | | |
| 04 | [3,3,3,3,3 | 8.66025 | 2.18169 | .850651 | .951057 | .809017 | .755761 | | |
| 05 | [3,4,3,4] | 9.46410 | 2.35702 | .866025 | 1.00000 | .866025 | .816497 | .707107 | |
| 06 | [3,6,6] | 12.1244 | 2.71058 | .904534 | 1.17260 | 1.06066 | 1.02062 | .612372 | |
| 07 | [3,3,3,3,4 | 19.8564 | 7.88948 | .928191 | 1.34371 | 1.24722 | 1.21336 | 1.14261 | |
| 08 | [3,4,4,4] | 21.4641 | 8.71405 | .933949 | 1.39897 | 1.30656 | 1.27427 | 1.20711 | |
| 09 | [5,5,5] | 20.6457 | 7.66312 | .934172 | 1.40126 | 1.30902 | 1.11352 | | |
| 10 | [4,6,6] | 26.7846 | 11.3137 | .948683 | 1.58114 | 1.50000 | 1.41421 | 1.22474 | |
| 11 | [3,5,3,5] | 29.3060 | 13.8355 | .951057 | 1.61803 | 1.53884 | 1.51152 | 1.37638 | |
| 12 | [3,8,8] | 32.4347 | 13.5997 | .959683 | 1.77882 | 1.70711 | 1.68252 | 1.20711 | |
| 13 | [3,3,3,3,5 | 55.2867 | 37.6166 | .972733 | 2.15584 | 2.09705 | 2.07709 | 1.98092 | |
| 14 | [3,4,5,4] | 59.3060 | 41.6153 | .974608 | 2.23295 | 2.17625 | 2.15702 | 2.11803 | 2.06457 |
| 15 | [4,6,8] | 61.7552 | 41.7990 | .976451 | 2.31761 | 2.26303 | 2.20711 | 2.09077 | 1.91421 |
| 16 | [5,6,6] | 72.6073 | 55.2877 | .979432 | 2.47802 | 2.42705 | 2.32744 | 2.26728 | |
| 17 | [3,10,10] | 100.991 | 85.0397 | .985722 | 2.96945 | 2.92705 | 2.91278 | 2.48990 | |
| 18 | [4,6,10] | 174.292 | 206.803 | .991317 | 3.80239 | 3.76938 | 3.73607 | 3.66854 | 3.44095 |
| | 仰角 | S接合角 | M接合角 | L接合角 | S面角 | M面角 | L面角 | | 二面角1 | | 二面角2 |
| 01 | 54.7356 | 60.0000 | | | 35.2644 | | | SS | 70.5288 | | |
| 02 | 45.0000 | 45.0000 | | | 54.7356 | | | SS | 109.471 | | |
| 03 | 35.2644 | 60.0000 | | | 45.0000 | | | SS | 90.0000 | | |
| 04 | 31.7175 | 36.0000 | | | 69.0948 | | | SS | 138.190 | | |
| 05 | 30.0000 | 35.2644 | 54.7356 | | 70.5288 | 54.7356 | | SM | 125.264 | | |
| 06 | 25.2394 | 33.5573 | 73.2213 | | 74.2068 | 35.2644 | | SM | 109.471 | MM | 70.5288 |
| 07 | 21.8454 | 32.5940 | 49.6241 | | 76.6173 | 66.3661 | | SS | 153.235 | SM | 142.983 |
| 08 | 20.9410 | 32.3684 | 49.2105 | | 77.2356 | 67.5000 | | SM | 144.736 | MM | 135.000 |
| 09 | 20.9052 | 60.0000 | | | 58.2825 | | | SS | 116.565 | | |
| 10 | 18.4349 | 48.1897 | 65.9052 | | 70.5288 | 54.7356 | | SM | 125.264 | MM | 109.471 |
| 11 | 18.0000 | 31.7175 | 58.2825 | | 79.1877 | 63.4349 | | SM | 142.623 | | |
| 12 | 16.3249 | 31.3997 | 74.3001 | | 80.2644 | 45.0000 | | SM | 125.264 | MM | 90.0000 |
| 13 | 13.4106 | 30.9317 | 56.2732 | | 82.0877 | 70.8422 | | SS | 164.175 | SM | 152.930 |
| 14 | 12.9393 | 30.8657 | 46.5129 | 56.1085 | 82.3774 | 76.7175 | 71.5651 | SM | 159.095 | ML | 148.283 |
| 15 | 12.4589 | 46.3990 | 62.4877 | 71.1133 | 77.2356 | 67.5000 | 57.7644 | SM | 144.736 | SL | 135.000 |
| 16 | 11.6407 | 55.6906 | 62.1547 | | 73.5278 | 69.0948 | | SM | 142.623 | MM | 138.190 |
| 17 | 9.69372 | 30.4803 | 74.7598 | | 84.3401 | 58.2825 | | SM | 142.623 | MM | 116.565 |
| 18 | 7.55605 | 45.5041 | 60.8810 | 73.6149 | 82.3774 | 76.7175 | 65.9052 | SM | 159.095 | SL | 148.283 |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | 二面角3 |
| 15 | | | | | | | | | | ML | 125.264 |
| 18 | | | | | | | | | | ML | 142.623 |
-----------------------------------------------
双対多面体諸量 稜芯寸はもとの多面体の稜芯寸とイコールとして
| | | 双対面積 | 双対体積 | 稜芯寸 | 面芯寸 | S頂芯寸 | M頂芯寸 | L頂芯寸 |
| 01 | [3,3,3] | 1.73205 | .117851 | .353553 | .204124 | .612372 | | |
| 02 | [3,3,3,3] | 3.00000 | .353553 | .500000 | .353553 | .612372 | | |
| 03 | [4,4,4] | 6.92820 | 1.33333 | .707107 | .577350 | 1.00000 | | |
| 04 | [3,3,3,3,3] | 7.88597 | 1.80902 | .809017 | .688191 | .866025 | | |
| 05 | [3,4,3,4] | 9.54594 | 2.38649 | .866025 | .750000 | .918559 | 1.06066 | |
| 06 | [3,6,6] | 17.9098 | 5.72756 | 1.06066 | .959403 | 1.10227 | 1.83712 | |
| 07 | [3,3,3,3,4] | 19.2994 | 7.44740 | 1.24722 | 1.15766 | 1.28204 | 1.36141 | |
| 08 | [3,4,4,4] | 21.5135 | 8.75069 | 1.30656 | 1.22026 | 1.33967 | 1.41421 | |
| 09 | [5,5,5] | 22.6728 | 9.24181 | 1.30902 | 1.22285 | 1.53884 | | |
| 10 | [4,6,6] | 30.1869 | 14.3189 | 1.50000 | 1.42302 | 1.59099 | 1.83712 | |
| 11 | [3,5,3,5] | 30.3381 | 14.8002 | 1.53884 | 1.46353 | 1.56665 | 1.72048 | |
| 12 | [3,8,8] | 42.6918 | 23.3137 | 1.70711 | 1.63828 | 1.73205 | 2.41421 | |
| 13 | [3,3,3,3,5] | 55.2805 | 37.5884 | 2.09705 | 2.03987 | 2.11721 | 2.22000 | |
| 14 | [3,4,5,4] | 59.7674 | 42.2554 | 2.17625 | 2.12099 | 2.19565 | 2.23607 | 2.29397 |
| 15 | [4,6,8] | 67.4248 | 49.6638 | 2.26303 | 2.20974 | 2.32038 | 2.44949 | 2.67542 |
| 16 | [5,6,6] | 75.5655 | 59.8764 | 2.42705 | 2.37713 | 2.53093 | 2.59808 | |
| 17 | [3,10,10] | 115.570 | 111.149 | 2.92705 | 2.88526 | 2.94139 | 3.44095 | |
| 18 | [4,6,10] | 183.196 | 228.179 | 3.76938 | 3.73665 | 3.80298 | 3.87298 | 4.12915 |
| S稜寸 | M稜寸 | L稜寸 | | 双対稜寸 S | | 双対稜寸 M | | 双対稜寸 L |
| 01 | .500000 | | | SS | 1.00000 | | | | |
| 02 | .353553 | | | SS | .707107 | | | | |
| 03 | .707107 | | | SS | 1.41421 | | | | |
| 04 | .309017 | | | SS | .618034 | | | | |
| 05 | .306186 | .612372 | | SM | .918559 | | | | |
| 06 | .300000 | 1.50000 | | SM | 1.80000 | MM | 3.00000 | | |
| 07 | .296733 | .545776 | | SS | .593465 | SM | .842509 | | |
| 08 | .295990 | .541196 | | SM | .837186 | MM | 1.08239 | | |
| 09 | .809017 | | | SS | 1.61803 | | | | |
| 10 | .530330 | 1.06066 | | SM | 1.59099 | MM | 2.12132 | | |
| 11 | .293893 | .769421 | | SM | 1.06331 | | | | |
| 12 | .292893 | 1.70711 | | SM | 2.00000 | MM | 3.41421 | | |
| 13 | .291450 | .728538 | | SS | .582900 | SM | 1.01999 | | |
| 14 | .291249 | .513743 | .725417 | SM | .804992 | ML | 1.23916 | | |
| 15 | .512670 | .937379 | 1.42707 | SM | 1.45005 | SL | 1.93974 | ML | 2.36445 |
| 16 | .717645 | .927051 | | SM | 1.64470 | MM | 1.85410 | | |
| 17 | .290089 | 1.80902 | | SM | 2.09911 | MM | 3.61803 | | |
| 18 | .504458 | .889829 | 1.68572 | SM | 1.39429 | SL | 2.19017 | ML | 2.57555 |
| | 二面角 | S仰角 | M仰角 | L仰角 | Sかど角/2 | Mかど角/2 | Lかど角/2 | SML接合角 |
| 01 | 70.5288 | 54.7356 | | | 30.0000 | | | 60 |
| 02 | 90.0000 | 35.2644 | | | 45.0000 | | | 60 |
| 03 | 109.471 | 45.0000 | | | 30.0000 | | | 45 |
| 04 | 116.565 | 20.9052 | | | 54.0000 | | | 60 |
| 05 | 120.000 | 19.4712 | 35.2644 | | 54.7356 | 35.2644 | | 60 45 |
| 06 | 129.521 | 15.7932 | 54.7356 | | 56.4427 | 16.7787 | | 60 30 |
| 07 | 136.309 | 13.3827 | 23.6339 | | 57.4060 | 40.3759 | | 60 45 |
| 08 | 138.118 | 12.7644 | 22.5000 | | 57.6316 | 40.7895 | | 60 45 |
| 09 | 138.190 | 31.7175 | | | 30.0000 | | | 36 |
| 10 | 143.130 | 19.4712 | 35.2644 | | 41.8103 | 24.0948 | | 45 30 |
| 11 | 144.000 | 10.8123 | 26.5651 | | 58.2825 | 31.7175 | | 60 36 |
| 12 | 147.350 | 9.73561 | 45.0000 | | 58.6003 | 15.6999 | | 60 22.5 |
| 13 | 153.179 | 7.91232 | 19.1578 | | 59.0683 | 33.7268 | | 60 36 |
| 14 | 154.121 | 7.62263 | 13.2825 | 18.4349 | 59.1343 | 43.4871 | 33.8915 | 60 45 36 |
| 15 | 155.082 | 12.7644 | 22.5000 | 32.2356 | 43.6010 | 27.5123 | 18.8867 | 45 30 22.5 |
| 16 | 156.719 | 16.4722 | 20.9052 | | 34.3094 | 27.8453 | | 36 30 |
| 17 | 160.613 | 5.65989 | 31.7175 | | 59.5197 | 15.2402 | | 60 18 |
| 18 | 164.888 | 7.62263 | 13.2825 | 24.0948 | 44.4959 | 29.1190 | 16.3851 | 45 30 18 |
2015年7月26日
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