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Excel 嵯峨近辺 未分類
散歩や外出のときに気にして竹藪を覗くのですが
鹿さんあまり見ないな と思いながら目を向けると 三匹いました。
2017 3月24日 8:00a.m. google map→
はじめは藪のきわまで 一匹が来ていて
こちらを見てお辞儀をしているような 動きがありました。
もう一度 戻ってカメラを向ける頃には 遠くのほうにいて逃げる寸前でした。
早咲きの桜が 春の気分を誘ってくれています。
話題をもう一つ。
ラマヌジャンの 1729 についてのエクセルデータです。
言葉や単なる数式では 分かりにくく実感しにくいので
操作可能な式として 表しました。現象の確認がせいぜいですが。
ラマヌジャンの頭の中は どうなっていたのでしょう。
本当に 人間という生命体だったのか 不思議です。
| a = 3/√7 | 1.13389341902768 | ←入力可 |
| b = 4/√7 | 1.51185789203691 | ←入力可 |
| | |
| (6*a^2 - 4*a*b + 4*b^2 )^3 = | 10^3 | 1000 |
| (3*b^2 + 5*a*b - 5*a^2 )^3 = | 9^3 | 729 |
| | 1729 |
| | |
| (6*b^2 - 4*a*b + 4*a^2 )^3 = | 12^3 | 1728 |
| (3*a^2 + 5*a*b - 5*b^2 )^3 = | 1^3 | 1 |
| | 1729 |
| 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 = 1729 | | |
| a = 3/√7 | =3/SQRT(7) | ←入力可 |
| b = 4/√7 | =4/SQRT(7) | ←入力可 |
| | |
| (6*a^2 - 4*a*b + 4*b^2 )^3 = | =" "&10^(LOG10(C4)/3)&"^3" | =(6*B1^2-4*B1*B2+4*B2^2)^3 |
| (3*b^2 + 5*a*b - 5*a^2 )^3 = | =" "&10^(LOG10(C5)/3)&"^3" | =(3*B2^2+5*B1*B2-5*B1^2)^3 |
| | =SUM(C4:C5) |
| | |
| (6*b^2 - 4*a*b + 4*a^2 )^3 = | =" "&10^(LOG10(C8)/3)&"^3" | =(6*B2^2-4*B1*B2+4*B1^2)^3 |
| (3*a^2 + 5*a*b - 5*b^2 )^3 = | =" "&10^(LOG10(C9)/3)&"^3" | =(3*B1^2+5*B1*B2-5*B2^2)^3 |
| | =SUM(C8:C9) |
| =IF(C6=C10,B4&" +"&B5&" ="&B8&" +"&B9&" = "&C6,"") | | |
| |
2017年3月24日
Excel 未分類
計算あそびの エピソードが続きます。
コラッツの数列という ある決めごとで作られた数の連続についてです。
ローター・コラッツ (Lothar Collatz 1910-1990 ) が
コラッツの問題とか ３ｎ+１問題 とよばれる ある主張をしました。
英語版⇒Collatz conjecture
どんな正の整数も
その数が 偶数なら その数を１/２倍にする。
その数が 奇数なら その数を３倍にして１を足す。
という操作を続けると 必ず１に到達する。
そして 1→4→2→1 というループに入る。
と言っています。
その主張が正しいのか 正しくないのかまだ解っていません。
下に １０を例に説明します。太字の数の連続がそれで
10 は 偶数なので 2 で割って 5
5 は 奇数なので 3 を掛けて 1 を足す → 16
として 続けます。
コラッツの数列 ( Collatz sequence )
10
5 10/2 5
5 16 5x3+1 16
16 8 16/2 8
8 4 8/2 4
4 2 4/2 2
2 1 2/2 1
1 4 1x3+1 4
4 2 4/2 2
2 1 2/2 1
1 4 1x3+1 4
4 2 4/2 2
現象の例として
10未満は 9で 19ステップ
100未満は 97で 118ステップ
1,000未満は 871で 178ステップ
10,000未満は 6,171で 261ステップ です。
エクセルで 操作の流れが解るように 式を作りました。以下です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
A列を指定しセルの書式設定 のフォントで スタイルを 太字にしてください。
| コラッツの数列 ( Collatz sequence ) | | | | |
| 1001 | | | | |
| =IF(MOD(A2,2)=0,A2/2,A2*3+1) | | =IF(A2>0, IF(MOD(A2,2)=0,A2&"/2"," "&A2&"x3+1"),0) | =IF(MOD(B3,2)=0,""&B3,B3) |
| =IF(A2=1,0,B3) | =IF(MOD(A4,2)=0,A4/2,A4*3+1) | | =IF(A4>0, IF(MOD(A4,2)=0,A4&"/2"," "&A4&"x3+1"),0) | =IF(MOD(B4,2)=0,""&B4,B4) |
| |
4 行目の A 列から E 列 までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
ドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。
1001 の数で 判定していますので 145行目で 1 になります。
2017年3月21日
Excel 嵯峨近辺 未分類
前回 嵯峨を話題にしたキッカケに調べものをしていると
以前から思っていた野宮に対する疑問がとけました。
明治維新後の動乱で ひどい目に遭った 神社仏閣の代表として
野宮 南禅寺問題 と名付けて関心を持っていました。
古代の神社の様式を未だに伝える
由緒ある静粛な野宮に接して線路がひかれ
蒸気機関車がやかましく往来することがどうしてできたのか。
南禅寺の敷地に水路閣という煉瓦つくりの水路がドッカリ鎮座し
そして
琵琶湖疎水の水を 滝や渓流にした素晴らしい庭園を配し
お妾さんを囲っていたとの噂もある 邸宅のかずかずが
どうしてできしまったのか。
南禅寺問題は 廃仏棄釈で文句は言えなかったからと
わりと簡単に解けましたが
明治維新後の神社は 不遇ではなかったはずだという疑問です。
調べもので分かったのは
その時の野宮は 村の管理下にある小さな ほこら でしかなく
神に仕える人たちは農業やほかの仕事で生計を立てていた程
神社の力はなかった。がその答えです。
明治32年に鉄道が通り 明治40年にやっと 野宮への援助が始まりました。
ご近所の天龍寺さんも 長州の本陣だったことで焼き討ちされたり
散々な目に遭って経営難になり
敷地内で風呂屋を経営していたとも聞いています。
でもそれに屈せず
今は 世界遺産に登録されている 素晴らしい寺院に復興しています。
話題をもう一つ。
ヘロンの開平方の エクセル版です。
本やインターネットを参照しながら
文字や数式からの説明を読んでいますが
なかなか理解しにくいものです。そこで エクセルで表現し
これを操作しながら 理解を深めてゆこうとしているところです。
√A ≒ 1/2*(a+A/a)
A= 1000
a= 7
1/2*(a+A/a) a √A と a との差
74.92857143 7 67.92857143
44.13730764 74.92857143 -30.79126379
33.39693882 44.13730764 -10.74036882
31.66990145 33.39693882 -1.727037365
31.62281166 31.66990145 -0.047089791
31.6227766 31.62281166 -3.50609E-05
31.6227766 31.6227766 -1.94369E-11
31.6227766 31.6227766 0
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
| √A ≒ 1/2*(a+A/a) | | |
| A= | 1000 | |
| a= | 7 | |
| | |
| 1/2*(a+A/a) | a | √A と a との差 |
| =1/2*(B6+B2/B6) | =B3 | =A6-B6 |
| | |
| =1/2*(B8+$B$2/B8) | =A6 | =A8-B8 |
| =1/2*(B9+$B$2/B9) | =A8 | =A9-B9 |
| |
9 行目の A 列から C 列 までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
16行ぐらいまでドラッグする [オートフィル]機能 を使ってください。
A= 1000 a= 7 のところが変更可能です。
2017年3月20日
嵯峨近辺
今日は 嵯峨の 釈迦堂で お松明（おたいまつ）があります。
下画面は 京都三大火祭りの一つとして
以前にもお伝えしたことのある 大たいまつの立ち上げ風景です。
釈迦堂 (清凉寺) の本殿から 仁王門方向を見ています。
釈迦堂は お釈迦さんとも呼ばれたりして
地元の人は普段から 親しみをもって参拝に来られています。
そして 洛中洛外図の どの絵にも見ることができる古刹です。
2017 3月15日 10:00a.m.
今日は 無料公開で本殿に入ることができ 釈迦如来像も 拝してきました。
江戸時代 勧進のため このお釈迦さんの像は 江戸まで出張されたそうで
賽銭で傷ついた跡が お体にいくつも残っています。
下の画像は 三基ある松明の一つが燃えているところで
他の二基にはまだ火が入っていません。
少し雨も降っていますが 燃えにはあまり関係ないようです。
昔は この三つの松明の燃えつきる状態で
稲の収穫の吉凶を占ったこともあったようです。
早稲 中稲 晩稲 とそれぞれの松明に意味があり
早稲が一番大きく ７メートルぐらいの高さだそうです。
そして 順番に一基ずつ火を点けてゆきます。
以前は速やかに 三つの松明に火をつけようという感じでしたが
今は気にせずのんびりしているように見えます。
一基めの松明は もう真っ盛りに燃えています。
2017 3月15日 8:40p.m.
嵯峨の郷土史を 知るには 古老や保存会からの
知識を得るのが一番だと思います。
そのためには 地域の行事への積極的な参加が必要となります。
しがらみが苦手な私には とても無理ですが。
2017年3月15日
Dürer’s solid 未分類
国立国際美術館で開かれている クラーナハの絵画展に行ってきました。
クラーナハ ( Lucas Cranach der Ältere 1472-1553 ) は
ドイツ・ルネッサンスを代表する芸術家で
後世の絵画作品にも大きな影響を与えているとのことです。
絵画にはあまり興味がない私ですが あの有名な宗教改革を興した
マルティン・ルター（Martin Luther 1483- 1546 ）の肖像画作者だと知ったことと
妻が 強く誘うもので 重い腰をあげて 大阪まで行ってきました。
人物の特徴的な表現に魅かれたり
当時のドイツの雰囲気が感じられるような気分になったりで
いつになく感銘を受けていました。
それと 彼に影響を及ぼしたと思われる同時代のドイツの画家
アルブレヒト・デューラー ( Albrecht Dürer 1471-1528 ) の
作品も数点あり 既にお伝えしたことのある メランコリア もあったのです。
以前 メランコリア を見たときは 思った以上に小さく(238mm×186mm)
印象として感動に乏しかったのですが
今回は 小さいと感じてしまったことが不思議で
思いがけず鑑賞することができたことに 大変感動しました。
2017年3月11日
Excel 未分類
普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見たいと思って 最近のブログを書いています。
今回はアルキメデス (287 BC? – 212 BC?) の円周率の計算法についてです。
アルキメデスは 直径が 1 となる円に対し
かどが円に内から接する正六角形の周の寸法と
辺 が円に外から接する正六角形の周の寸法との中間の値が
円周率だとして多角形の周の寸法を求めています。
円に接する多角形の角数を多くすればするほど
かどが接する多角形と 辺が接する多角形との
周の寸法の差が 縮まり円周率に近づくということです。
彼は 六角形の周の寸法をもとに その倍の12角形を計算し
その倍の24角形を計算しそして 48角形 96角形と行ったそうです。
そして 3+10/71 < 円周率 < 3+1/7 の結果になったとのことです。
つまり 3.14084507042254 < 円周率 < 3.14285714285714 です。
当時の記数法で どのように計算したかは あまり判っていないようです。
現代風に計算すると以下のようになります。
| | 角数 | 内 周寸 an | 外 周寸 An | 差 |
| 1 | 6×1= 6 | a1 = 3 | A1= 2×√3 | A1-a1 |
| 2 | 6×2=12 | a2 = √( a1×A2 ) | A2= 2×a1×A1 / ( a1+A1 ) | A2-a2 |
| 3 | 12×2=24 | a3 = √( a2×A3 ) | A3= 2×a2×A2 / ( a2+A2 ) | A3-a3 |
| 4 | 24×2=48 | a4 = √( a3×A4 ) | A4= 2×a3×A3 / ( a3+A3 ) | A4-a4 |
| 5 | 48×2=96 | a5 = √( a4×A5 ) | A5= 2×a4×A4 / ( a4+A4 ) | A5-a5 |
計算結果です。
| 角数 | 内側 n角形の周寸 | 外側 n角形の周寸 | 差 |
| 6 | 3 | 3.46410161513775 | 0.464101615137755 |
| 12 | 3.10582854123025 | 3.21539030917347 | 0.109561767943223 |
| 24 | 3.13262861328124 | 3.1596599420975 | 0.027031328816262 |
| 48 | 3.13935020304687 | 3.14608621513143 | 0.006736012084568 |
| 96 | 3.14103195089051 | 3.14271459964537 | 0.001682648754859 |
以下は Excel 用のデータです。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。
B 列 から D 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし小数点以下の桁数を 15 にしてください。
そして A 列 3 行目から D 列 3 行目までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
27 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。
この範囲での計算になると 小数点以下 14 桁まで正確な計算ができます。
A 列 2 行目の 6 は変更可能で 初期の角数を変えて計算できます。
| n角数 | 内側 n角形の周寸 | 外側 n角形の周寸 | 差 |
| 6 | =SIN(PI()/A2)*A2 | =TAN(PI()/A2)*A2 | =C2-B2 |
| =A2*2 | =SQRT(B2*C3) | =2*B2*C2/(B2+C2) | =C3-B3 |
2017年3月4日
Excel 多面体 諸量
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を以前 お伝えしたことがあります。
ブラーマグプタの公式 の扱う対象は
ブレートシュナイダーの公式 ( Bretschneider’s formula ）と違って
四角形の全てのかどが円に接しているという条件があります。
プラトン多面体や アルキメデス多面体での計算では それで充分でした。
でも なじみが無いのも事実で
ヘロンの公式 ( Heron’s formula ) と対比してみました、
どちらの公式も 面積計算として説明されていることがほとんどですが
ここでは 多角形のかどから面の中心までの 距離の計算に用いています。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。
41 行目から 58 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。
| | a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| | | | | | |
| 多角形 | 角数 | | 開き寸 | ( 稜寸 = 1 として ) | | |
| a | =B2 | | =COS((PI()/B5))*2 | | | |
| b | =C2 | | =COS((PI()/B6))*2 | | | |
| c | =D2 | | =COS((PI()/B7))*2 | | | |
| d | =E2 | | =IF(B8=0,0,COS((PI()/B8))*2) | | | |
| e | =F2 | | =IF(B9=0,0,COS((PI()/B9))*2) | | | |
| | | | | | |
| ヘロンの解法 | | | プラームグプタの解法 | | | |
| | | | | | |
| s=(a+b+c)/2 | | | s=(a+b+c+d)/2 | | | |
| =SUM(D5:D7)/2 | | | =SUM(D5:D8)/2 | | | |
| | | | | | |
| s-a | s-b | | s-a | s-b | s-c | s-d |
| =A14-D5 | =A14-D6 | | =D14-D5 | =D14-D6 | =D14-D7 | =D14-D8 |
| s-c | | | | | |
| =A14-D7 | | ac+bd | ad+bc | ab+cd | |
| | | =D5*D7+D6*D8 | =D5*D8+D6*D7 | =D5*D6+D7*D8 | |
| | | | | | |
| u=a*b*c | | | U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) | | √U | |
| =D5*D6*D7 | | | =D20*E20*F20 | | =SQRT(D23) | |
| | | | | | |
| D=s(s-a)(s-b)(s-c) | | | D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | | | |
| =A14*A17*B17*B19 | | | =D17*E17*F17*G17 | | | |
| | | | | | |
| S=√D | | | S=√D | | | |
| =SQRT(A26) | | | =SQRT(D26) | | | |
| | | | | | |
| R=1/4*u/S | | | R=1/4*√U/S | | | |
| =1/4*D5*D6*D7/A29 | | | =1/4*SQRT(D23)/D29 | | | |
| | | | | | |
| h=√(1-R^2) | H=1/2/h | | h=√(1-R^2) | H=1/2/h | | |
| =SQRT(1-A32^2) | =1/2/A35 | | =SQRT(1-D32^2) | =1/2/D35 | | |
| | | | | | |
| 角錐高 | 頂芯寸 | | 角錐高 | 頂芯寸 | | |
| =IF(B8=0,A35,"計算不可") | =IF(B8=0,B35,"計算不可") | | =IF(B9=0,D35,"計算不可") | =IF(B9=0,E35,"計算不可") | | |
| | | | | | |
| a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 01 [3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 0 | | =SQRT(3/2)/2 |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | | =1/SQRT(2) |
| 03 [4,4,4] | 4 | 4 | 4 | 0 | | =SQRT(3)/2 |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | =COS(PI()/10) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | 3 | 4 | | 1 |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(11/2)/2 |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | 4 | 4 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) |
| 09 [5,5,5] | 5 | 5 | 5 | 0 | | =COS(PI()/5)*SQRT(3) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(5/2) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | 3 | 5 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 4 | | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | 6 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| |
2017年3月2日
Excel 未分類
久しぶりの投稿です。
私の多面体製作の道具として Excel は欠かせません。
高機能関数電卓として重宝しています。
普段 当たり前としてやっている計算の作業の仕組みを
視点を変えて見てみたいと 以前から思っていました。
パピルスに書かれた掛け算と ロシア農民の掛け算 を例に
Excel で表現してみました。
Wikipedia の Ancient Egyptian multiplication を参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication
80 × 14 = 1120 の計算で説明します。
下に表現しているのが パピルスに書かれた掛け算 です。
80 × 14 = 1120 として既に解が求まっている状態です。
80を入力すると その下の列の 数値が 変化し
80 80×2=160 160×2=320 320×2=640 . . . と前の数を2倍しています。
80 に 1 2 4 8 . . . を乗じても同じです。
その横の縦列は 1 2 4 8 16 . . . が固定されています。
そして 次の縦列が表示欄で 1 2 4 8 16 . . .の数列の
各数値を そのままにするか 0 にするかを表示します。
その合計が 掛けられるほうの数値
今回は 14 が表示されています。
次の✔下の縦列が 入力欄で 1 か 0 を入れて 14 になるようにします。
つまり 0.1.1.1 の入力で 0 + 2 + 4 + 8 = 14 になります。
そして この 0.1.1.1 が 0 + 160 + 320 + 640 = 1120 に連動しています。
パピルスに書かれた掛け算
| 80 | × | 14 | = | 1120 |
| | | ✔ | |
| 80 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 160 | 2 | 2 | 1 | 160 |
| 320 | 4 | 4 | 1 | 320 |
| 640 | 8 | 8 | 1 | 640 |
| | 16 | | | |
| | 14 | | 1120 |
ロシア農民の掛け算 の説明をします。
80 × 14 = 1120 と表示された下の
80 から下の列は上の説明と同じです。
14 から下の列は 計算の余りは切り捨てとして
14 → 14
14 / 2 = 7 + 0 → ✔ 7
7 / 2 = 3 + 1 → ✔ 3
3 / 2 = 1 + 1 → ✔ 1
となり 奇数には ✔ が付いています。
記号 ✔ に対応する同じ行の 80 の倍数の表示と合計を
左端の縦列で行い 1120 を得ています。
ロシア農民の掛け算
| 80 | × | 14 | = | 1120 |
| | | | |
| 80 | | 14 | | |
| 160 | ✔ | 7 | | 160 |
| 320 | ✔ | 3 | | 320 |
| 640 | ✔ | 1 | | 640 |
| | | | | 1120 |
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M) です。
| パピルスに書かれた掛け算 | | | | | |
| 80 | × | 14 | = | =E17 | =A2*C2 |
| | | ✔ | | |
| =A2 | =2^0 | =B4*D4 | 0 | =A4*D4 | =(MOD(C22,2)) |
| =A4*2 | =2^1 | =B5*D5 | 1 | =A5*D5 | =(MOD(C23,2)) |
| =A5*2 | =2^2 | =B6*D6 | 1 | =A6*D6 | =(MOD(C24,2)) |
| =A6*2 | =2^3 | =B7*D7 | 1 | =A7*D7 | =(MOD(C25,2)) |
| =A7*2 | =2^4 | =B8*D8 | 0 | =A8*D8 | =(MOD(C26,2)) |
| =A8*2 | =2^5 | =B9*D9 | 0 | =A9*D9 | =(MOD(C27,2)) |
| =A9*2 | =2^6 | =B10*D10 | 0 | =A10*D10 | =(MOD(C28,2)) |
| =A10*2 | =2^7 | =B11*D11 | 0 | =A11*D11 | =(MOD(C29,2)) |
| =A11*2 | =2^8 | =B12*D12 | 0 | =A12*D12 | =(MOD(C30,2)) |
| =A12*2 | =2^9 | =B13*D13 | 0 | =A13*D13 | =(MOD(C31,2)) |
| =A13*2 | =2^10 | =B14*D14 | 0 | =A14*D14 | =(MOD(C32,2)) |
| =A14*2 | =2^11 | =B15*D15 | 0 | =A15*D15 | =(MOD(C33,2)) |
| =A15*2 | =2^12 | =B16*D16 | 0 | =A16*D16 | =(MOD(C34,2)) |
| | =SUM(C4:C16) | | =SUM(E4:E16) | |
| | | | | |
| ロシア農民の掛け算 | | | | | |
| =A2 | × | =C2 | = | =E35 | |
| | | | | |
| =A2 | =IF(MOD(C22,2)=0,"","✔") | =C2 | | =IF(B22="✔",A22,"") | |
| =IF(C23=0,"",A22*2) | =IF(MOD(C23,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C22,2) | | =IF(B23="✔",A23,"") | |
| =IF(C24=0,"",A23*2) | =IF(MOD(C24,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C23,2) | | =IF(B24="✔",A24,"") | |
| =IF(C25=0,"",A24*2) | =IF(MOD(C25,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C24,2) | | =IF(B25="✔",A25,"") | |
| =IF(C26=0,"",A25*2) | =IF(MOD(C26,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C25,2) | | =IF(B26="✔",A26,"") | |
| =IF(C27=0,"",A26*2) | =IF(MOD(C27,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C26,2) | | =IF(B27="✔",A27,"") | |
| =IF(C28=0,"",A27*2) | =IF(MOD(C28,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C27,2) | | =IF(B28="✔",A28,"") | |
| =IF(C29=0,"",A28*2) | =IF(MOD(C29,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C28,2) | | =IF(B29="✔",A29,"") | |
| =IF(C30=0,"",A29*2) | =IF(MOD(C30,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C29,2) | | =IF(B30="✔",A30,"") | |
| =IF(C31=0,"",A30*2) | =IF(MOD(C31,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C30,2) | | =IF(B31="✔",A31,"") | |
| =IF(C32=0,"",A31*2) | =IF(MOD(C32,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C31,2) | | =IF(B32="✔",A32,"") | |
| =IF(C33=0,"",A32*2) | =IF(MOD(C33,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C32,2) | | =IF(B33="✔",A33,"") | |
| =IF(C34=0,"",A33*2) | =IF(MOD(C34,2)=0,"","✔") | =QUOTIENT(C33,2) | | =IF(B34="✔",A34,"") | |
| | | | =SUM(E22:E34) | |
| |
2017年2月28日
嵯峨近辺
雪が ３０cm ほど積もっています。
下の写真は 奥嵯峨鳥居本の伝統的建造物になっている つたや です。
ここは にぎやかな市街地からは 少しはなれた山沿いなので積雪は多めです。
でも正午を過ぎれば 道の雪はびしょびしょなシャーベットになって
まあまあ 支障なく通行できるのですが 今回は違います。
車や自転車での通行は困難になっています。
過去を振り返っても こんな雪は珍しいと思います。
これ幸いと
日曜なのに ひと気の少ない田舎の雪道を散策してやろうと
外に出て撮った写真の一枚です。
鳥居本 つたや 2017 １月15日 1:00 p.m.
2017年1月15日
嵯峨近辺 未分類
2017 元旦
明けましておめでとうございます。
除夜の鐘を撞くつもりで 昨夜も いつものお寺に行きました。
いつもの通りの時間に着いたのですが
108枚の整理カードは 既になくなっていました。
人が多く 洛外の ひなびたお寺ではもうなくなってきているようです。
初詣にも行ってきました。
暇をもてあますこともなく日々を送れていることに感謝し
今年も いいことがありますようにと
お願いをしてきました。のどかな朝を感じています。
野宮神社 8:20 a.m.
昨年の ブログでの年初の抱負 ( New Year’s resolution ) は
『 誰でも手軽に作れる多面体 をめざしてゆきます。』でした。
” 誰でも ” という言葉の意味の理解に混乱があり
筆の進みが 遅々とすることが多々ありました。
“教えて君” という言葉が使われているようですね。
教えて君 には 伝えきれていないとは思いますが
同好の士や 実際に多面体を作ってみようとしている人には
もうほとんど 私のわかっている
製作のコツをお伝えしえているかなと思っています。
説明のまずさや 表現間違いの存在の可能性は否めませんが。
今年も 思うことをつれづれと伝えてゆこうとしています。
2017年1月1日
嵯峨近辺
愛宕街道の終点近くの 平野屋のあたりです。
完全にはまだ 紅葉していない 緑の葉が混じった枝を
光を透かして見るのも風情があります。
2016 11月18日 9:00am
2016年11月18日
13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 諸量
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を前回 お伝えしました。
このブログで扱っている多面体は
プラトン多面体と アルキメデス多面体 を主な対象にしていますが
面が五つある [3,3,3,3,3] [3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] は無理でした。
今回は 未知数を 二分法を使って Excel で解く計算式を載せておきます。
パズル気分で 求められるとして 既に掲載している計算方法の 改良版です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。
30 行目から 47 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。
C 列 の 12 行から 26 行 に数字を入力してください。
13[3,3,3,3,5] の回答がサンプルとして入っています。
H 列 の 12 行から 26 行 に 答えが表示されています。
H 列 の 巾を 0 にするか
セルの書式設定で H 列 のフォントの色(C)を 白 にしてください。
そして F 列 の 5 行 から G 列 の 10 行 までの範囲を指定し
セルの書式設定で 分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。
遊び方は
最初 C 列の入力欄 2桁目から 15桁めまでを 0 にします。
0 から 9 までの数字を 1 桁目に入れて ＊注
開き角の計が 360 より大で
その差が 最少になったら
次の桁に進み 同じようにして続けます。
サンプルの画面で 練習するとコツがわかります。
| | | a | b | c | d | e | |
| 13 [3,3,3,3,5] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 0.972732850565596 |
| | | | | | | |
| 多角形 | 角数 | 開き寸 | かど心寸 | 開き角 | 頂芯寸 | |
| a | =C2 | =SIN((PI()/2-PI()/C5))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D5/2/E5))*2 | = IF(F10=360, 1/2/SQRT(1-D27^2),"") | |
| b | =D2 | =SIN((PI()/2-PI()/C6))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D6/2/E6))*2 | | |
| c | =E2 | =SIN((PI()/2-PI()/C7))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D7/2/E7))*2 | | |
| d | =F2 | =IF(C8=0,0, SIN((PI()/2-PI()/C8))*2) | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D8/2/E8))*2 | | |
| e | =G2 | =IF(C9=0,0, SIN((PI()/2-PI()/C9))*2) | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D9/2/E9))*2 | | |
| | | | | =SUM(F5:F9) | | |
| 桁 | 入力 | | | | | =ASC(H2)&"0" |
| 1 | 9 | =(1/10)^B12*C12 | | | | =VALUE(MID($H$11,B12+2,1)) |
| 2 | 7 | =(1/10)^B13*C13 | | | | =VALUE(MID($H$11,B13+2,1)) |
| 3 | 2 | =(1/10)^B14*C14 | | | | =VALUE(MID($H$11,B14+2,1)) |
| 4 | 7 | =(1/10)^B15*C15 | | | | =VALUE(MID($H$11,B15+2,1)) |
| 5 | 3 | =(1/10)^B16*C16 | | | | =VALUE(MID($H$11,B16+2,1)) |
| 6 | 2 | =(1/10)^B17*C17 | | | | =VALUE(MID($H$11,B17+2,1)) |
| 7 | 8 | =(1/10)^B18*C18 | | | | =VALUE(MID($H$11,B18+2,1)) |
| 8 | 5 | =(1/10)^B19*C19 | | | | =VALUE(MID($H$11,B19+2,1)) |
| 9 | 0 | =(1/10)^B20*C20 | | | | =VALUE(MID($H$11,B20+2,1)) |
| 10 | 5 | =(1/10)^B21*C21 | | | | =VALUE(MID($H$11,B21+2,1)) |
| 11 | 6 | =(1/10)^B22*C22 | | | | =VALUE(MID($H$11,B22+2,1)) |
| 12 | 5 | =(1/10)^B23*C23 | | | | =VALUE(MID($H$11,B23+2,1)) |
| 13 | 5 | =(1/10)^B24*C24 | | | | =VALUE(MID($H$11,B24+2,1)) |
| 14 | 9 | =(1/10)^B25*C25 | | | | =VALUE(MID($H$11,B25+2,1)) |
| 15 | 6 | =(1/10)^B26*C26 | | | | =VALUE(MID($H$11,B26+2,1)) |
| | | =SUM(D12:D26) | | | | |
| | | | | | | |
| | a | b | c | d | e | |
| 01 [3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | | | 0.577350269189626 |
| 02 [3,3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | 3 | | 0.707106781186548 |
| 03 [4,4,4] | | 4 | 4 | 4 | | | 0.816496580927726 |
| 04 [3,3,3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0.85065080835204 |
| 05 [3,4,3,4] | | 3 | 4 | 3 | 4 | | 0.866025403784439 |
| 06 [3,6,6] | | 3 | 6 | 6 | | | 0.904534033733291 |
| 07 [3,3,3,3,4] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 0.928191377985572 |
| 08 [3,4,4,4] | | 3 | 4 | 4 | 4 | | 0.933948831094465 |
| 09 [5,5,5] | | 5 | 5 | 5 | | | 0.934172358962716 |
| 10 [4,6,6] | | 4 | 6 | 6 | | | 0.948683298050514 |
| 11 [3,5,3,5] | | 3 | 5 | 3 | 5 | | 0.951056516295154 |
| 12 [3,8,8] | | 3 | 8 | 8 | | | 0.959682982260667 |
| 13 [3,3,3,3,5] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 0.972732850565596 |
| 14 [3,4,5,4] | | 3 | 4 | 5 | 4 | | 0.97460776237817 |
| 15 [4,6,8] | | 4 | 6 | 8 | | | 0.976450976246513 |
| 16 [5,6,6] | | 5 | 6 | 6 | | | 0.979432085486414 |
| 17 [3,10,10] | | 3 | 10 | 10 | | | 0.985721919281302 |
| 18 [4,6,10] | | 4 | 6 | 10 | | | 0.991316689541059 |
| |
＊注
1 から 9 までの数字を と 表示していました
0 から 9 までの数字を が 正しいです。
すみませんでした、二桁目からは 0 もあり得ます。
お詫びし 訂正いたします。
2016 12月06日
2016年11月9日
11[3,5,3,5] 18[4,6,10] Excel 多面体 諸量
[3,5,3,5] を板棒で 簡易に作れるエレガントな方法を求めて試作を繰り返しています。
部材と部材の接合部分の形状はどうしようかとか その形状にするための治具や加工方法 そして 組み立て手順は と 気が付けば 以下のような作品群ができてしまいました。
じゃまくさがりや の私にしてはよく頑張ったものです。
最小努力の 最大効果 とか 労少なくして 益多し などの言葉を 頭にうかべながら あれこれとやっているのですが なかなかです。
しかし エレガントではなくても 比較的容易で まずまずと思える作り方が解ってきた気がします。でも どう表現し伝えようか と苦慮しています。すこし 時間をください。
別の話題をもう一つ。
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で解く 外接球半径 ( 頂芯寸 )です。
この公式で作った Excelの計算式は
一つの頂に集まる多角形の数が四つまでの多面体について 解が得られます。
ですから 多角柱 prisms と 反角柱 antiprisms も対象になります。
多角柱 [4,4,n] は 面が三つしかないので 四つ目は 0 ということです。
面が五つある [3,3,3,3,3] [3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] は無理ということですが
[3,3,3,3,3] は 正多面体なので 他の方法でも簡単に求まります。
転記方法は 今までと同じです。
| | a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| | | | | | |
| 多角形 | 角数 | 開き寸 | | | | |
| a | =B2 | =SIN((PI()/2-PI()/B5))*2 | | | U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) | |
| b | =C2 | =SIN((PI()/2-PI()/B6))*2 | | | =B15*C15*D15 | |
| c | =D2 | =SIN((PI()/2-PI()/B7))*2 | | | | |
| d | =E2 | =IF(B8=0,0,SIN((PI()/2-PI()/B8))*2) | | | D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | |
| e | =F2 | | | | =A18*B18*C18*D18 | |
| | | | | | |
| s=(a+b+c+d)/2 | | | | | T=1/4*√U/√D | |
| =SUM(C5:C8)/2 | | | | | =1/4*SQRT(F6)/SQRT(F9) | |
| | | | | | |
| ac+bd | ad+bc | ab+cd | | h=√(1-T^2) | H=1/2/h |
| =C5*C7+C6*C8 | =C5*C8+C6*C7 | =C5*C6+C7*C8 | | =SQRT(1-F12^2) | =1/2/F15 |
| | | | | | |
| s-a | s-b | s-c | s-d | | 角錐高 | 頂芯寸 |
| =A12-C5 | =A12-C6 | =A12-C7 | =A12-C8 | | =IF(B9=0,F15,"計算不可") | =IF(B9=0,G15,"計算不可") |
| | | | | | |
| | | | | | |
| a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 01 [3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 0 | | =SQRT(3/2)/2 |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | | =1/SQRT(2) |
| 03 [4,4,4] | 4 | 4 | 4 | 0 | | =SQRT(3)/2 |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | =COS(PI()/10) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | 3 | 4 | | 1 |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(11/2)/2 |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | 4 | 4 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) |
| 09 [5,5,5] | 5 | 5 | 5 | 0 | | =COS(PI()/5)*SQRT(3) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(5/2) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | 3 | 5 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 4 | | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | 6 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| |
2016年10月27日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
[3,5,3,5] 製作に必要な諸量は 以下です。 ( 稜寸は 1として )
18.000000000000000000 稜の仰角 ( 077/237 )
72.000000000000000000 稜部品の突合せ角 ( 237/077 )
58.282525588538994676 稜部品の5角形部分の接合角 ( 233/144 )
31.717474411461005324 稜部品の3角形部分の接合角 ( 144/233 )
1.6180339887498948482 頂芯寸 ( 233/144 )
1.5388417685876267013 稜芯寸 ( 237/154 )
1.3763819204711735382 5角形の面芯寸 ( 245/178 )
1.5115226281523414610 3角形の面芯寸 ( 198/131 )
60 稜部品の必要個数
上の画像の説明です。
材料は 2×10 の 板棒 ( ヒノキ材 )と
6×30 の板材 ( ファルカタ材 ) を使用しています。
長いほうは 100mm 短いほうは 70mm ぐらいでカットしています。
左に 試作品と その稜部品を作るための治具が 二列あります。
台形の形をした稜部品が パラパラと写っています。
稜部品の長さは 広いほうが 24mm あり
完成品の多面体の 高さが 70mm ほどになっています。
二列の 右上が 仰角 18度 ( 077/237 )で
稜部品どおしが 頂芯線で集まって接合するための角度
つまり 直角マイナス 仰角
72度の角度 ( 237/077 ) に成形をするためのガイドです。
そして その左がそれをもとにカットされた 治具部品です。
三個以上作っておきます。
この部品二つで左下の 稜部品の角度切断用の治具を作ります。
6mm 厚の ガイドの面に 2×10 の板棒を縦にして貼っています。
2×10 の板棒 をセロテープで 束ねたものの加工です。
右の列の下が 台形にカットした稜部品の接合部の整形用治具です。
72度 にカットした治具に沿わせて 正確に ガイドを作っています。
6mm の厚みの高さがありますが 2×20 の板棒を底に貼って
水平に 8mm の高さにしています。
この治具の支えで 稜部品の接合部の角度を
稜芯面に対し 58.28度 ( 5角形 形成部 ) と31.72度 ( 3角形 形成部 )
に 加工してゆきます。
画像右側で 6×30×100 の板材4枚で 58.28度傾斜と 31.72度傾斜の
治具を作っています。
58.28度傾斜の治具の下端側面は
90度から傾斜角を引いた 31.72度の傾斜に
31.72度のは 58.28度の傾斜になっており
そこに 2×10×100 の板棒を接着して その上に
80番のサンドペーパーを
両面テープで 貼っています。
続きは 次回にします。
2016年9月14日
Excel 多面体 嵯峨近辺 諸量
住宅街に隣接する 近くの竹藪に 仔鹿が二匹 きていました。
落柿舎というところの 近くです。 三匹できているときもありました。
なぜかいつも かのこ模様のからだをした 幼い鹿たちです。
嵯峨に来て 半世紀以上になりますが 鹿を見かけるようになったのは ここ数年です。
駆除 (いやな言葉です) する人が高齢になって とか
保護とのバランス維持に ぬかりがあったとか。
いつもだと 目と目とがあうと そわそわしだして
カメラを とってもどってくると もういないということが ほとんどでしたが
今回は なにごともなかったように いててくれました。
いつまでも このような関係が ずっと続きますように。
やっと 板棒で作る [ 3,5,3,5 ] の 試作品ができました。画像左です。
計算遊びも ほとほとに 本題に戻ろうかと思っています。
多面体の基本的諸量の 計算式表示が かろうじてできました。以下は Excel 用です。
稜寸は 1 として。 面積(S) 体積(V) が隠れていますが 色表示全範囲コピーで
| | 頂芯寸( R) | 面積 (S) | 体積 (V) |
| 01 [3,3,3] | =SQRT(3/2)/2 | =SQRT(3) | =1/(6*SQRT(2)) |
| 02 [3,3,3,3] | =1/SQRT(2) | =2*SQRT(3) | =SQRT(2)/3 |
| 03 [4,4,4] | =SQRT(3)/2 | =6 | =1 |
| 04 [3,3,3,3,3] | =1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5))) | =5*SQRT(3) | =5/12*(3+SQRT(5)) |
| 05 [3,4,3,4] | =1 | =2*(3+SQRT(3)) | =5*SQRT(2)/3 |
| 06 [3,6,6] | =SQRT(11/2)/2 | =7*SQRT(3) | =23/(6*SQRT(2)) |
| 07 [3,3,3,3,4] | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) | =6+8*SQRT(3) | =1/3*SQRT((203+613/3*(1+(19-3*SQRT(33))^(1/3)+(19+3*SQRT(33))^(1/3)))/(-62+35/3*(1+(19-3*SQRT(33))^(1/3)+(19+3*SQRT(33))^(1/3)))) |
| 08 [3,4,4,4] | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) | =2*(9+SQRT(3)) | =4+10*SQRT(2)/3 |
| 09 [5,5,5] | =1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5))) | =3*SQRT(5*(5+2*SQRT(5))) | =1/4*(15+7*SQRT(5)) |
| 10 [4,6,6] | =SQRT(5/2) | =6+12*SQRT(3) | =8*SQRT(2) |
| 11 [3,5,3,5] | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) | =SQRT(30*(10+3*SQRT(5)+SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =1/6*(45+17*SQRT(5)) |
| 12 [3,8,8] | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) | =2*(6+6*SQRT(2)+SQRT(3)) | =7+14*SQRT(2)/3 |
| 13 [3,3,3,3,5] | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) | =20*SQRT(3)+15/SQRT(5-2*SQRT(5)) | =1/12*(20*SQRT(2*(19+7*SQRT(5)+2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)-3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)+3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))+SQRT(6*(5+2*SQRT(5))*(75+23*SQRT(5)+5*2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)-3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+5*2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)+3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))) |
| 14 [3,4,5,4] | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) | =30+SQRT(30*(10+3*SQRT(5)+SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =20+29*SQRT(5)/3 |
| 15 [4,6,8] | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) | =12*(2+SQRT(2)+SQRT(3)) | =22+14*SQRT(2) |
| 16 [5,6,6] | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) | =3*SQRT(5*(65+2*SQRT(5)+4*SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =1/4*(125+43*SQRT(5)) |
| 17 [3,10,10] | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) | =5*(SQRT(3)+6*SQRT(5+2*SQRT(5))) | =5/12*(99+47*SQRT(5)) |
| 18 [4,6,10] | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) | =30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(5))))) | =95+50*SQRT(5) |
| |
2016年9月9日
13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量
前々回と前回の続きです。
また [3,3,3,3,5] の 外接球半径についてです。
計算式が判明していないのが残念です。と書いていました。
しかし
日本語版の Wikipedia の変形十二面体に 計算式が載っていました。
(2015年3月16日 (月) 07:24時点における版 より)
他の言語での Wikipedia では 載っていないようです。
灯台もと暗しです。
自力解決のため
他の人の成果をあまり 参考にしなかったと 言い訳けを言っておきます。
エクセルで 計算できる表現で記述すると 以下です。
=1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+
(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+
(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))
実行すると 2.15583737511564 の値になりました。
Mathematica や 多倍長電卓LM でその計算式を実行すると
以下の値になりました。 1000桁指定で。
2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041
Mathematica での計算内容を確認できます。⇒ Wolfram Alpha
2016年9月3日
07[3,3,3,3,4] 13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量
前回の続きです。
Raspberry Pi で Mathematica を走らせて
多面体の 外接球半径 ( 頂芯寸 ) のシンプルな計算式を求めたとして
Excel で使用できる 表を載せました。
計算式という 式にこだわっているのは
その式の表現する値は 近似値ではないからです。
Excel で [3,3,3,3,4] の 頂芯寸の 計算式は
=SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) で
表示は 15桁の表示指定で 1.343713373744600 となっています。
この数式を 多倍長電卓LM で１０００桁指定で 実行すると以下です。
[3,3,3,3,4] 外接球半径
1.34371 33737 44601 70127 15287 53975 05824 76376 02609 35358
64988 77762 09658 55706 90893 48794 56973 31688 73082 16628
10517 86312 34231 18912 48934 22698 98513 13152 52388 83099
99695 51465 34656 54666 91199 73057 12404 87181 58689 83101
52706 73588 95439 45759 66808 98001 82458 74562 03715 47798
73758 91138 64065 13093 44833 73642 76320 04740 38209 97931
21283 63087 45536 25488 82847 16710 31601 12312 74946 88760
75947 23068 26438 72263 54595 16709 53642 47794 39632 74759
99864 48261 56826 97693 61084 82504 65047 47725 73973 75581
77519 56125 26881 51031 78761 94824 75418 84415 24688 37953
07401 46214 60745 49416 60020 61203 67766 70368 45208 15639
13255 40719 84840 73695 37115 68354 45051 94655 39154 15438
52061 97480 37458 38311 41863 43914 37952 62153 58312 90302
21901 83004 41970 32795 85375 45937 91929 07117 32102 04879
62563 41502 88258 97563 31599 80542 81380 61709 57750 80055
92392 17968 33724 70868 62099 96630 67075 59371 76770 36409
06359 45200 09505 63444 91600 53436 55518 90992 23660 99813
72421 11438 19374 00218 74596 54930 76261 02604 25038 80259
06749 56526 92077 83952 39016 51486 43263 70810 40971 32169
84435 10226 61936 74850 55855 77017 66200 17485 66370 5204
以前掲載した 諸量の計算プログラム では 1.34371337374461 でした。
このプログラムと同じ ロジックで 多倍長電卓に 計算させた値と
上の 1000桁の値とは イコールでした。
同じように [3,3,3,3,5] を計算させると 以下になりました。
1000桁の精度は 維持できていると思います。
計算式が判明していないのが残念です。
[3,3,3,3,5] 外接球半径
2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041
2016年9月1日
Excel 多面体 未分類 諸量
今 多面体製作そっちのけで ラズパイの マセマティカに 傾注しています。
ラズパイは シングルボードコンピュータ で
下画像右下の 85.60 mm × 56.5 mm の基盤上にあり
透明ケースに入っているのがそれです。
通販で ￥5000 ぐらいで簡単に入手でき
Mathematica を無料でタウンロードできます。
マセマティカなんて 使用料が高く
とても 自分のパソコンでは走らせることはないと思っていました。
最近 ラズパイのことを知り 早速購入して Mathematica で遊んでいます。
以前 Excel で 外接球半径 というエピソードを載せたことがあります。
一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が
簡単にできる多面体は多くあるとしてExcel での計算を 載せていました。
[3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10] は 保留し
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではないとしていました。
今回 Mathematica を用いて 方程式計算をさせたり
式を簡素化させる機能を使ったりで
Excel で使える計算式を 短くしました。
[3,3,3,3,4] は Solve という機能で未知数の探索をさせて解を得ました。
[3,3,3,3,5] は 私の能力では Mathematica をしても 未解です。
他は 長ったらしい計算式を Simplify という機能で縮めました。
それでも 長いものもあります。
もっと短くなるものもあるはずですが 今はこれまでです。
以下の 資料で プラトン多面体 アルキメデス多面体の
ほとんどの諸量が得られるはずです。
必要諸量を 全て計算式で表示していますので
精度の高い計算ができます。 ( 稜寸は 1 として )
画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件 Excel に転記できます。 転記位置は自由です。
| | s | m | l | S | M | L | 頂芯寸 | | | |
| 01 [3,3,3] | 3 | | | 4 | | | =SQRT(3/2)/2 | | 3A | =COS(PI()/3) |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | | | 8 | | | =1/SQRT(2) | | 4A | =COS(PI()/4) |
| 03 [4,4,4] | 4 | | | 6 | | | =SQRT(3)/2 | | 5A | =COS(PI()/5) |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | | | 20 | | | =1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5))) | | 6A | =COS(PI()/6) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | | 8 | 6 | | 1 | | 8A | =COS(PI()/8) |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | | 4 | 4 | | =SQRT(11/2)/2 | | 10A | =COS(PI()/10) |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 4 | | 32 | 6 | | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) | | 3B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/3) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | | 8 | 18 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) | | 4B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/4) |
| 09 [5,5,5] | 5 | | | 12 | | | =1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5))) | | 5B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/5) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | | 6 | 8 | | =SQRT(5/2) | | 6B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/6) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | | 20 | 12 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) | | 8B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/8) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | | 8 | 6 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) | | 10B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/10) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 5 | | 80 | 12 | | | | 3C | =(1/2)^2*3/TAN(PI()/3) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 20 | 30 | 12 | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) | | 4C | =(1/2)^2*4/TAN(PI()/4) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 12 | 8 | 6 | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) | | 5C | =(1/2)^2*5/TAN(PI()/5) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | | 12 | 20 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) | | 6C | =(1/2)^2*6/TAN(PI()/6) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | | 20 | 12 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) | | 8C | =(1/2)^2*8/TAN(PI()/8) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 30 | 20 | 12 | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) | | 10C | =(1/2)^2*10/TAN(PI()/10) |
| | | | | | | | | | |
| s m l | 角数 | | | | | | | | nA | n角形のかど開き寸/2 |
| S M L | 面数 | | | | | | | | nB | n角形のかど心寸 |
| | | | | | | | | nC | n角形の面積 |
| |
2016年8月31日
Excel 多面体 諸量
多面体模型の製作方法を伝えるということが
このブログを立ち上げた 理由の大きな一つです。
模型のタイプは スケルトンな表示が特徴の レオナルドスタイルの一種です。
最初は 角棒を使った模型を主にお伝えしていました。
加工作業に かなりの労力 ( 加工に使う材料にもよりますが ) を必要としました。
テーマが決まると 実際にその都度製作の作業をし
工法の工夫や試作を 繰り返していました。
また 黙々と作業の継続が必要なことが多く 遅々として進まないことがありました。
でも 最近は 角棒でなく 板棒を用いることによって
作業負荷がかなり軽減されました。
だだ 正多面体の説明に 私自身のこだわりも色々あって 筆が進まず
伝えのこしも ありますが 正多面体 については シリーズの終わりとします。
正多面体の双対多面体も 正多面体で かなりシンプルで
製作や 資料作成の努力をする割に 達成感の程度が ゆるいものでした。
ちょっと気分転換をする必要があります。
これからは 2 × 10 の板棒で作る
アルキメデス多面体 を取り上げようと思っています。
手始めに [ 3,5,3,5 ] Icosidodecahedron 20･12面体 を考えています。
私の最も気に入っている多面体で 過去にもこだわってお伝えしたことがありますが
またやります。その 双対多面体もです。
アルキメデス多面体や その双対は それぞれ特徴があり
多面体模型を 完成品として手に持ったときの 感動を 私は毎回味わっています。
以下に 稜部品の接合部分の角度計算のための Excel 用の計算式を載せておきます。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
稜寸 = 1 として計算しています。
| 角数 | 片かど底角 | 片かど底角R | | 片かど底寸 | | | | | | | |
| 03 | =(180-(360/A2))/2 | =(PI()-(PI()*2/A2))/2 | | =SIN(C2) | 03 | | | | | | |
| 04 | =(180-(360/A3))/2 | =(PI()-(PI()*2/A3))/2 | | =SIN(C3) | 04 | | | | | | |
| 05 | =(180-(360/A4))/2 | =(PI()-(PI()*2/A4))/2 | | =SIN(C4) | 05 | | | | | | |
| 06 | =(180-(360/A5))/2 | =(PI()-(PI()*2/A5))/2 | | =SIN(C5) | 06 | | | | | | |
| 08 | =(180-(360/A6))/2 | =(PI()-(PI()*2/A6))/2 | | =SIN(C6) | 08 | | | | | | |
| 10 | =(180-(360/A7))/2 | =(PI()-(PI()*2/A7))/2 | | =SIN(C7) | 10 | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | 頂芯寸 | 仰角(R) | 底面稜寸 | 片接合角S(R) | 片接合角M(R) | 片接合角L(R) | | 片接合角S(D) | 片接合角M(D) | 片接合角L(D) |
| 01 | [3,3,3] | 0.612372435695794 | =ASIN(0.5/C10) | =COS(D10) | =ASIN(E2/E10) | | | | =DEGREES(F10) | | |
| 02 | [3,3,3,3] | 0.707106781186547 | =ASIN(0.5/C11) | =COS(D11) | =ASIN(E2/E11) | | | | =DEGREES(F11) | | |
| 03 | [4,4,4] | 0.866025403784438 | =ASIN(0.5/C12) | =COS(D12) | =ASIN(E3/E12) | | | | =DEGREES(F12) | | |
| 04 | [3,3,3,3,3] | 0.951056516295153 | =ASIN(0.5/C13) | =COS(D13) | =ASIN(E2/E13) | | | | =DEGREES(F13) | | |
| 05 | [3,4,3,4] | 1 | =ASIN(0.5/C14) | =COS(D14) | =ASIN(E2/E14) | =ASIN(E3/E14) | | | =DEGREES(F14) | =DEGREES(G14) | |
| 06 | [3,6,6] | 1.17260393995585 | =ASIN(0.5/C15) | =COS(D15) | =ASIN(E2/E15) | =ASIN(E5/E15) | | | =DEGREES(F15) | =DEGREES(G15) | |
| 07 | [3,3,3,3,4] | 1.3437133737446 | =ASIN(0.5/C16) | =COS(D16) | =ASIN(E2/E16) | =ASIN(E3/E16) | | | =DEGREES(F16) | =DEGREES(G16) | |
| 08 | [3,4,4,4] | 1.3989663259659 | =ASIN(0.5/C17) | =COS(D17) | =ASIN(E2/E17) | =ASIN(E3/E17) | | | =DEGREES(F17) | =DEGREES(G17) | |
| 09 | [5,5,5] | 1.40125853844407 | =ASIN(0.5/C18) | =COS(D18) | =ASIN(E4/E18) | | | | =DEGREES(F18) | | |
| 10 | [4,6,6] | 1.58113883008418 | =ASIN(0.5/C19) | =COS(D19) | =ASIN(E3/E19) | =ASIN(E5/E19) | | | =DEGREES(F19) | =DEGREES(G19) | |
| 11 | [3,5,3,5] | 1.61803398874989 | =ASIN(0.5/C20) | =COS(D20) | =ASIN(E2/E20) | =ASIN(E4/E20) | | | =DEGREES(F20) | =DEGREES(G20) | |
| 12 | [3,8,8] | 1.77882364566392 | =ASIN(0.5/C21) | =COS(D21) | =ASIN(E2/E21) | =ASIN(E6/E21) | | | =DEGREES(F21) | =DEGREES(G21) | |
| 13 | [3,3,3,3,5] | 2.15583737511563 | =ASIN(0.5/C22) | =COS(D22) | =ASIN(E2/E22) | =ASIN(E4/E22) | | | =DEGREES(F22) | =DEGREES(G22) | |
| 14 | [3,4,5,4] | 2.23295050941569 | =ASIN(0.5/C23) | =COS(D23) | =ASIN(E2/E23) | =ASIN(E3/E23) | =ASIN(E4/E23) | | =DEGREES(F23) | =DEGREES(G23) | =DEGREES(H23) |
| 15 | [4,6,8] | 2.31761091289276 | =ASIN(0.5/C24) | =COS(D24) | =ASIN(E3/E24) | =ASIN(E5/E24) | =ASIN(E6/E24) | | =DEGREES(F24) | =DEGREES(G24) | =DEGREES(H24) |
| 16 | [5,6,6] | 2.47801865906761 | =ASIN(0.5/C25) | =COS(D25) | =ASIN(E4/E25) | =ASIN(E5/E25) | | | =DEGREES(F25) | =DEGREES(G25) | |
| 17 | [3,10,10] | 2.96944901586339 | =ASIN(0.5/C26) | =COS(D26) | =ASIN(E2/E26) | =ASIN(E7/E26) | | | =DEGREES(F26) | =DEGREES(G26) | |
| 18 | [4,6,10] | 3.80239449985129 | =ASIN(0.5/C27) | =COS(D27) | =ASIN(E3/E27) | =ASIN(E5/E27) | =ASIN(E7/E27) | | =DEGREES(F27) | =DEGREES(G27) | =DEGREES(H27) |
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2016年8月13日
Compounds 多面体 諸量
正多面体とその双対多面体とでできる複合多面体についてまとめておきます。
このブログでの取り扱い対象の内容と 限定してです。
■複合多面体の種類は
[3,3,3] 正４面体 と [3,3,3] 正４面体 が複合したもの
[3,3,3,3] 正８面体 と [4,4,4] 正６面体 が複合したもの
[3,3,3,3,3] 正20面体 と [5,5,5] 正12面体 が複合したもの
の 三種類あり 正多面体の双対多面体も 正多面体です。
■複合多面体の稜の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸 1 に対し [3,3,3] の 稜寸も 1 整数比では 1 対 1
[3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [4,4,4] の 稜寸は 0.707107 整数比では 239 対 169
[4,4,4] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3] の 稜寸は 1.41420 整数比では 169 対 239
[3,3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [5,5,5] の 稜寸は 0.618034 整数比では 233 対 144
[5,5,5] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3,3] の 稜寸は 1.61803 整数比では 144 対 233
■正多面体の頂芯線に稜部品の先端の接合角と形状は
[3,3,3] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3] の 頂には ４本の稜が接し 360 / 4 の 90 の角度で ４本が接する。
[4,4,4] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3,3] の 頂には ５本の稜が接し 360 / 5 の 72 の角度で ５本が接する。
[5,5,5] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
■正多面体の頂芯線と稜線とでできる突合せ角は
[3,3,3] の 仰角は 54.7356 なので 90 - 54.7356 で 35.2644
[3,3,3,3] の 仰角は 45 なので 90 - 45 で 45
[4,4,4] の 仰角は 35.2644 なので 90 - 35.2644 で 54.7356
[3,3,3,3,3] の 仰角は 31.7175 なので 90 - 31.7175 で 58.2825
[5,5,5] の 仰角は 20.9052 なので 90 - 20.9052 で 69.0948
■正多面体の稜寸と稜芯寸の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.353553 なので 280 対 099
[3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.5 なので 296 対 148
[4,4,4] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.707107 なので 239 対 169
[3,3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.809017 なので 199 対 161
[5,5,5] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 1.30902 なので 178 対 233
以下に 諸量の Excel 用のリストを載せておきます。
画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件転記できます。
| 元の多面体 | 仰角 | 片接合角 | 90-仰角 | 90-片接合角 | 元稜寸 | 双稜寸 | 稜寸比 | 稜芯寸 | 1/ 稜芯寸 | 双対多面体 |
| 01[3,3,3] | 54.7356 | 60 | 35.2644 | 30 | 1 | 1 | 210/210 | 0.353553 | 280/099 | [3,3,3] |
| 02[3,3,3,3] | 45 | 45 | 45 | 45 | 1 | 0.707107 | 239/169 | 0.5 | 296/148 | [4,4,4] |
| 03[4,4,4] | 35.2644 | 60 | 54.7356 | 30 | 1 | 1.41421 | 169/239 | 0.707107 | 239/169 | [3,3,3,3] |
| 04[3,3,3,3,3] | 31.7175 | 36 | 58.2825 | 54 | 1 | 0.618034 | 233/144 | 0.809017 | 199/161 | [5,5,5] |
| 09[5,5,5] | 20.9052 | 60 | 69.0948 | 30 | 1 | 1.61803 | 144/233 | 1.30902 | 178/233 | [3,3,3,3,3] |
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