多面体

sashimono[3,5,3,5]再掲 3 Rhombic Triacontahedron

11[3,5,3,5] 多面体 製作道具

[3,5,3,5] の レオナルドスタイル双対多面 を作成している途中の画像です。

パーツを接着して 菱形のユニットを 30 個そろえる作業は完了しました。
菱形のユニットは 木工用ボンドで接合しています。
それらを 今度は 合成ゴム系ボンドで くっつけてゆきます。

下の画像の説明をします。
右 中ほどの 四角形の治具だけで 今回のパーツはできています。
四角形の断面の角棒を 必要な角度と寸法にカットし成形するための治具です。
溝の面は 45 度 と 45 度 で向き合っています。

この治具に 少しは判りやすいかと 3倍の寸法の角材を乗せています。
この角材は 底面と底面を水平に合わせた 三角棒を セロテープで縛っています。
この治具で加工し テープをとって広げると その左上のような
傾斜型 ( 前々回お伝えしています ) の形状にできます。
今回の 求める形状は 菱形なので 稜寸は 1 種類で 接合角も実質 1 種類です。

かどが 90 度の形状の板に 58.283 度 ( 233 / 144 ) の角度の溝を　
かどを挟んで付けると もう一方の側の溝の角度は 90 – 58.283 で
31.717 度 ( 144 / 233 ) になり 必要な角度が得られます。

治具の中の 山がたにしたものは
鋭角方向で接着した 菱形の 1/2 の形状部品を整形するものです。
角度のチェックと 鈍角側の接合角と 稜寸を整えます。

PIC_1255

上に説明した方法で 菱形が正確にできれば 後の接合は簡単です。
菱形の鈍角は 三つを 1 点に合わせ
鋭角は 1 点に 五つを合わせるというルールだけです。

PIC_1258

上画像の多面体を乗せているのは 最近つくった 作業台です。
とても重宝しています。

ざらつきの 表面加工がされている
250mm × 350mm 　4mm 厚 の強化ガラスのキッチンプレートと
5mm × 15mm の棒材で 3mm ほどの高さに縁どりした
300mm × 450mm のファルカタ集成材です。

プレートの裏には キッチングッズを絵にした フィルムが張られていました。
それを剥がすのにすこし苦労しましたが 頑張りました。 いい出来です。
￥100 で get したことでも気に入っています。
四隅に防振クッションをつけています。

2015年7月22日

Excel で双対多面体諸量計算

11[3,5,3,5] Excel 多面体 諸量

多面体の製作方法を [3,5,3,5] を例にして シリーズでお伝えしています。

つぎは [3,5,3,5] の双対多面体の 三角棒での作り方を 考えているのですが
面と面でつくるための 接合角の数値算出の資料がありませんでした。

そこで 双対多面体の 面積と 体積 も含めた 
Excel での計算式が出来ましたので 載せておきます。
この計算式は 菱形の面をつくる 接合角の値を出したくて作りました。
下が その出力の一部です。

元の多面体の稜寸を 1 としたときの
0.293892626146237 + 0.769420884293813 = 1.06331351044005
が 正三角形と正五角形をまたぐ稜の寸法で これ一種類です。

三角形の上にくる双対の稜は 58.2825255885389 度ずつで左右結合され
五角形の上にくる双対の稜は 31.717474411461  度ずつで左右結合される 
菱形の面をもつ 多面体になります。

そのときの 面積は 30.3381372890605 になり
           体積は 14.8002124296868 になります。


 角数  個数  双稜寸  稜開き角/2  双対面積  


 3  20  0.293892626146237  58.2825255885389  30.3381372890605  


 5  12  0.769420884293813  31.717474411461  双対体積  


 0  0  0  0  14.8002124296868
sakai_01694
上は 四角棒で作った 以前にもお伝えしている作品です。右が双対多面体です。

三角棒では まだできていません。

詳しくは 次回にお伝えしようと思っています。


Excel の計算式です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste
隠れた部分もありますが 全範囲を指定すれば コピーできます。



  名称S角数M角数L角数S面数M面数L面数頂芯寸  


11[3,5,3,5]350201201.61803398874989  


  


角数個数多角形のかど心寸面芯寸多角形の辺心寸面積体積  


=C2=F2=0.5/SIN(PI()/A5)=SQRT($I$2^2-C5^2)=0.5/TAN(PI()/A5)=E5/2*A5*B5=F5*D5/3総面積=SUM(F5:F7)  


=D2=G2=IF(B6>0,0.5/SIN(PI()/A6),0)=IF(B6>0,SQRT($I$2^2-C6^2),0)=IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/A6),0)=IF(B6>0,E6/2*A6*B6,0)=IF(B6>0,F6*D6/3,0)  


=E2=H2=IF(B7>0,0.5/SIN(PI()/A7),0)=IF(B7>0,SQRT($I$2^2-C7^2),0)=IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/A7),0)=IF(B7>0,E7/2*A7*B7,0)=IF(B7>0,F7*D7/3,0)総体積=SUM(G5:G7)  


  


かど角/2かど心寸辺心寸稜芯寸心・かど・芯角双頂芯寸双面芯寸  


=A5=B5=PI()/2-PI()/A10=0.5/COS(C10)=0.5*TAN(C10)=SQRT(I2^2-0.5^2)=ACOS(D10/I2)=F10^2/D5=H10*SIN(G10)  


=A6=B6=IF(B11>0,PI()/2-PI()/A11,0)=IF(B11>0,0.5/COS(C11),0)=IF(B11>0,0.5*TAN(C11),0)=IF(B11>0,F10,"")=IF(B11>0,ACOS(D11/I2),"")=IF(B11>0,F11^2/D6,"")=IF(B11>0,H11*SIN(G11),"")  


=A7=H2=IF(B12>0,PI()/2-PI()/A12,0)=IF(B12>0,0.5/COS(C12),0)=IF(B12>0,0.5*TAN(C12),0)=IF(B12>0,F11,0)=IF(B12>0,ACOS(D12/I2),0)=IF(B12>0,F12^2/D7,0)=IF(B12>0,H12*SIN(G12),0)  


  


双菱形長寸双菱形短寸/2個別双面積個別双体積双稜寸稜開き角/2双対面積  


=A10=B10=H10*COS(G10)=0.5*SIN(C10)=C15*D15*A15*B15=E15*I10/3=SQRT(H10^2-F10^2)=DEGREES(ASIN(D15/G15))=SUM(E15:E17)  


=A11=B11=IF(B16>0,H11*COS(G11),0)=IF(B16>0,0.5*SIN(C11),0)=IF(B16>0,C16*D16*A16*B16,0)=IF(B16>0,E16*I11/3,0)=IF(B16>0,SQRT(H11^2-F11^2),0)=IF(B16>0,DEGREES(ASIN(D16/G16)),0)双対体積  


=A12=B12=IF(B17>0,H12*COS(G12),0)=IF(B17>0,0.5*SIN(C12),0)=IF(B17>0,C17*D17*A17*B17,0)=IF(B17>0,E17*I12/3,0)=IF(B17>0,SQRT(H12^2-F12^2),0)=IF(B17>0,DEGREES(ASIN(D17/G17)),0)=SUM(F15:F17)  


  


色付けした全範囲を指定し 19 行目 A 列に copy and paste
これは データ資料であり 
必要な数値を求めるときに 2 行目 A 列に 各行を copy and paste してください。



　　  名称  S角数  M角数  L角数  S面数  M面数  L面数  頂芯寸  


01  [3,3,3]  3  0  0  4  0  0  0.612372435695794  


02  [3,3,3,3]  3  0  0  8  0  0  0.707106781186547  


03  [4,4,4]  4  0  0  6  0  0  0.866025403784438  


04  [3,3,3,3,3]  3  0  0  20  0  0  0.951056516295153  


05  [3,4,3,4]  3  4  0  8  6  0  1  


06  [3,6,6]  3  6  0  4  4  0  1.17260393995585  


07  [3,3,3,3,4]  3  4  0  32  6  0  1.3437133737446  


08  [3,4,4,4]  3  4  0  8  18  0  1.3989663259659  


09  [5,5,5]  5  0  0  12  0  0  1.40125853844407  


10  [4,6,6]  4  6  0  6  8  0  1.58113883008418  


11  [3,5,3,5]  3  5  0  20  12  0  1.61803398874989  


12  [3,8,8]  3  8  0  8  6  0  1.77882364566392  


13  [3,3,3,3,5]  3  5  0  80  12  0  2.15583737511563  


14  [3,4,5,4]  3  4  5  20  30  12  2.23295050941569  


15  [4,6,8]  4  6  8  12  8  6  2.31761091289276  


16  [5,6,6]  5  6  0  12  20  0  2.47801865906761  


17  [3,10,10]  3  10  0  20  12  0  2.96944901586339  


18  [4,6,10]  4  6  10  30  20  12  3.80239449985129

2015年7月19日

sashimono[3,5,3,5]再掲 2

11[3,5,3,5] 多面体

[3,5,3,5] の製作説明をしようと思います。
レオナルド ダ ヴィンチの 挿絵にある多面体 Leonardo da Vinci’s Polyhedra
( 多面体研究家 George W. Hart さんの webpage にリンク )
に形状を似せたものを 今回はお伝えします。

いつも使用している角材と違って 三角棒を用います。
断面は 正四角形を対角線で 二つに分けた形状 (直角二等辺三角形)です。

なぜ三角棒を用いるか説明します。

今まで お伝えしていた多面体製作の方法は 多面体の面ではなく
面と面でできる線つまり 稜線を 何かの材料でどう正確に表現するか でした。

今回のは 何かの材料で 正確な多角形を表す平面を複数つくり
それらの辺を接合し立体を作る というものです。

多角形を作る材を 四角の断面をもつ角棒にすると
それぞれの多角形の接合部分には V字型の溝ができてしまいます。

正多角形の辺を作る角材の 側面と多角形の平面とでできる角度は 90° です。
つまり 90°の面角を持った 厚みのある多角形どうしの結合では
二面角が 180°になってしまい 立体の製作は不可能です。

三角棒の面角は 90° と 45° と 45° です。
三角棒を 多角形を縁取る frame とする場合 内側の材の面角は
90° (絶壁型)と 45°(傾斜型) の二種類が考えられますが
傾斜型 のほうが 絶壁型 より 加工は楽です。
でも 傾斜型は下手をすると 小さな穴のあいた多角形を作ってしまいます。
出来るだけ 細めの材を使うといいでしょう。

このブログで お伝えしている 18種類の多面体の 二面角は
[3,3,3] と [3,6,6] を除いてすべて 90°以上なので この方法で製作可能です。

下の画像は [3,5,3,5] で 6mm の角材を 斜めカットされた 角棒で作っています。
長さは 23mm 絶壁型 です。

三角形の接合角は 30° ( 112/194 ) 五角形は 54° ( 245/178 ) です。

接着剤は 合成ゴム系を用います。
接着部分の可塑性がしばらく残るので
厚紙を切り抜いて多面体を作るのと同じような 感覚です。
左側の形状が 右のような組み合わせで作ったもので 二つ合わせて完成です。

PIC_1243

[3,3,3] とその複合多面体
sakai_1102

[3,6,6] とその双対多面体
sakai_0817

2015年7月8日

折り紙

多面体 未分類

今 [3,5,3,5] の製作方法について あれやこれやと考えているのですが。
作り方のこと その画像 そして文字での表現 等々 大変です。
参考にしたり 例示したりする資料が 木工では少ないのです。
その点 折り紙での製作は 奥深いものがあります。
以下の 画像は 手元にある 折り紙多面体 関連書籍です。
川村みゆきさん 布施知子さん 堀井洋子さん となぜか女性ばかりです。

PIC_1215
折り紙は工芸としても 魅力がありますが
それの数学的理解や解釈に興味深いものがあります。

TEDというプレゼンテーションの動画サイトがあります。
日本語版もあります。

ロバート・ラングが全く新しい時代の折り紙を折るという動画を紹介します。
デジタルキャスト版もあります。
48701_480x360

折り紙はアート であり 彫刻だ として
数学の原理を 芸術に当てはめ 背景にある法則が発見されていると言っています。

このプレゼンテーションを
NHKも「折り紙の数学と魔法」という題で放映していました。
NHK 7月22日（水）の番組予定はイ・ジンハとジョセフ・デシモーン
「驚異の超高速3Dプリンター」だそうです。 *注
What if 3D printer was 100x faster?
Reach into the computer and grab a pixel
３Ｄプリンターは 今後 ますます多面体つくりの有力なツールの一つになると思います。
* NHKはBBCなどと比べて アーカイブの扱いに対し 相当ズサンだと感じています。

2015年6月30日

Excel で 外接球半径

Excel 多面体 諸量

前回
一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が簡単にできる多面体は多くあります。
と言いました。
以下に Excel での計算を 載せておきます。
[3,3,3,3,4]　[3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10]　は 保留します。
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではありませんでした。
それらは パズル気分で 処理する Excel や
一般解を求める BASIC で処理したほうが得策のようです。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste




 角数側角度(R)かど開き寸/2かど開き寸


  3=PI()/B2=COS(C2)=D2*2


  4=PI()/B3=COS(C3)=D3*2


  5=PI()/B4=COS(C4)=D4*2


  6=PI()/B5=COS(C5)=D5*2


  8=PI()/B6=COS(C6)=D6*2


  10=PI()/B7=COS(C7)=D7*2


  


  かど・中心寸頂・底心寸外接球半径


 1[3,3,3]=(SQRT(3)/2)/3*2=SQRT(1-C10^2)=0.5/D10


 2[3,3,3,3]=1/SQRT(2)=SQRT(1-C11^2)=0.5/D11


 3[4,4,4]=SQRT(2)*(SQRT(3)/2)/3*2=SQRT(1-C12^2)=0.5/D12


 4[3,3,3,3,3]=0.5/SIN(PI()/5)=SQRT(1-C13^2)=0.5/D13


 5[3,4,3,4]=SQRT(1+E3^2)/2=SQRT(1-C14^2)=0.5/D14


 6[3,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D2^2)*D5=SQRT(1-C15^2)=0.5/D15


 7[3,3,3,3,4]


 8[3,4,4,4]=(0.5*E3)/COS(ACOS(((E3-1)/2)/E3)/2)=SQRT(1-C17^2)=0.5/D17


 9[5,5,5]=E4*SQRT(3)/2/3*2=SQRT(1-C18^2)=0.5/D18


 10[4,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D3^2)*D5=SQRT(1-C19^2)=0.5/D19


 11[3,5,3,5]=SQRT(1+E4^2)/2=SQRT(1-C20^2)=0.5/D20


 12[3,8,8]=E6/SQRT(E6^2-D2^2)*D6=SQRT(1-C21^2)=0.5/D21


 13[3,3,3,3,5]


 14[3,4,5,4]


 15[4,6,8]


 16[5,6,6]=E5/SQRT(E5^2-D4^2)*D5=SQRT(1-C25^2)=0.5/D25


 17[3,10,10]=E7/SQRT(E7^2-D2^2)*D7=SQRT(1-C26^2)=0.5/D26


 18[4,6,10]
以下のような 表示になります。


  角数側角度(R)かど開き寸/2かど開き寸


 31.04719755119660.51


 40.7853981633974480.7071067811865481.4142135623731


 50.6283185307179590.8090169943749471.61803398874989


 60.5235987755982990.8660254037844391.73205080756888


 80.3926990816987240.9238795325112871.84775906502257


 100.3141592653589790.9510565162951541.90211303259031


 


 かど・中心寸頂・底心寸外接球半径


 1[3,3,3]0.5773502691896260.8164965809277260.612372435695794


 2[3,3,3,3]0.7071067811865470.7071067811865480.707106781186547


 3[4,4,4]0.8164965809277260.5773502691896260.866025403784439


 4[3,3,3,3,3]0.850650808352040.5257311121191340.951056516295153


 5[3,4,3,4]0.8660254037844390.51


 6[3,6,6]0.9045340337332910.4264014327112211.17260393995586


 7[3,3,3,3,4]


 8[3,4,4,4]0.9339488310944650.3574067443365931.39896632596591


 9[5,5,5]0.9341723589627160.356822089773091.40125853844407


 10[4,6,6]0.9486832980505140.3162277660168381.58113883008419


 11[3,5,3,5]0.9510565162951540.3090169943749481.61803398874989


 12[3,8,8]0.9596829822606670.281084637714821.77882364566393


 13[3,3,3,3,5]


 14[3,4,5,4]


 15[4,6,8]


 16[5,6,6]0.9794320854864140.2017741061675992.47801865906762


 17[3,10,10]0.9857219192813020.1683814058867152.96944901586339


 18[4,6,10]


2015年6月17日

sashimono[3,5,3,5]再掲

11[3,5,3,5] 多面体

2012年5月3日 にブログを立ち上げ 最初に載せた画像が [3,5,3,5] でした。
製作の 一番のお勧めとしてあげる多面体といえば これです。

下左の画像は ヒノキ 5 × 5 mm の角材で 数日前に作った作品です。
説明の例として あらためて作ったものです。ラフな仕上がりです。
PIC_1142

エクセルでの 多面体の諸量計算を
一般的解法としてパズルのように解いてゆくのではなく
個別に 計算してゆく方法をお伝えします。

[3,5,3,5] は 正三角形と正五角形が 一つの頂に 
3 5 3 5 と並んだ組み合わせのみでできています。

そして 全ての頂が 一つの球に接することができます。
このことから 稜の寸法も一つ 稜から中芯までの距離も一つで 
稜と中芯とでできる三角形は 二等辺です。

正多角形の一つのかどで 隣り合う辺を斜辺とする二等辺三角形の
底辺の長さを かど開き寸とします。

計算に入ります。  
画像右下の長方形を底とする 四角錐の高さを求めます。

稜の長さを 1 とします。　

三角形の かど開き寸 は 1.
五角形の かど開き寸 は cos ( 360 ÷ 5 × 1 / 2 ) × 2 = 　1.61803398874989

四角錐の底面長方形の対角線の長さは
1.61803398874989 の二乗と 1 を足した値の 平方根　⇒　1.90211303259031 

四角錐の底面のかどから底面の中点までの長さは
1.90211303259031 ÷ 2 = 0.951056516295154 

四角錐の高さは
稜の長さ の二乗 1 から 0.951056516295154 の二乗 0.904508497187474 を引いた値
0.0954915028125264 の 平方根 　⇒　0.309016994374948 

稜と中芯とでできる三角形は 二等辺だといいました。
つまり 稜と 角錐の高さとでできる角度は
頂から多面体の中芯までの距離と 稜の 1/2 の寸法でできる角度と同じです。

頂から多面体の中芯までの距離は
0.5 ÷ 0.309016994374948 = 1.61803398874989

上記の諸量の値は Excel で 計算しながら記述したものです。
1.6180339887498948482が より精度の高い値です。

頂から多面体の中芯までの距離は 外接球半径と呼ばれ
これが判ればあとは 芋づる式に数値が求められます。

( このブログでは 外接球半径を 同じ意味で 頂芯寸 という用語で説明しています。)

このように 一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が簡単にできる多面体は多くあります。
[ 3,3,3,3,4 ] や [ 3,3,3,3,5 ]  は無理でしょう
[ 4,6,8 ] や [ 4,6,10 ]　などは　むつかしいです。

2015年6月16日

参考資料掲載Website 検索のための名称一覧

sphericity 多面体 諸量

シリーズで 諸量の計算について お伝えしてきました。

その 計算結果の値や内容の信頼性を高めるために Wikipedia や

Wolfram Alpha そして MathWorld を参考にすることがあります。

ただ 検索に必要な 名称がつかみにくく 手間取ることが多くあります。

以下に 検索できる 名称と webpage をリンクさせた 一覧表を載せておきます。

日本語版のWikipedia






多面体
双対多面体




01
[3,3,3]
正4面体
正4面体




02
[3,3,3,3]
正8面体
正6面体




03
[4,4,4]
正6面体
正8面体




04
[3,3,3,3,3]
正20面体
正12面体




05
[3,4,3,4]
立方8面体
菱形12面体




06
[3,6,6]
切頂4面体
3方4面体




07
[3,3,3,3,4]
変形立方体
5角24面体




08
[3,4,4,4]
斜方立方8面体
凧形24面体




09
[5,5,5]
正12面体
正20面体




10
[4,6,6]
切頂8面体
4方6面体




11
[3,5,3,5]
20･12面体
菱形30面体




12
[3,8,8]
切頂6面体
3方8面体




13
[3,3,3,3,5]
変形12面体
5角60面体




14
[3,4,5,4]
斜方20･12面体
凧形60面体




15
[4,6,8]
斜方切頂立方8面体
6方8面体




16
[5,6,6]
切頂20面体
5方12面体




17
[3,10,10]
切頂12面体
3方20面体




18
[4,6,10]
斜方切頂20･12面体　
6方20面体






英語版のWikipedia







polyhedron
dual polyhedron




01
[3,3,3]
Tetrahedron
Tetrahedron




02
[3,3,3,3]
Octahedron
Cube




03
[4,4,4]
Cube
Octahedron




04
[3,3,3,3,3]
Icosahedron
Dodecahedron




05
[3,4,3,4]
Cuboctahedron
Rhombic dodecahedron




06
[3,6,6]
Truncated tetrahedron
Triakis tetrahedron




07
[3,3,3,3,4]
Snub cube
Pentagonal icositetrahedron




08
[3,4,4,4]
Rhombicuboctahedron
Deltoidal icositetrahedron




09
[5,5,5]
Dodecahedron
Icosahedron




10
[4,6,6]
Truncated octahedron
Tetrakis hexahedron




11
[3,5,3,5]
Icosidodecahedron
Rhombic triacontahedron




12
[3,8,8]
Truncated cube
Triakis octahedron




13
[3,3,3,3,5]
Snub dodecahedron
Pentagonal hexecontahedron




14
[3,4,5,4]
Rhombicosidodecahedron
Deltoidal hexecontahedron




15
[4,6,8]
Truncated cuboctahedron
Disdyakis dodecahedron




16
[5,6,6]
Truncated icosahedron
Pentakis dodecahedron




17
[3,10,10]
Truncated dodecahedron
Triakis icosahedron




18
[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron
Disdyakis triacontahedron






Wolfram Alpha







polyhedron
dual polyhedron




01
[3,3,3]
tetrahedron
tetrahedron




02
[3,3,3,3]
octahedron
cube




03
[4,4,4]
cube
octahedron




04
[3,3,3,3,3]
icosahedron
dodecahedron




05
[3,4,3,4]
cuboctahedron
rhombic dodecahedron




06
[3,6,6]
truncated tetrahedron
triakis tetrahedron




07
[3,3,3,3,4]
snub cube
pentagonal icositetrahedron




08
[3,4,4,4]
rhombicuboctahedron
deltoidal icositetrahedron




09
[5,5,5]
dodecahedron
icosahedron




10
[4,6,6]
truncated octahedron
tetrakis hexahedron




11
[3,5,3,5]
icosidodecahedron
rhombic triacontahedron




12
[3,8,8]
truncated cube
small triakis octahedron




13
[3,3,3,3,5]
snub dodecahedron
pentagonal hexecontahedron




14
[3,4,5,4]
rhombicosidodecahedron
deltoidal hexecontahedron




15
[4,6,8]
truncated cuboctahedron
disdyakis dodecahedron




16
[5,6,6]
truncated icosahedron
pentakis dodecahedron




17
[3,10,10]
truncated dodecahedron
triakis icosahedron




18
[4,6,10]
truncated icosidodecahedron
disdyakis triacontahedron






MathWorld







polyhedron
dual polyhedron




01
[3,3,3]
Regular Tetrahedron
Regular Tetrahedron




02
[3,3,3,3]
Octahedron
Cube




03
[4,4,4]
Cube
Octahedron




04
[3,3,3,3,3]
Icosahedron
Dodecahedron




05
[3,4,3,4]
Cuboctahedron
Rhombic Dodecahedron




06
[3,6,6]
Truncated Tetrahedron
Triakis Tetrahedron




07
[3,3,3,3,4]
Snub Cube
Pentagonal Icositetrahedron




08
[3,4,4,4]
Small Rhombicuboctahedron
Deltoidal Icositetrahedron




09
[5,5,5]
Dodecahedron
Icosahedron




10
[4,6,6]
Truncated Octahedron
Tetrakis Hexahedron




11
[3,5,3,5]
Icosidodecahedron
Rhombic Triacontahedron




12
[3,8,8]
Truncated Cube
Small Triakis Octahedron




13
[3,3,3,3,5]
Snub Dodecahedron
Pentagonal Hexecontahedron



14[3,4,5,4] Small RhombicosidodecahedronDeltoidal Hexecontahedron


15
[4,6,8]
Great Rhombicuboctahedron
Disdyakis Dodecahedron




16
[5,6,6]
Truncated Icosahedron
Pentakis Dodecahedron




17
[3,10,10]
Truncated Dodecahedron
Tiakis Icosahedron




18
[4,6,10]
Great Rhombicosidodecahedron
Disdyakis Triacontahedron

2015年6月12日

Excel で諸量計算2

Excel 多面体 諸量

今回も 多面体諸量をExcel で求める方法をお伝えしています。
面積と 体積の 算出です。

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste
　　




  名称S角数M角数L角数




1[3,3,3]322









角数個数多角形のかど心寸面芯寸多角形の辺心寸




=C2=F2=0.5/SIN(PI()/A5)=SQRT($I$2^2-C5^2)=0.5/TAN(PI()/A5)




=D2=G2=0.5/SIN(PI()/A6)=SQRT($I$2^2-C6^2)=0.5/TAN(PI()/A6)




=E2=H2=0.5/SIN(PI()/A7)=SQRT($I$2^2-C7^2)=0.5/TAN(PI()/A7)






色付けした全範囲を指定し 1 行目 F 列に copy and paste





S面数M面数L面数頂芯寸




4000.612372435695795









面積体積




=E5/2*A5*B5=F5*D5/3総面積=SUM(F5:F7)




=E6/2*A6*B6=F6*D6/3




=E7/2*A7*B7=F7*D7/3総体積=SUM(G5:G7)






色付けした全範囲を指定し 9 行目 A 列に copy and paste

これは データ資料であり 
必要な数値を求めるときに 2 行目 A 列に 各行を copy and paste してください。






　名称S角数M角数L角数S面数M面数L面数頂芯寸




1[3,3,3]3224000.612372435695795




2[3,3,3,3]3228000.707106781186548




3[4,4,4]4226000.866025403784438




4[3,3,3,3,3]32220000.951056516295154




5[3,4,3,4]3428601




6[3,6,6]3624401.17260393995586




7[3,3,3,3,4]34232601.34371337374461




8[3,4,4,4]34281801.39896632596591




9[5,5,5]52212001.40125853844408




10[4,6,6]4626801.58113883008419




11[3,5,3,5]352201201.6180339887499




12[3,8,8]3828601.77882364566392




13[3,3,3,3,5]352801202.15583737511565




14[3,4,5,4]3452030122.23295050941568




15[4,6,8]46812862.31761091289276




16[5,6,6]562122002.47801865906759




17[3,10,10]3102201202.96944901586341




18[4,6,10]46103020123.80239449985117




  [3,3,3,5]35210200.951056516295154




  [4,4,5]4525200.986715155325985






以下が有効桁数確認のためにまとめた 20 桁 リストです。 
Excel での有効桁数は 13 以上でした。






  名称面積 体積




01[3,3,3]1.73205080756887 72935 .117851130197757 92073




02[3,3,3,3]3.46410161513775 45871 .471404520791031 68293




03[4,4,4]6.00000000000000 00000 1.00000000000000 00000




04[3,3,3,3,3]8.66025403784438 64676 2.18169499062491 23735




05[3,4,3,4]9.46410161513775 45871 2.35702260395515 84147




06[3,6,6]12.1243556529821 41055 2.71057599454843 21769




07[3,3,3,3,4]19.8564064605510 18348 7.88947739997539 02065




08[3,4,4,4]21.4641016151377 54587 8.71404520791031 68293




09[5,5,5]20.6457288070676 03073 7.66311896062463 19687




10[4,6,6]26.7846096908265 27522 11.3137084989847 60390




11[3,5,3,5]29.3059828449119 89541 13.8355259362494 04140




12[3,8,8]32.4346643636148 95173 13.5996632910744 43561




13[3,3,3,3,5]55.2867449584451 48944 37.6166499627333 62976




14[3,4,5,4]59.3059828449119 89541 41.6153237824979 67065




15[4,6,8]61.7551724393036 68108 41.7989898732233 30683




16[5,6,6]72.6072530341339 21879 55.2877307581227 39236




17[3,10,10]100.990760153101 98854 85.0396645593708 81555




18[4,6,10]174.292030342323 92088 206.803398874989 48482




  [3,3,3,5]7.77108182010012 70793 1.57868932583326 32321




  [4,4,5]8.44095480117793 38455 1.72047740058896 69228




双対多面体の 面積と 体積の Excel での計算式は お伝えする予定はまだありません。

面の形状は 1 種類 面芯寸 も 1 種類 なので

一つの面の 面積 × 総面数 が 双対多面体の 表面積 で

双対多面体の 表面積 × 面芯寸 ÷ 3  が 双対多面体の 体積 と

計算は 簡単そうですが

一つの面の 面積 のシンプルな計算式 が考えつかずにいます。

2015年5月29日

多倍長電卓LM で諸量計算

Excel 多面体 諸量

前回 Excel で 多面体諸量を求めました。
その値が どのくらいの精度で 計算できているのかを 調べるため
多倍長電卓LM　というフリーウエアーを用いて計算した値と 比べてみました。
http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html
以下に 多倍長電卓LM で得られた値のリストを載せておきます。
Excel で計算した値 の 有効桁数は 13 ぐらいでしょうか。
多倍長電卓LM　は C言語的な ソフトなので 私には使いづらいですが
十進BASIC と同じくらい 大いに活用させてもらっています。





名称基本数稜芯寸頂芯寸




[3,3,3].577350269189625 76451.353553390593273 76220.612372435695794 52455




[3,3,3,3].707106781186547 52440.500000000000000 00000.707106781186547 52440




[4,4,4].816496580927726 03273.707106781186547 52440.866025403784438 64676




[3,3,3,3,3].850650808352039 93218.809016994374947 42410.951056516295153 57212




[3,4,3,4].866025403784438 64676.866025403784438 646761.00000000000000 00000




[3,6,6].904534033733290 867941.06066017177982 128661.17260393995585 73886




[3,3,3,3,4].928191377985571 609411.24722316799364 325181.34371337374460 17013




[3,4,4,4].933948831094464 759581.30656296487637 652801.39896632596590 67020




[5,5,5].934172358962715 696451.30901699437494 742421.40125853844407 35447




[4,6,6].948683298050513 799601.50000000000000 000001.58113883008418 96660




[3,5,3,5].951056516295153 572121.53884176858762 670141.61803398874989 48482




[3,8,8].959682982260667 289141.70710678118654 752451.77882364566392 44509




[3,3,3,3,5].972732850565595 865322.09705383525208 799252.15583737511563 97018




[3,4,5,4].974607762378170 452372.17625089948282 151122.23295050941569 00495




[4,6,8].976450976246513 241152.26303343845371 462372.31761091289276 65138




[5,6,6].979432085486414 186582.42705098312484 227242.47801865906761 55376




[3,10,10].985721919281301 914612.92705098312484 227242.96944901586339 84670




[4,6,10].991316689541059 391373.76937712792171 660283.80239449985129 35848




[3,3,3,5].850650808352039 93218.809016994374947 42410.951056516295153 57212




[4,4,5].862103722396975 53031.850650808352039 93218.986715155325983 10732

2015年5月28日

すす竹風の材で作った多面体

多面体

以下の画像が 今現在 手元にある
すす竹風の材で作った多面体の ほぼすべてです。

バルサ材で作った もっと大きな多面体は ほとんどありません。
フリーマーケットで 手放しています。

後で気がついたのですが
プロトタイプの一点ものもありました。

また作ればいいのです。別の材で。

PIC_1141

今年最初のブログで …
今年は “初心” という言葉を意識した表現をめざします。
と書きました。

“初心” とは いい言葉です。
“初心を忘れるな” と
世阿弥（1363年? – 1443年? ）が花鏡で 伝えています。

未完であることを自覚し向上しようとする人が 初心者 だと言えます。

似た言葉の初級者 は 未完であることは同じですが
向上心があるかはわかりません。

私も 初心者として つれづれとブログを 書き綴ってゆこうと思っています。

追伸
以前 多面体諸量を得るための計算式を Excel でものせていましたが
今の私のパソコンにはいっている Excel では うまく動作しないのがありました。
そこで Excel 2010 で動作するように 式を変更したり
作成説明の表現を 改善したのもあります。

2015年3月25日

Rhombitruncated Icosidodecahedron　[4,6,10]

18[4,6,10] sphericity 多面体 諸量

以前 英語版の Wikipedia での表面積計算が 多面体[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron (=Rhombitruncated Icosidodecahedron)
では私の計算と異なると書きましたが
今日 (2015年1月8日) 確認したところ
英語版の Wikipedia で　計算式が変更され　答えが　174.2920303 (稜寸=1として)
になっていました。

私の計算結果と同じになったことに 嬉しく思っています。

2015年1月8日

双対多面体の諸量　体積、面積

BASIC 多面体 諸量

今回は 双対多面体の体積や 面積計算の BASIC プログラムを載せておきます。
双対多面体の場合 何を基準として 体積や面積を表現すべきか悩むところです。
以下にその出力の値を表示します。
体積1 や 面積1 は すでにお伝えしている値なので省略し 名称を追加しておきます。
体積2 や 面積2 は 双対多面体の稜の寸法の一番小さい値を 1 としたときの値です。
有効桁数は 13 ぐらいです。

  双対体積2        双対面積2
 .11785113019776  1.73205080756889 01 双対[3,3,3]     Tetrahedron　
 1.00000000000001 6.00000000000001 02 双対[3,3,3,3]   Hexahedron 
 .471404520791039 3.46410161513776 03 双対[4,4,4]     Octahedron 
 7.66311896062464 20.6457288070676 04 双対[3,3,3,3,3] Dodecahedron 
 3.07920143567805 11.3137084989848 05 双対[3,4,3,4]   Rhombic Dodecahedron 
 .982092751648015 5.52770798392574 06 双対[3,6,6]     Triakis Tetrahedron 
 35.6302020120718 54.7965494386598 07 双対[3,3,3,3,4] Pentagonal Icositetrahedron
 14.9133887137866 30.6948957240312 08 双対[3,4,4,4]   Trapezoidal Icositetrahedron 
 2.18169499062494 8.66025403784447 09 双対[5,5,5]     Icosahedron 
 3.5555555555556  11.9256958799988 10 双対[4,6,6]     Tetrakis Hexahedron 
 12.3107341487011 26.8328157299974 11 双対[3,5,3,5]   Rhombic Triacontahedron 
 2.91421356237319 10.6729418739837 12 双対[3,8,8]     Triakis Octahedron 
 189.78985206689  162.698964198467 13 双対[3,3,3,3,5] Pentagonal Hexecontahedron 
 81.0041436353778 92.2319129064044 14 双対[3,4,5,4]   Trapezoidal Hexecontahedron 
 16.288919082924  32.0667340105321 15 双対[4,6,8]     Hexakis Octahedron 
 13.4585693663192 27.9352496007011 16 双対[5,6,6]     Pentakis Dodecahedron 
 12.0172209268751 26.2285959767441 17 双対[3,10.10]   Triakis Icosahedron 
 84.181975440052  94.2346326621943 18 双対[4,6,10]    Hexakis Icosahedron 
以下がプログラムです。
今回も2013年1月11日に掲載した 計算プログラムで算出した諸量をもとに
表面積計算を追加して求めています。
OPTION ANGLE DEGREES

DIM d01(18,8)      ! 双対多面体の諸量
DIM d02(10,03)     ! 正多角形の諸量 
DIM d03$(18,2)     ! 最小寸法の稜の形態と名称 

FOR d04=1 TO 18
   FOR d05 =1 TO 8       
      READ d01(d04,d05)  ! 双対多面体の諸量の読み込み   
   NEXT d05
   READ d03$(d04,1)      ! 最小寸法の稜の形態の読み込み  
   READ d03$(d04,2)      ! 名称の読み込み  
NEXT d04

FOR d06 = 1 TO 6                         ! 正多角形の諸量計算
   READ d07
   LET d02(d07,1) = 0.5/SIN(180/d07)     !正多角形の  かど心寸 
   LET d02(d07,2) = 0.5/TAN(180/d07)     !正多角形の  辺心寸
   LET d02(d07,3) = SIN((180-360/d07)/2) !正多形の内角を二等辺三角形の頂角  
   !                                     !としたときの  底辺の1/2の長さ
NEXT d06

PRINT  "  双対体積1","  双対面積1", "  双対体積2","  双対面積2" 

FOR d08=1 TO 18
   LET d09=d01(d08,1)
   LET d10=d01(d08,2)
   LET d11=d01(d08,3)
   LET d12=d01(d08,4)
   LET d13=d01(d08,5)
   LET d14=d01(d08,6)
   LET d15=d01(d08,7)
   LET d16 = d01(d08,8)           ! 基本数  頂芯寸が 1 のときの 稜芯寸
   LET d17 = d16/(SQR(1-d16^2)*2)                      ! 稜芯寸
   LET d18 = SQR((1/SQR(1-d16^2)/2)^2 - d02(d09,1)^2)  ! L面芯寸  
   LET d19 = SQR((1/SQR(1-d16^2)/2)^2 - d02(d10,1)^2)  ! M面芯寸  
   LET d20 = SQR((1/SQR(1-d16^2)/2)^2 - d02(d11,1)^2)  ! S面芯寸  

   LET d21 = d02(d09,2) * d17 / d18   ! 双L稜寸(=L辺心寸*稜芯寸/L面芯寸) 
   LET d22 = d02(d10,2) * d17 / d19   ! 双M稜寸(=M辺心寸*稜芯寸/M面芯寸)
   LET d23 = d02(d11,2) * d17 / d20   ! 双S稜寸(=S辺心寸*稜芯寸/S面芯寸) 

   LET d24=d02(d09,3)
   LET d25=d02(d10,3)
   LET d26=d02(d11,3)

   LET d27 = SQR(d21^2 - (d24/2)^2) + SQR(d16^2 - d24^2)/2 ! 双Lかど心寸 
   LET d28 = SQR(d22^2 - (d25/2)^2) + SQR(d16^2 - d25^2)/2 ! 双Mかど心寸 
   LET d29 = SQR(d23^2 - (d26/2)^2) + SQR(d16^2 - d26^2)/2 ! 双Sかど心寸
   LET d30 =       d27 *  d02(d09,3)/2  *  d12  ! 
   LET d31 =       d28 *  d02(d10,3)/2  *  d13  ! 
   LET d32 =       d29 *  d02(d11,3)/2  *  d14  !  

   LET d33 = (d30+d31+d32) * d15                           ! 面積      
   LET d34 = 1/SQR(1-d16^2)/2-SQR(1-d16^2)/2               ! 双面芯寸  
   LET d35=d33*d34/3                                       ! 体積      
   LET d36=SQR(1-d16^2)
   LET d37=1/(d36*2)-d36/2  

   PRINT d35,d33,  ! 元の多面体の稜寸が 1 のときの 稜芯寸と同じ値の体積と面積

   IF d03$(d08,1)="LL" THEN LET d38 = d21+d21
   IF d03$(d08,1)="LM" THEN LET d38 = d21+d22   
   IF d03$(d08,1)="MM" THEN LET d38 = d22+d22
   IF d03$(d08,1)="MS" THEN LET d38 = d22+d23

   PRINT d35/d38^3,  ! 双対多面体の一番寸法が小さい稜寸を 1 としたときの体積　
   PRINT d33/d38^2,  ! 双対多面体の一番寸法が小さい稜寸を 1 としたときの面積　
   PRINT  d03$(d08,2)! 名称

NEXT d08

! <<計算に必要な既に分かっている定数 (角数の2は  角度0)>>
!    |←  1つの頂の諸量  →|   
!     01  02  03  04  05  06   07        08             09         10
!       M角数   L個数    S個数               
!   L角数   S角数   M個数    頂数     基本数       最小稜形         
DATA   3,  2,  2,  3,  1,  1,  4, .577350269189627 , "LL", "01 双対[3,3,3]"
DATA   3,  2,  2,  4,  1,  1,  6, .707106781186549 , "LL", "02 双対[3,3,3,3]"
DATA   4,  2,  2,  3,  1,  1,  8, .816496580927728 , "LL", "03 双対[4,4,4]"
DATA   3,  2,  2,  5,  1,  1, 12, .850650808352041 , "LL", "04 双対[3,3,3,3,3]"
DATA   4,  3,  2,  2,  2,  1, 12, .86602540378444  , "LM", "05 双対[3,4,3,4]"
DATA   6,  3,  2,  2,  1,  1, 12, .904534033733292 , "LM", "06 双対[3,6,6]"
DATA   4,  3,  2,  1,  4,  1, 24, .928191377985573 , "MM", "07 双対[3,3,3,3,4]"
DATA   4,  3,  2,  3,  1,  1, 24, .933948831094466 , "LM", "08 双対[3,4,4,4]"
DATA   5,  2,  2,  3,  1,  1, 20, .934172358962716 , "LL", "09 双対[5,5,5]"
DATA   6,  4,  2,  2,  1,  1, 24, .948683298050515 , "LM", "10 双対[4,6,6]"
DATA   5,  3,  2,  2,  2,  1, 30, .951056516295154 , "LM", "11 双対[3,5,3,5]"
DATA   8,  3,  2,  2,  1,  1, 24, .959682982260668 , "LM", "12 双対[3,8,8]"
DATA   5,  3,  2,  1,  4,  1, 60, .972732850565597 , "MM", "13 双対[3,3,3,3,5]"
DATA   5,  4,  3,  1,  2,  1, 60, .974607762378171 , "MS", "14 双対[3,4,5,4]"
DATA   8,  6,  4,  1,  1,  1, 48, .976450976246514 , "MS", "15 双対[4,6,8]"
DATA   6,  5,  2,  2,  1,  1, 60, .979432085486415 , "LM", "16 双対[5,6,6]"
DATA  10,  3,  2,  2,  1,  1, 60, .985721919281303 , "LM", "17 双対[3,10.10]"
DATA  10,  6,  4,  1,  1,  1,120, .99131668954106  , "MS", "18 双対[4,6,10]"

DATA     3,    4,    5,    6,    8,   10  

END

2014年8月30日

多面体の球形度 3　sphericity

18[4,6,10] BASIC Excel sphericity 多面体 諸量


前回　英語版の Wikipedia での表面積計算が 多面体[4,6,10]
Truncated icosidodecahedron (=Rhombitruncated Icosidodecahedron)
では私の計算と異なると書きましたが　*注

英語版や他の多くの言語の Wikipediaに載せられた 計算式を
BASICで実行すると以下です。(稜寸=1として) 

LET a=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(6)))))
PRINT a   
END

答=175.031044595664
ドイツ語版(Großes Rhombenikosidodekaeder)
の式です。(稜寸=1として)
LET b=30*(1+SQR(3)+SQR(5+2*SQR(5)))
PRINT b    
END

答=174.292030342324
イタリア語版(Icosidodecaedro troncato)は (稜寸=1として)
LET x=30*(1+SQR(2*(4+SQR(5)+SQR(15+6*SQR(5)))))
PRINT x    
END

答=174.292030342324

式の最後の 6*SQR(5) が 英語版の 6*SQR(6) と異なっています。
オランダ語版(Afgeknotte icosidodecaëder)や
ポルトガル語版(Icosidodecaedro truncado スペイン語と同じスペル)では
式は英語版と同じなのに
答えの記述は 174,2920 になっています。
少しためらいもありましたが くどくどと書いてしまいました。
*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)


上記 三種類の計算式を Excel で表示すると以下です。

=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(6)))))
=30*(1+SQRT(3)+SQRT(5+2*SQRT(5)))
=30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(5)))))

2014年7月25日

多面体の球形度 2　sphericity

18[4,6,10] BASIC sphericity 多面体 諸量

2013年8月11日に多面体の球形度をお伝えしていますが
数値だけで 計算根拠を載せていませんでした。
別々に作ったプログラムでの計算数値を比較して 正確性をチェックしていました。
その時点では 公表されている 資料が手元になく少し不安が残っていました。
先日 英語版の Wikipedia での表面積計算が Truncated icosidodecahedron
斜方切頂20･12面体 [4,6,10] で 175.031045 となっているのを発見しました。　*注
私の計算結果は174.29203034232392088 です。
また やってしまったかと思い 他の言語の Wikipedia も調べると、
ドイツ語版の数式を計算すると 私と同じ結果になりました。すこし安心しました。
不安を一掃するために もう一度計算プログラムを作ってみました。
2013年1月11日に掲載した 計算プログラムで算出した諸量をもとに
表面積計算を追加して求めています。判断を仰ぎます。

OPTION ANGLE DEGREES
OPTION BASE 0
DIM x001(10)          ! 多角形の面積
DIM x002(18,6)        ! 既知諸量
DIM x003$(18)         ! 名称
DIM x004(18,4)        ! 頂芯寸  面芯寸

FOR x=1 TO 6
   READ m
   LET x001(m)=0.5/TAN(180/m)*m*0.5  ! 多角形面積入力
NEXT x

FOR y=1 TO 18
   FOR z=1 TO 6
      READ  x002(y,z)                ! 数値入力
   NEXT z
   READ x003$(y)                     ! 名称入力
NEXT y

FOR p=1 TO 18
   FOR q=1 TO 4
      READ x004(p,q)
   NEXT q
NEXT p

PRINT "名称",
PRINT "  外接球半径 = R",
PRINT "  表面積 = S ",
PRINT "  体積 = V  ",
PRINT "  V/(S*R)"

FOR u=1 TO 18
   LET f11=x002(u,1)
   LET f12=x002(u,2)
   LET f13=x002(u,3)
   LET f21=x002(u,4)
   LET f22=x002(u,5)
   LET f23=x002(u,6)
   LET g10=x004(u,1)
   LET g11=x004(u,2)
   LET g12=x004(u,3)
   LET g13=x004(u,4)
   LET h01=x001(f11)*f21
   LET h02=x001(f12)*f22
   LET h03=x001(f13)*f23
   LET i01=h01*g11
   LET i02=h02*g12
   LET i03=h03*g13

   PRINT x003$(u), 
   PRINT g10, 
   PRINT h01+h02+h03,    
   PRINT (i01+i02+i03)/3,
   PRINT (i01+i02+i03)/3 / ( g10 * (h01+h02+h03) )  
NEXT u

DATA 3,4,5,6,8,10    ! 多角形の種類

!        角数       総数   
DATA  3, 0, 0,   4, 0, 0,  "01[3,3,3]"
DATA  3, 6, 0,   4, 4, 0,  "06[3,6,6]"
DATA  3, 0, 0,   8, 0, 0,  "02[3,3,3,3]"
DATA  4, 0, 0,   6, 0, 0,  "03[4,4,4]"
DATA  3, 8, 0,   8, 6, 0,  "12[3,8,8]"
DATA  3, 4, 0,   8, 6, 0,  "05[3,4,3,4]"
DATA  3, 0, 0,  20, 0, 0,  "04[3,3,3,3,3]"
DATA  5, 0, 0,  12, 0, 0,  "09[5,5,5]"
DATA  4, 6, 0,   6, 8, 0,  "10[4,6,6]"
DATA  3,10, 0,  20,12, 0,  "17[3,10.10]"
DATA  3, 4, 0,   8,18, 0,  "08[3,4,4,4]"
DATA  3, 5, 0,  20,12, 0,  "11[3,5,3,5]"
DATA  4, 6, 8,  12, 8, 6,  "15[4,6,8]"
DATA  3, 4, 0,  32, 6, 0,  "07[3,3,3,3,4]"
DATA  5, 6, 0,  12,20, 0,  "16[5,6,6]"
DATA  4, 6,10,  30,20,12,  "18[4,6,10]"
DATA  3, 4, 5,  20,30,12,  "14[3,4,5,4]"
DATA  3, 5, 0,  80,12, 0,  "13[3,3,3,3,5]"

!         頂芯寸           S面芯寸            M面芯寸            L面芯寸
DATA .612372435695795, .204124145231932, 0               , 0                ! 01
DATA 1.17260393995586, 1.02062072615966, .6123724356958  , 0                ! 06
DATA .707106781186549, .408248290463865, 0               , 0                ! 02  
DATA .866025403784443, .500000000000007, 0               , 0                ! 03
DATA 1.77882364566394, 1.68252198471218, 1.20710678118657, 0                ! 12
DATA 1               , .816496580927726, .707106781186547, 0                ! 05
DATA .951056516295157, .755761314076175, 0               , 0                ! 04
DATA 1.40125853844408, 1.11351636441161, 0               , 0                ! 09
DATA 1.58113883008421, 1.41421356237312, 1.22474487139162, 0                ! 10
DATA 2.96944901586351, 2.91278116659653, 2.48989828488292, 0                ! 17
DATA 1.39896632596592, 1.27427369424832, 1.20710678118656, 0                ! 08
DATA 1.6180339887499 , 1.51152262815235, 1.37638192047118, 0                ! 11
DATA 2.3176109128928 , 2.20710678118658, 2.09077027517606, 1.91421356237313 ! 15
DATA 1.34371337374461, 1.2133558000219 , 1.14261350892597, 0                ! 07
DATA 2.47801865906766, 2.32743843676637, 2.26728394222856, 0                ! 16
DATA 3.80239449985143, 3.73606797749993, 3.66854248067273, 3.44095480117809 ! 18
DATA 2.23295050941571, 2.15701985252026, 2.11803398874992, 2.06457288070678 ! 14
DATA 2.15583737511568, 2.07708965974325, 1.98091594728188, 0                ! 13

END
計算結果の諸量は 以下です 有効桁数は 13 ぐらいです。
     外接球半径 = R    表面積 = S        体積 = V          V/(S*R)
01  .612372435695795  1.73205080756888  .117851130197758  .111111111111111 
06  1.17260393995586  12.1243556529822  2.71057599454846  .190656480332432 
02  .707106781186549  3.46410161513775  .471404520791033  .192450089729876 
03  .866025403784443  6                 1.00000000000001  .192450089729877 
12  1.77882364566394  32.4346643636149  13.5996632910746  .235714258446495 
05  1                 9.46410161513775  2.35702260395516  .249048742268904 
04  .951056516295157  8.66025403784438  2.18169499062492  .264884824097256 
09  1.40125853844408  20.6457288070676  7.66311896062467  .264884824097255 
10  1.58113883008421  26.7846096908266  11.313708498985   .26714660435952 
17  2.96944901586351  100.990760153102  85.0396645593756  .283572442725136 
08  1.39896632596592  21.4641016151378  8.71404520791042  .290201619765406 
11  1.6180339887499   29.305982844912   13.8355259362495  .291777461485733 
15  2.3176109128928   61.7551724393037  41.798989873224   .292046442752428 
07  1.34371337374461  19.856406460551   7.88947739997544  .295692931258246 
16  2.47801865906766  72.607253034134   55.2877307581239  .307286999289469 
18  3.80239449985143  174.292030342324  206.803398874998  .31204912568704 
14  2.23295050941571  59.305982844912   41.6153237824984  .314250279590291 
13  2.15583737511568  55.2867449584451  37.6166499627341  .315604435116589

　*英語版は 計算式、数値とも変更されています。(2015年1月8日現在)

2014年7月22日

デューラーの多面体 4　Dürer’s solid　Truncated triangular trapezohedron

Dürer’s solid 多面体

下の立体は 私がデューラーの多面体の形状を理解し納得するために作りました。

これらの三つの立体に共通した要素は。

菱形を 短い対角線に沿って二分してできた形状の稜部品 unit が
三つ連なって輪になっているものです。

反角柱 antiprism  の一種であり 全ての頂が 球に接しています。

この条件をもとに 諸量の計算をしています。

sakai-s004

上左は 正六面体で 稜の開き角度は 90度  右上は 正八面体で 60度の開き角です。
つまり デューラーの多面体の鋭角は 60度から 90度までの間だということです。

上中が 鋭角 360/5 の 72度で 鈍角が 正五角形の内角と同じ 108度の
デューラー多面体と 形状がよく似ていると思われる立体です。

三角形にカットした面の稜寸が 他の短い二本の稜寸より少し長いのが特徴です。

2014年2月13日

デューラーの多面体 3　Dürer’s solid　Truncated triangular trapezohedron

Dürer’s solid 多面体

下の画像の上中ほどの立体が平行六面体です。

この多面体は 球に全ての頂が接するほどの symmetricさ がないので
接合部分に 乱れが生じています。

同様に デューラーの多面体もこの平行六面体の特徴をもつため
角棒を稜として作る sashimono には 製作の対象としづらいものがあります。

画像下 四つの立体は 全ての頂が球に接するように
平行六面体の長方向の両端をカットした形状です。

四つのうちの左右の立体が その極端な場合で
左は カットのした面積が 0 右は 菱形の半分の面の部分までカットです。

sakai-s003

ここでは デューラーの多面体は 全ての頂が球に接すると前提していますが
その条件をはずせば 形状の可能性は 大きく広がります。

日本語の “外接” とか “内接” とかの用語は あまりいい訳語とは思えませし
用語としても 私は使用に混乱しそうです。これからは 使わないようにしています。

下の左から二つ目の立体の 鋭角は 77.142857142857142857 です。
360/(3+5/3) とか 540/7 の値と同値です。
カットされたほうの三つの稜の寸法が等しい値になっています。

2014年2月11日

デューラーの多面体 2　Dürer’s solid　Truncated triangular trapezohedron

Dürer’s solid 多面体

デューラーの多面体の 作品1 (左) と 作品2 (右)　です。
sakai-s001

計算した諸量が正しい値なのかどうか 不安な気持ちで作品1 を作りました。
加工し易いようにバルサ材を使用しています。

作品2 は製作に必要な諸量に問題はなさそうなので ラミン材で作ってみました。
高さは約 90mm で 球に外接する形状になっています。

デューラーが活躍していた当時はもう 天体観測などの測量では
かなり精度の高い三角関数の数値が用いられていたようですが
構造物などのの計算には
どれほど三角関数が寄与していたのか 知りたいところです。

ラミン材は 絶滅危惧種としてワシントン条約にも登録されています。
20年ほど前にストックしていた材を使っています。

2014年2月6日

デューラーの多面体　Dürer’s solid　Truncated triangular trapezohedron

BASIC Dürer’s solid ポーカーの確率 多面体

レオナルド・ダ・ヴィンチ Leonardo da Vinci (1452-1519)　と
同時代に　ドイツで活躍した
アルブレヒト・デューラー Albrecht Dürer (1471-1528)
の銅版画 メランコリア I (Melencolia I) の中にある
特殊な八面体の製作をしようと思っています。
http://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_D%C3%BCrer　参照
本来なら 作品を完成してから 製作方法を伝えるべきですが
やっと 諸量の計算ができたところです。
早く お伝えしようと思い 作ったばかりの BASIC のプログラムを
載せておきます。計算方法の思い違いがあるかもしれませんが
実際に作品を作ってゆけば 発見できるでしょう。
この多面体の諸量については諸説あるようですが
石津秀子さんの 論文を参考にさせていただきました。
http://www.seijo.ac.jp/pdf/falit/188/188-4.pdf

!! コピー開始 
! メランコリア I (Melencolia I) の八面体の製作に
! 必要な諸量の計算 <試案>

! 菱形の鋭角を 72度とする
! 菱形の短いほうの対角線を 1とする
! 短いほうの対角線を底とする二等辺三角形を考える
! この二等辺三角形で
! 底を周方向とする二つの三角錐と一つの反角柱を作る
! 二つの三角錐に反角柱を挟んで 平行六面体を作り 
! 長方向の両端をカットした形状を作る
! 八面体は球に外接するとして計算

OPTION ANGLE DEGREES
LET m001=sqr(3)/6
LET m002=sqr(3)/3
LET m003=72                     ! 72　　　　　　　　菱形鋭角
LET m004=0.5/tan(m003/2)        ! .688190960235587  対角線長寸/2 
LET m005=sqr(m004^2-m001^2)     ! .62471870823327   三角錐の高さ 反角柱の高さ
LET m006=sqr((m002)^2+m005^2)   ! .85065080835204   稜寸
LET m007=acos((m002)/m006)      ! 47.2566160617882  三角錐の稜の仰角
LET m008=sqr(m002^2+(m005/2)^2) ! .656431031744764  反角柱の外接球半径
LET m009=atn((m005/2)/m002)     ! 28.4143751956601  反角柱の高さ巾角/2
LET m010=m007+m009              ! 75.6709912574483  稜の球内侵入角度
LET m011=m008*sin(90-m010)*2    ! .324919696232906  三角錐のカット残の稜寸
LET m012=m006-m011              ! .525731112119134  切り離しする三角錐の稜寸  
LET m013=m012/m011              ! 1.6180339887499   切り分け稜寸比 (黄金比)
LET m014=m012*sin(m003/2)*2     ! .618033988749895  カット面三角の辺寸
LET m015=asin((m006/2)/m008)    ! 40.3861775591967  長稜巾角/2
LET m016=asin((m011/2)/m008)    ! 14.3290087425517  短稜巾角/2
LET m017=asin((m014/2)/m008)    ! 28.0831980645294  底稜巾角/2
LET m018=90-m015                ! 49.6138224408033  長稜端角
LET m019=90-m016                ! 75.6709912574483  短稜端角
LET m020=90-m017                ! 61.9168019354706  底稜端角
LET m021=90+m003/2              ! 126               五角底角
LET m022=(90-m003/2)*2          ! 108               菱形鈍角
LET m023=90-m018                ! 40.3861775591967  長稜仰角
LET m024=m006*cos(m023)         ! .647936163294299  長稜投影寸
LET m025=asin(0.5/m024)*2       ! 101.010156834313  長・長稜開き角
LET m026=(360-m025)/2           ! 129.494921582844  長・短稜開き角
LET m027=90-m019                ! 14.3290087425517  短稜仰角
LET m028=90-m020                ! 28.0831980645294  底稜仰角
LET m029=cos(m028)              ! .882264951894171  底稜投影縮小比
LET m030=asin(0.5/m029)*2       ! 69.0440756710915  底・底稜開き角
LET m031=(360-m030)/2           ! 145.477962164454  底・短稜開き角
LET m032=m005+m011*cos(m003/2)*2! 1.1504498203524   八面体長寸
LET m033=(1+sqr(5))/2           ! 1.61803398874989  黄金比
LET m034=atn(1/m033)*2          ! 63.4349488229222  黄金比の鋭角
LET m035=sqr(2)                 ! 1.4142135623731   白銀比
LET m036=atn(1/m035)*2          ! 70.5287793655091  白銀比の鋭角

PRINT "《メランコリア》の八面体"
PRINT "菱形対角線短寸",1        ! 1            
PRINT "菱形対角線長寸",m004*2   ! 1.37638192047117
PRINT "菱形鋭角"      ,m003     ! 72
PRINT "長稜寸"        ,m006     ! .85065080835204  
PRINT "短稜寸"        ,m011     ! .324919696232906
PRINT "底稜寸"        ,m014     ! .618033988749895
PRINT "長稜仰角"      ,m023     ! 40.3861775591967
PRINT "短稜仰角"      ,m027     ! 14.3290087425517
PRINT "底稜仰角"      ,m028     ! 28.0831980645294
PRINT "長・長稜開き角/2",m025/2 ! 50.5050784171565 
PRINT "長・短稜開き角/2",m026/2 ! 64.747460791422
PRINT "底・底稜開き角/2",m030/2 ! 34.5220378355458 
PRINT "底・短稜開き角/2",m031/2 ! 72.738981082227 
PRINT "八面体長寸"    ,m032     ! 1.1504498203524
PRINT "外接球直径",m008*2       ! 1.31286206348953
PRINT
PRINT "参考数値"
PRINT "黄金比" , "1 :" ;m033    ! 1 : 1.61803398874989 
PRINT "黄金比菱形の鋭角" ,m034  ! 63.4349488229222
PRINT "白銀比" , "1 :" ;m035    ! 1 : 1.4142135623731
PRINT "白銀比菱形の鋭角" ,m036  ! 70.5287793655091

END ! コピー終わり

以下は 整数比に変換した値です

 .85065080835204  131 / 154 
 .324919696232906  77 / 237 
 .618033988749895 144 / 233 
 40.3861775591967 131 / 154
 14.3290087425517  47 / 184
 28.0831980645294 127 / 238 
 50.5050784171565 182 / 150
 64.747460791422  212 / 100
 34.5220378355458 119 / 173
 72.738981082227  177 /  55
追伸
新しいパソコンに買い替えてこのブログを作っています。
以前お伝えした ポーカーの確率計算のプログラムを
このパソコンで run してみました。すると 32秒で output です。
以前は 半日もかかったのに
隔世の感を 新たにしているところです。

2014年1月25日

sashimono[4,6,6] dual polyhedron 四方6面体 Tetrakis Hexahedron

10[4,6,6] 多面体

[4,6,6]双対多面体の四方6面体 Tetrakis Hexahedron の製作方法をお伝えします。

形状のイメージは 正四角形でサイコロのように構成された立体 (正六面体) に
それぞれの面に四本の部材で屋根を作っているといった形です。

それが下画像右にあります。



稜部品の寸法は 下画像右のグラフで確認しています。

多角形 (この多面体では二等辺三角形) の面から中芯までの距離を 1 としたとき
元の多面体の六角形と六角形を通る 6 6 型稜部品の寸法は 1.491 になります。

これを整数の比に直すと 面芯寸が 108 のとき 稜寸が 161 というこです。
下のグラフでは 横方向に 108 縦方向に 161 のところに点を打ち
左下かどの 0,0点とで直線を描いています。

元の多面体の六角形と四角形を通る 6 4 型稜部品の寸法は 1 対 1.118 になります。

それは 144 に対して 161 になり
下のグラフでは 横方向に 144 縦方向に 161 のところに点を打ち
左下かどの 0,0点とで直線を描いています。

10　1.4907119849998597976　双[4,6,6] 6,6 稜寸/面芯寸( 161/108 )
10　1.1180339887498948482　双[4,6,6] 6,4 稜寸/面芯寸( 161/144 )
今回製作した多面体は 10×10 の角材で 高さを 150mm にしています。

ですから グラフ用紙の 左から 75 のところを上に寸法を読み取っています。
6,6 稜寸は 111.8 のところを
6,4 稜寸は 83.9 のところで縦線を通過しているはずです。



稜部品の接合部分の形状への加工は 画像にある二つの cradle で行います。
上の cradle が 6 形で 仰角 35.26度 ( 169/239 ) 接合角 30度 ( 112/194 ) ×2
下の cradle が 4 形で 仰角 19.47度 ( 070/198 ) 接合角 45度 ( 180/180 ) ×2。

6,6 形稜部品は 両端とも 6 形で加工し 12 個必要。
6,4 形稜部品は 片端は 6 形で加工し もう片方を 4 形で加工し 24 個必要。
その横の二つの治具は 仰角を作る材の整形用ガイドです。
組み立ては 二等辺三角形の unit を 12個作っておくと あとは簡単です。

2013年10月11日

sashimono[4,6,6] Truncated Octahedron 切頂8面体 2　

10[4,6,6] 多面体

[4,6,6] Truncated Octahedron 切頂8面体製作についてお伝えします。

準正多面体なので
稜寸は 1種類 (今回は 85mm ) 仰角は 1種類 ( 18.43度 083/249 ) です。

下画像左上の cradleで 正四角形を作る稜部品の接合角( 48.19度 161/144 )に加工。
下画像左下の cradleで 正六角形を作る稜部品の接合角( 65.91度 161/072 )に加工。
この 左下の cradleの右横の 三つの両部品で Y 字型のユニットを作ります。

左斜めと 右斜めの部品は 6,4形稜部品で 24個。

縦上下方向の部品が 6,6形稜部品で 12個必要です。

このユニットを 画像のように 組み合わせてゆけば 完成です。

材料がバルサ材であったり 接合角が 鈍角なためだったりして
切削はスムーズな作業でした。



下図左が完成した[4,6,6]で 右はそれと製作方法が似ている [4,6,8]です。

高さ寸法は大体同じくらいですが 面や稜の数が少ないので
バランスを考えると 少しサイズを小さくした方が良いようです。



* 以前 [4,6,6] の諸量をお伝えしたときに 双対[4,6,6]の名称の表記が
誤っていました。今は 訂正して表示しています。

2013年10月3日

< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >