多面体
多面体 未分類
久しぶりの投稿です。
エッジの立った三角棒で 多面体をつくる方法の
もろもろを 考えていますが
意気込んで 報告するようなものが 頭に浮かびません。
三角棒は 切ったり削ったりするのには 四角棒より 遥かに容易で
作業性は いいのですが 難点があります。
必要な形状に加工するための 治具の製作に 手こずります。
台座の溝の形状が 直角でなく 鋭いため
精密な角度維持が必要になってきます。
四角棒で作るより よりスキルが要るということです。
原点に戻って 四角棒で作る
手の上に軽く乗る 多面体などの木工 ( 手芸木工と私は名づけています )
についの話題にしようかなと思っています。
手芸 という言葉には 女性の趣味 という印象があります。
手芸店 にゆくと 様々なアイテムが 比較的安価に入手できます。
多面体づくりの 治具や材料に 何か使えるものはないかと
かなり居心地の悪い思いをしながら
店内を物色していることもありました。
ジャンルとしての位置づけが確立していて 種類の多さに圧倒されます。
雑誌や書籍その他 色々な場で 手芸に関しての情報が発信されています。
同じような 男の趣味だと
鉄道模型 プラモデル フィギュアと かなり オタクぽく
木工では 電動工具とセットのイメージが強く
鳥などの カービングも 敷居が高く思えます。
東急ハンズや ロフト ホームセンター などに行っても
手芸木工的なコーナーは あまり見かけません。
書店では 木工関連書籍は 日曜大工か 建築の扱いのようです。
来年のブログのテーマは 原点に戻って 四角棒で作る 手芸木工 にします。
よい お年を !!
2017年12月29日
01[3,3,3] Compounds 多面体 製作道具
飴色になっている材 (ラミン) の二種の立体は
既に掲載したことのあるもので 90度のエッジの 稜で構成されています。
それら以外の白っぽい材 (ヒノキ) の立体は
45度のエッジの 棒で作った 四面体 (Tetrahedron) と Stella Octangula です。
これらの立体の面角は 70.53度なので 45度では エッジが立っています。
画像を左クリックすれば 拡大されますが 判別できるでしょうか。
上画像下がわの表示は 45度の面角をもつ部材加工の支え台 (cradle) を
作るプロセスを説明しようとしています。
左から
2×10×50mm の板棒 1本と 5×5×50mm の四角棒 2本と
底辺が6mm の三角棒 1本があります。
次の表示が
四角棒 2本をぴったりと接触させ 接合面には糊ををつけず
水平に接する上面の境に木工用ボンドを少し厚く塗布しています。
数10分後
糊が半がわきになったところを Ｖ字に広げ 三角棒を 挟み
45度の開き角にして 2×10×50mm の板棒を底に貼り付けます。
そして
左右 67.5度 の傾斜のある溝 45度に開かれた溝の 支え治具ができました。
以前からお伝えしている 開き角が 90度の cradle で 多面体製作を既にされた方は
この説明だけで エッジ角 45度の部材の多面体を作ることができると思います。
一番右はしの治具は 45度エッジの 部材をつくるものです。
支え台に左右から 5×5×50mm の四角棒と 5×5×100mm の四角棒を張り付け
左右10mm 巾の面に プラスチックカード (乗車券などの) を切って貼っています。
カッターや 紙ヤスリの影響を受けにくく 治具の形状維持ができます。
断面が 直角三角形の棒材をこの治具に据えると
必要とする稜部位との反対側の部分は 左右対称ではなく
治具のプラスチック面に合わせて カッターで成形し ヤスリで整えます。
この加工では 部材の断面は 凧形四角形でも二等辺三角形でもなく
扇形に近い形状になります。
工夫がうまくゆき エレガントな治具ができたとは 言いにくいですが
画像のサンプルが その方法で作ったプロトタイプです。
2017年6月15日
多面体 嵯峨近辺 未分類 製作道具
年を取ると 何かと体に不具合が出てくるものです。
今 入院中です。あと数日で退院できるでしょう。
術後 7日目です。
全身麻酔もして かなりの手術だったはずなのに
呆気なく退院になりそうです。先端医療に感謝です。
部屋の外を見ると 東山の山々が近く
ほぼ真正面に 大の字が大きく見えています。
多面体製作では 正四面体を 三角棒で作ってみようかなと思っています。
45度の角度部分を稜とした作品を作ってみたいのです。
断面が直角三角形なので このままではシンメトリーでなくなるので
三角棒に加工を施します。
断面を 45 67.5 67.5 の角度の二等辺三角形にするか
45 90 135 90 の 凧形四角形にするかですが
凧形のほうが 切削量が少なくてすみます。
ただ 断面を左右対称に維持するには 加工難度は上がります。
私のブログでは メインの作業は切削です。
その作業を行うのに 金属製のドレッサーを用いて説明することが多くありました。
現在は 板棒たけでなく 硬い材の角棒にも 紙やすりのドレッサーを使うようになりました。
紙やすりの種類としては 空研ぎヤスリです。
合成樹脂や目詰まり防止剤も一緒に施してあり
かなり長く使用に耐え重宝しています。
色々な番手があるのもいいことです。80番の粗めのものが気にいっています。
取り掛かろうとしている作業は 棒材の形状加工から始まるので
エレガントな 工作法を考え工夫するには 結構大変だと思います。
発表てきるには 時間がかかりそうです。
話は変わって
五月28日に 高校二年生同級の人たちとの同窓会があります。
この分では行けそうです。このような形では初めてなので楽しみにしています。
京都府立嵯峨野高等学校が母校です。
昭和16年に設立され 右京区常盤段ノ上町にあります。
その町名のほぼ全域が学校の敷地で 住居地域はほんの少しです。
西陣で財を築いた富豪が 土地建物を含めての寄付で完成したとのことです。
そのときは 嵯峨野高等女学校で 女子のみの学校でした。
男子トイレが少なかって困ったことを記憶しています。
南東は太秦蜂岡町となり 太秦広隆寺があります。
なんでこのような地域で 嵯峨野という名を学校名にしたのか不思議です。
私の 出身中学校は 京都市立蜂ヶ岡中学校と言い 右京区嵯峨野開町にあります。
嵯峨野地域なのに 蜂ヶ岡です。これも不思議です。
嵯峨野開町の東となりが 太秦帷子ケ辻町です。
二つを合わせると東が尖った三角形になり
その尖ったところが 昔の辻だったことが容易にわかります。
この辻から 油掛地蔵のほうに道が今もつづいています。
私の通っていた幼稚園は
広隆寺の東隣の 太秦東蜂岡町にあり 今の東映映画村も同じ町内にあります。
蜂ヶ岡中学校と同じ嵯峨野開町からの通園です。
広隆寺の西隣の東映撮影所前から 広隆寺をぬけて 道がつづいていました。
自然幼稚園といい お寺が経営していました。今もあります。
お寺なのに 大きなツリーを飾った立派なクリスマスを楽しんだ思い出があります。
広隆寺をぬけるその道や 他にもあったそのような道も 今はないようです。
当時は映画が盛んな時で 撮影所近辺は凄くにぎやかでした。
ある時 子役と思える集団が門から中に入ろうとしているのに
出くわすことがありました。園から ぶらぶら帰る途中です。
その時 撮影所に紛れ込むことができました。
今でしたら バスでの送迎や親の送り迎えがあるので真面目に帰るしかないのですが
子供たちだけで 好き勝手に寄り道 道草をしながら 楽しく帰っていました。
近所のおばさんが 役者さんの頭にカツラをのせていて
「こんなとこで 仕事してはんにゃ」と思ったことを記憶しています。
町名遊びが 続いてしまいました。
2017年5月1日
Excel 多面体 諸量
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を以前 お伝えしたことがあります。
ブラーマグプタの公式 の扱う対象は
ブレートシュナイダーの公式 ( Bretschneider’s formula ）と違って
四角形の全てのかどが円に接しているという条件があります。
プラトン多面体や アルキメデス多面体での計算では それで充分でした。
でも なじみが無いのも事実で
ヘロンの公式 ( Heron’s formula ) と対比してみました、
どちらの公式も 面積計算として説明されていることがほとんどですが
ここでは 多角形のかどから面の中心までの 距離の計算に用いています。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。
41 行目から 58 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。
| | a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| | | | | | |
| 多角形 | 角数 | | 開き寸 | ( 稜寸 = 1 として ) | | |
| a | =B2 | | =COS((PI()/B5))*2 | | | |
| b | =C2 | | =COS((PI()/B6))*2 | | | |
| c | =D2 | | =COS((PI()/B7))*2 | | | |
| d | =E2 | | =IF(B8=0,0,COS((PI()/B8))*2) | | | |
| e | =F2 | | =IF(B9=0,0,COS((PI()/B9))*2) | | | |
| | | | | | |
| ヘロンの解法 | | | プラームグプタの解法 | | | |
| | | | | | |
| s=(a+b+c)/2 | | | s=(a+b+c+d)/2 | | | |
| =SUM(D5:D7)/2 | | | =SUM(D5:D8)/2 | | | |
| | | | | | |
| s-a | s-b | | s-a | s-b | s-c | s-d |
| =A14-D5 | =A14-D6 | | =D14-D5 | =D14-D6 | =D14-D7 | =D14-D8 |
| s-c | | | | | |
| =A14-D7 | | ac+bd | ad+bc | ab+cd | |
| | | =D5*D7+D6*D8 | =D5*D8+D6*D7 | =D5*D6+D7*D8 | |
| | | | | | |
| u=a*b*c | | | U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) | | √U | |
| =D5*D6*D7 | | | =D20*E20*F20 | | =SQRT(D23) | |
| | | | | | |
| D=s(s-a)(s-b)(s-c) | | | D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | | | |
| =A14*A17*B17*B19 | | | =D17*E17*F17*G17 | | | |
| | | | | | |
| S=√D | | | S=√D | | | |
| =SQRT(A26) | | | =SQRT(D26) | | | |
| | | | | | |
| R=1/4*u/S | | | R=1/4*√U/S | | | |
| =1/4*D5*D6*D7/A29 | | | =1/4*SQRT(D23)/D29 | | | |
| | | | | | |
| h=√(1-R^2) | H=1/2/h | | h=√(1-R^2) | H=1/2/h | | |
| =SQRT(1-A32^2) | =1/2/A35 | | =SQRT(1-D32^2) | =1/2/D35 | | |
| | | | | | |
| 角錐高 | 頂芯寸 | | 角錐高 | 頂芯寸 | | |
| =IF(B8=0,A35,"計算不可") | =IF(B8=0,B35,"計算不可") | | =IF(B9=0,D35,"計算不可") | =IF(B9=0,E35,"計算不可") | | |
| | | | | | |
| a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 01 [3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 0 | | =SQRT(3/2)/2 |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | | =1/SQRT(2) |
| 03 [4,4,4] | 4 | 4 | 4 | 0 | | =SQRT(3)/2 |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | =COS(PI()/10) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | 3 | 4 | | 1 |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(11/2)/2 |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | 4 | 4 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) |
| 09 [5,5,5] | 5 | 5 | 5 | 0 | | =COS(PI()/5)*SQRT(3) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(5/2) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | 3 | 5 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 4 | | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | 6 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| |
2017年3月2日
13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 諸量
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で 外接球半径 ( 頂芯寸 )
を Excel で解く計算式を前回 お伝えしました。
このブログで扱っている多面体は
プラトン多面体と アルキメデス多面体 を主な対象にしていますが
面が五つある [3,3,3,3,3] [3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] は無理でした。
今回は 未知数を 二分法を使って Excel で解く計算式を載せておきます。
パズル気分で 求められるとして 既に掲載している計算方法の 改良版です。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは
貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
でないと バックの ブルーの色まで 表示してしまいます。
30 行目から 47 行目まで はデータです。
データを 2 行目 に copy and paste してください。
C 列 の 12 行から 26 行 に数字を入力してください。
13[3,3,3,3,5] の回答がサンプルとして入っています。
H 列 の 12 行から 26 行 に 答えが表示されています。
H 列 の 巾を 0 にするか
セルの書式設定で H 列 のフォントの色(C)を 白 にしてください。
そして F 列 の 5 行 から G 列 の 10 行 までの範囲を指定し
セルの書式設定で 分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。
遊び方は
最初 C 列の入力欄 2桁目から 15桁めまでを 0 にします。
0 から 9 までの数字を 1 桁目に入れて ＊注
開き角の計が 360 より大で
その差が 最少になったら
次の桁に進み 同じようにして続けます。
サンプルの画面で 練習するとコツがわかります。
| | | a | b | c | d | e | |
| 13 [3,3,3,3,5] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 0.972732850565596 |
| | | | | | | |
| 多角形 | 角数 | 開き寸 | かど心寸 | 開き角 | 頂芯寸 | |
| a | =C2 | =SIN((PI()/2-PI()/C5))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D5/2/E5))*2 | = IF(F10=360, 1/2/SQRT(1-D27^2),"") | |
| b | =D2 | =SIN((PI()/2-PI()/C6))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D6/2/E6))*2 | | |
| c | =E2 | =SIN((PI()/2-PI()/C7))*2 | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D7/2/E7))*2 | | |
| d | =F2 | =IF(C8=0,0, SIN((PI()/2-PI()/C8))*2) | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D8/2/E8))*2 | | |
| e | =G2 | =IF(C9=0,0, SIN((PI()/2-PI()/C9))*2) | =$D$27 | =DEGREES(ASIN(D9/2/E9))*2 | | |
| | | | | =SUM(F5:F9) | | |
| 桁 | 入力 | | | | | =ASC(H2)&"0" |
| 1 | 9 | =(1/10)^B12*C12 | | | | =VALUE(MID($H$11,B12+2,1)) |
| 2 | 7 | =(1/10)^B13*C13 | | | | =VALUE(MID($H$11,B13+2,1)) |
| 3 | 2 | =(1/10)^B14*C14 | | | | =VALUE(MID($H$11,B14+2,1)) |
| 4 | 7 | =(1/10)^B15*C15 | | | | =VALUE(MID($H$11,B15+2,1)) |
| 5 | 3 | =(1/10)^B16*C16 | | | | =VALUE(MID($H$11,B16+2,1)) |
| 6 | 2 | =(1/10)^B17*C17 | | | | =VALUE(MID($H$11,B17+2,1)) |
| 7 | 8 | =(1/10)^B18*C18 | | | | =VALUE(MID($H$11,B18+2,1)) |
| 8 | 5 | =(1/10)^B19*C19 | | | | =VALUE(MID($H$11,B19+2,1)) |
| 9 | 0 | =(1/10)^B20*C20 | | | | =VALUE(MID($H$11,B20+2,1)) |
| 10 | 5 | =(1/10)^B21*C21 | | | | =VALUE(MID($H$11,B21+2,1)) |
| 11 | 6 | =(1/10)^B22*C22 | | | | =VALUE(MID($H$11,B22+2,1)) |
| 12 | 5 | =(1/10)^B23*C23 | | | | =VALUE(MID($H$11,B23+2,1)) |
| 13 | 5 | =(1/10)^B24*C24 | | | | =VALUE(MID($H$11,B24+2,1)) |
| 14 | 9 | =(1/10)^B25*C25 | | | | =VALUE(MID($H$11,B25+2,1)) |
| 15 | 6 | =(1/10)^B26*C26 | | | | =VALUE(MID($H$11,B26+2,1)) |
| | | =SUM(D12:D26) | | | | |
| | | | | | | |
| | a | b | c | d | e | |
| 01 [3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | | | 0.577350269189626 |
| 02 [3,3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | 3 | | 0.707106781186548 |
| 03 [4,4,4] | | 4 | 4 | 4 | | | 0.816496580927726 |
| 04 [3,3,3,3,3] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0.85065080835204 |
| 05 [3,4,3,4] | | 3 | 4 | 3 | 4 | | 0.866025403784439 |
| 06 [3,6,6] | | 3 | 6 | 6 | | | 0.904534033733291 |
| 07 [3,3,3,3,4] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 0.928191377985572 |
| 08 [3,4,4,4] | | 3 | 4 | 4 | 4 | | 0.933948831094465 |
| 09 [5,5,5] | | 5 | 5 | 5 | | | 0.934172358962716 |
| 10 [4,6,6] | | 4 | 6 | 6 | | | 0.948683298050514 |
| 11 [3,5,3,5] | | 3 | 5 | 3 | 5 | | 0.951056516295154 |
| 12 [3,8,8] | | 3 | 8 | 8 | | | 0.959682982260667 |
| 13 [3,3,3,3,5] | | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 0.972732850565596 |
| 14 [3,4,5,4] | | 3 | 4 | 5 | 4 | | 0.97460776237817 |
| 15 [4,6,8] | | 4 | 6 | 8 | | | 0.976450976246513 |
| 16 [5,6,6] | | 5 | 6 | 6 | | | 0.979432085486414 |
| 17 [3,10,10] | | 3 | 10 | 10 | | | 0.985721919281302 |
| 18 [4,6,10] | | 4 | 6 | 10 | | | 0.991316689541059 |
| |
＊注
1 から 9 までの数字を と 表示していました
0 から 9 までの数字を が 正しいです。
すみませんでした、二桁目からは 0 もあり得ます。
お詫びし 訂正いたします。
2016 12月06日
2016年11月9日
11[3,5,3,5] 18[4,6,10] Excel 多面体 諸量
[3,5,3,5] を板棒で 簡易に作れるエレガントな方法を求めて試作を繰り返しています。
部材と部材の接合部分の形状はどうしようかとか その形状にするための治具や加工方法 そして 組み立て手順は と 気が付けば 以下のような作品群ができてしまいました。
じゃまくさがりや の私にしてはよく頑張ったものです。
最小努力の 最大効果 とか 労少なくして 益多し などの言葉を 頭にうかべながら あれこれとやっているのですが なかなかです。
しかし エレガントではなくても 比較的容易で まずまずと思える作り方が解ってきた気がします。でも どう表現し伝えようか と苦慮しています。すこし 時間をください。
別の話題をもう一つ。
ブラーマグプタの公式 ( Brahmagupta’s formula ) で解く 外接球半径 ( 頂芯寸 )です。
この公式で作った Excelの計算式は
一つの頂に集まる多角形の数が四つまでの多面体について 解が得られます。
ですから 多角柱 prisms と 反角柱 antiprisms も対象になります。
多角柱 [4,4,n] は 面が三つしかないので 四つ目は 0 ということです。
面が五つある [3,3,3,3,3] [3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] は無理ということですが
[3,3,3,3,3] は 正多面体なので 他の方法でも簡単に求まります。
転記方法は 今までと同じです。
| | a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| | | | | | |
| 多角形 | 角数 | 開き寸 | | | | |
| a | =B2 | =SIN((PI()/2-PI()/B5))*2 | | | U=(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd) | |
| b | =C2 | =SIN((PI()/2-PI()/B6))*2 | | | =B15*C15*D15 | |
| c | =D2 | =SIN((PI()/2-PI()/B7))*2 | | | | |
| d | =E2 | =IF(B8=0,0,SIN((PI()/2-PI()/B8))*2) | | | D=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | |
| e | =F2 | | | | =A18*B18*C18*D18 | |
| | | | | | |
| s=(a+b+c+d)/2 | | | | | T=1/4*√U/√D | |
| =SUM(C5:C8)/2 | | | | | =1/4*SQRT(F6)/SQRT(F9) | |
| | | | | | |
| ac+bd | ad+bc | ab+cd | | h=√(1-T^2) | H=1/2/h |
| =C5*C7+C6*C8 | =C5*C8+C6*C7 | =C5*C6+C7*C8 | | =SQRT(1-F12^2) | =1/2/F15 |
| | | | | | |
| s-a | s-b | s-c | s-d | | 角錐高 | 頂芯寸 |
| =A12-C5 | =A12-C6 | =A12-C7 | =A12-C8 | | =IF(B9=0,F15,"計算不可") | =IF(B9=0,G15,"計算不可") |
| | | | | | |
| | | | | | |
| a | b | c | d | e | 頂芯寸別解 |
| 01 [3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 0 | | =SQRT(3/2)/2 |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | | =1/SQRT(2) |
| 03 [4,4,4] | 4 | 4 | 4 | 0 | | =SQRT(3)/2 |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | =COS(PI()/10) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | 3 | 4 | | 1 |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(11/2)/2 |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | 4 | 4 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) |
| 09 [5,5,5] | 5 | 5 | 5 | 0 | | =COS(PI()/5)*SQRT(3) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | 6 | 0 | | =SQRT(5/2) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | 3 | 5 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 4 | | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 0 | | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | 6 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 0 | | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) |
| |
2016年10月27日
11[3,5,3,5] 多面体 製作道具
[3,5,3,5] 製作に必要な諸量は 以下です。 ( 稜寸は 1として )
18.000000000000000000 稜の仰角 ( 077/237 )
72.000000000000000000 稜部品の突合せ角 ( 237/077 )
58.282525588538994676 稜部品の5角形部分の接合角 ( 233/144 )
31.717474411461005324 稜部品の3角形部分の接合角 ( 144/233 )
1.6180339887498948482 頂芯寸 ( 233/144 )
1.5388417685876267013 稜芯寸 ( 237/154 )
1.3763819204711735382 5角形の面芯寸 ( 245/178 )
1.5115226281523414610 3角形の面芯寸 ( 198/131 )
60 稜部品の必要個数
上の画像の説明です。
材料は 2×10 の 板棒 ( ヒノキ材 )と
6×30 の板材 ( ファルカタ材 ) を使用しています。
長いほうは 100mm 短いほうは 70mm ぐらいでカットしています。
左に 試作品と その稜部品を作るための治具が 二列あります。
台形の形をした稜部品が パラパラと写っています。
稜部品の長さは 広いほうが 24mm あり
完成品の多面体の 高さが 70mm ほどになっています。
二列の 右上が 仰角 18度 ( 077/237 )で
稜部品どおしが 頂芯線で集まって接合するための角度
つまり 直角マイナス 仰角
72度の角度 ( 237/077 ) に成形をするためのガイドです。
そして その左がそれをもとにカットされた 治具部品です。
三個以上作っておきます。
この部品二つで左下の 稜部品の角度切断用の治具を作ります。
6mm 厚の ガイドの面に 2×10 の板棒を縦にして貼っています。
2×10 の板棒 をセロテープで 束ねたものの加工です。
右の列の下が 台形にカットした稜部品の接合部の整形用治具です。
72度 にカットした治具に沿わせて 正確に ガイドを作っています。
6mm の厚みの高さがありますが 2×20 の板棒を底に貼って
水平に 8mm の高さにしています。
この治具の支えで 稜部品の接合部の角度を
稜芯面に対し 58.28度 ( 5角形 形成部 ) と31.72度 ( 3角形 形成部 )
に 加工してゆきます。
画像右側で 6×30×100 の板材4枚で 58.28度傾斜と 31.72度傾斜の
治具を作っています。
58.28度傾斜の治具の下端側面は
90度から傾斜角を引いた 31.72度の傾斜に
31.72度のは 58.28度の傾斜になっており
そこに 2×10×100 の板棒を接着して その上に
80番のサンドペーパーを
両面テープで 貼っています。
続きは 次回にします。
2016年9月14日
Excel 多面体 嵯峨近辺 諸量
住宅街に隣接する 近くの竹藪に 仔鹿が二匹 きていました。
落柿舎というところの 近くです。 三匹できているときもありました。
なぜかいつも かのこ模様のからだをした 幼い鹿たちです。
嵯峨に来て 半世紀以上になりますが 鹿を見かけるようになったのは ここ数年です。
駆除 (いやな言葉です) する人が高齢になって とか
保護とのバランス維持に ぬかりがあったとか。
いつもだと 目と目とがあうと そわそわしだして
カメラを とってもどってくると もういないということが ほとんどでしたが
今回は なにごともなかったように いててくれました。
いつまでも このような関係が ずっと続きますように。
やっと 板棒で作る [ 3,5,3,5 ] の 試作品ができました。画像左です。
計算遊びも ほとほとに 本題に戻ろうかと思っています。
多面体の基本的諸量の 計算式表示が かろうじてできました。以下は Excel 用です。
稜寸は 1 として。 面積(S) 体積(V) が隠れていますが 色表示全範囲コピーで
| | 頂芯寸( R) | 面積 (S) | 体積 (V) |
| 01 [3,3,3] | =SQRT(3/2)/2 | =SQRT(3) | =1/(6*SQRT(2)) |
| 02 [3,3,3,3] | =1/SQRT(2) | =2*SQRT(3) | =SQRT(2)/3 |
| 03 [4,4,4] | =SQRT(3)/2 | =6 | =1 |
| 04 [3,3,3,3,3] | =1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5))) | =5*SQRT(3) | =5/12*(3+SQRT(5)) |
| 05 [3,4,3,4] | =1 | =2*(3+SQRT(3)) | =5*SQRT(2)/3 |
| 06 [3,6,6] | =SQRT(11/2)/2 | =7*SQRT(3) | =23/(6*SQRT(2)) |
| 07 [3,3,3,3,4] | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) | =6+8*SQRT(3) | =1/3*SQRT((203+613/3*(1+(19-3*SQRT(33))^(1/3)+(19+3*SQRT(33))^(1/3)))/(-62+35/3*(1+(19-3*SQRT(33))^(1/3)+(19+3*SQRT(33))^(1/3)))) |
| 08 [3,4,4,4] | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) | =2*(9+SQRT(3)) | =4+10*SQRT(2)/3 |
| 09 [5,5,5] | =1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5))) | =3*SQRT(5*(5+2*SQRT(5))) | =1/4*(15+7*SQRT(5)) |
| 10 [4,6,6] | =SQRT(5/2) | =6+12*SQRT(3) | =8*SQRT(2) |
| 11 [3,5,3,5] | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) | =SQRT(30*(10+3*SQRT(5)+SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =1/6*(45+17*SQRT(5)) |
| 12 [3,8,8] | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) | =2*(6+6*SQRT(2)+SQRT(3)) | =7+14*SQRT(2)/3 |
| 13 [3,3,3,3,5] | =1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3))) | =20*SQRT(3)+15/SQRT(5-2*SQRT(5)) | =1/12*(20*SQRT(2*(19+7*SQRT(5)+2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)-3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)+3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))+SQRT(6*(5+2*SQRT(5))*(75+23*SQRT(5)+5*2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)-3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+5*2^(2/3)*(5112+2285*SQRT(5)+3*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))) |
| 14 [3,4,5,4] | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) | =30+SQRT(30*(10+3*SQRT(5)+SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =20+29*SQRT(5)/3 |
| 15 [4,6,8] | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) | =12*(2+SQRT(2)+SQRT(3)) | =22+14*SQRT(2) |
| 16 [5,6,6] | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) | =3*SQRT(5*(65+2*SQRT(5)+4*SQRT(75+30*SQRT(5)))) | =1/4*(125+43*SQRT(5)) |
| 17 [3,10,10] | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) | =5*(SQRT(3)+6*SQRT(5+2*SQRT(5))) | =5/12*(99+47*SQRT(5)) |
| 18 [4,6,10] | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) | =30*(1+SQRT(2*(4+SQRT(5)+SQRT(15+6*SQRT(5))))) | =95+50*SQRT(5) |
| |
2016年9月9日
13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量
前々回と前回の続きです。
また [3,3,3,3,5] の 外接球半径についてです。
計算式が判明していないのが残念です。と書いていました。
しかし
日本語版の Wikipedia の変形十二面体に 計算式が載っていました。
(2015年3月16日 (月) 07:24時点における版 より)
他の言語での Wikipedia では 載っていないようです。
灯台もと暗しです。
自力解決のため
他の人の成果をあまり 参考にしなかったと 言い訳けを言っておきます。
エクセルで 計算できる表現で記述すると 以下です。
=1/12*SQRT(6*(27+7*SQRT(5)+
(20448+9140*SQRT(5)-12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)+
(20448+9140*SQRT(5)+12*SQRT(7137+3192*SQRT(5)))^(1/3)))
実行すると 2.15583737511564 の値になりました。
Mathematica や 多倍長電卓LM でその計算式を実行すると
以下の値になりました。 1000桁指定で。
2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041
Mathematica での計算内容を確認できます。⇒ Wolfram Alpha
2016年9月3日
07[3,3,3,3,4] 13[3,3,3,3,5] Excel 多面体 未分類 諸量
前回の続きです。
Raspberry Pi で Mathematica を走らせて
多面体の 外接球半径 ( 頂芯寸 ) のシンプルな計算式を求めたとして
Excel で使用できる 表を載せました。
計算式という 式にこだわっているのは
その式の表現する値は 近似値ではないからです。
Excel で [3,3,3,3,4] の 頂芯寸の 計算式は
=SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) で
表示は 15桁の表示指定で 1.343713373744600 となっています。
この数式を 多倍長電卓LM で１０００桁指定で 実行すると以下です。
[3,3,3,3,4] 外接球半径
1.34371 33737 44601 70127 15287 53975 05824 76376 02609 35358
64988 77762 09658 55706 90893 48794 56973 31688 73082 16628
10517 86312 34231 18912 48934 22698 98513 13152 52388 83099
99695 51465 34656 54666 91199 73057 12404 87181 58689 83101
52706 73588 95439 45759 66808 98001 82458 74562 03715 47798
73758 91138 64065 13093 44833 73642 76320 04740 38209 97931
21283 63087 45536 25488 82847 16710 31601 12312 74946 88760
75947 23068 26438 72263 54595 16709 53642 47794 39632 74759
99864 48261 56826 97693 61084 82504 65047 47725 73973 75581
77519 56125 26881 51031 78761 94824 75418 84415 24688 37953
07401 46214 60745 49416 60020 61203 67766 70368 45208 15639
13255 40719 84840 73695 37115 68354 45051 94655 39154 15438
52061 97480 37458 38311 41863 43914 37952 62153 58312 90302
21901 83004 41970 32795 85375 45937 91929 07117 32102 04879
62563 41502 88258 97563 31599 80542 81380 61709 57750 80055
92392 17968 33724 70868 62099 96630 67075 59371 76770 36409
06359 45200 09505 63444 91600 53436 55518 90992 23660 99813
72421 11438 19374 00218 74596 54930 76261 02604 25038 80259
06749 56526 92077 83952 39016 51486 43263 70810 40971 32169
84435 10226 61936 74850 55855 77017 66200 17485 66370 5204
以前掲載した 諸量の計算プログラム では 1.34371337374461 でした。
このプログラムと同じ ロジックで 多倍長電卓に 計算させた値と
上の 1000桁の値とは イコールでした。
同じように [3,3,3,3,5] を計算させると 以下になりました。
1000桁の精度は 維持できていると思います。
計算式が判明していないのが残念です。
[3,3,3,3,5] 外接球半径
2.15583 73751 15639 70183 66290 76693 05827 70168 51218 77481
18224 12215 43012 00670 80949 48400 05342 99263 65092 81214
42837 81342 43246 21737 40459 54065 85302 63076 41156 48362
61553 40520 55788 21730 48597 74900 41955 04806 67994 23712
71525 28776 34895 69926 86212 88569 85191 74933 10255 37663
89383 63399 79283 76418 99149 18774 71118 22568 83717 98931
40550 29409 01766 94946 34398 87848 02244 57311 06529 13448
70006 06489 44983 26040 49885 95916 78242 35322 86706 43588
24725 85106 61761 48622 26035 08409 42037 97200 85433 87619
26185 48385 92161 45979 67530 77814 04162 76223 45964 17424
61662 74884 37069 41777 65349 61375 79611 76459 55281 47239
10055 92400 99532 46993 91697 07642 18254 78816 20917 41323
30782 90598 28269 61852 86046 33222 90369 70537 94291 22137
57735 96999 29115 55796 89248 85516 55653 42479 66607 96000
32588 71439 21773 89617 00919 44329 45587 06989 26937 50828
21538 82298 47919 43690 77468 78574 65464 48587 09674 43132
37827 12811 11579 23998 93711 92216 62371 10941 63488 80174
32408 80103 95417 13989 24604 02990 42663 64012 26025 37471
22022 18750 24148 80322 37766 49193 81488 04859 20840 56198
29812 04572 02410 92578 25763 62541 58115 04268 63472 9041
2016年9月1日
Excel 多面体 未分類 諸量
今 多面体製作そっちのけで ラズパイの マセマティカに 傾注しています。
ラズパイは シングルボードコンピュータ で
下画像右下の 85.60 mm × 56.5 mm の基盤上にあり
透明ケースに入っているのがそれです。
通販で ￥5000 ぐらいで簡単に入手でき
Mathematica を無料でタウンロードできます。
マセマティカなんて 使用料が高く
とても 自分のパソコンでは走らせることはないと思っていました。
最近 ラズパイのことを知り 早速購入して Mathematica で遊んでいます。
以前 Excel で 外接球半径 というエピソードを載せたことがあります。
一つの頂でてきる 多角錐から 諸量計算が
簡単にできる多面体は多くあるとしてExcel での計算を 載せていました。
[3,3,3,3,4] [3,3,3,3,5] [4,6,8] [4,6,10] は 保留し
[3,4,5,4] は 式が複雑になってしまって 簡単ではないとしていました。
今回 Mathematica を用いて 方程式計算をさせたり
式を簡素化させる機能を使ったりで
Excel で使える計算式を 短くしました。
[3,3,3,3,4] は Solve という機能で未知数の探索をさせて解を得ました。
[3,3,3,3,5] は 私の能力では Mathematica をしても 未解です。
他は 長ったらしい計算式を Simplify という機能で縮めました。
それでも 長いものもあります。
もっと短くなるものもあるはずですが 今はこれまでです。
以下の 資料で プラトン多面体 アルキメデス多面体の
ほとんどの諸量が得られるはずです。
必要諸量を 全て計算式で表示していますので
精度の高い計算ができます。 ( 稜寸は 1 として )
画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件 Excel に転記できます。 転記位置は自由です。
| | s | m | l | S | M | L | 頂芯寸 | | | |
| 01 [3,3,3] | 3 | | | 4 | | | =SQRT(3/2)/2 | | 3A | =COS(PI()/3) |
| 02 [3,3,3,3] | 3 | | | 8 | | | =1/SQRT(2) | | 4A | =COS(PI()/4) |
| 03 [4,4,4] | 4 | | | 6 | | | =SQRT(3)/2 | | 5A | =COS(PI()/5) |
| 04 [3,3,3,3,3] | 3 | | | 20 | | | =1/2*SQRT(1/2*(5+SQRT(5))) | | 6A | =COS(PI()/6) |
| 05 [3,4,3,4] | 3 | 4 | | 8 | 6 | | 1 | | 8A | =COS(PI()/8) |
| 06 [3,6,6] | 3 | 6 | | 4 | 4 | | =SQRT(11/2)/2 | | 10A | =COS(PI()/10) |
| 07 [3,3,3,3,4] | 3 | 4 | | 32 | 6 | | =SQRT(-(21/(2*(-22+(566-42*SQRT(33))^(1/3)+(566+42*SQRT(33))^(1/3))))) | | 3B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/3) |
| 08 [3,4,4,4] | 3 | 4 | | 8 | 18 | | =1/SQRT(4-2/COS(1/2*ACOS(1/4*(2-SQRT(2))))^2) | | 4B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/4) |
| 09 [5,5,5] | 5 | | | 12 | | | =1/2*SQRT(3/2*(3+SQRT(5))) | | 5B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/5) |
| 10 [4,6,6] | 4 | 6 | | 6 | 8 | | =SQRT(5/2) | | 6B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/6) |
| 11 [3,5,3,5] | 3 | 5 | | 20 | 12 | | =SQRT(1/2*(3+SQRT(5))) | | 8B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/8) |
| 12 [3,8,8] | 3 | 8 | | 8 | 6 | | =1/2*SQRT(7+4*SQRT(2)) | | 10B | =(1/2)/COS(PI()/2-PI()/10) |
| 13 [3,3,3,3,5] | 3 | 5 | | 80 | 12 | | | | 3C | =(1/2)^2*3/TAN(PI()/3) |
| 14 [3,4,5,4] | 3 | 4 | 5 | 20 | 30 | 12 | =1/4*(-1+SQRT(5))*SQRT(1/2*(53+23*SQRT(5))) | | 4C | =(1/2)^2*4/TAN(PI()/4) |
| 15 [4,6,8] | 4 | 6 | 8 | 12 | 8 | 6 | =1/2*SQRT(13+6*SQRT(2)) | | 5C | =(1/2)^2*5/TAN(PI()/5) |
| 16 [5,6,6] | 5 | 6 | | 12 | 20 | | =1/2*SQRT(1/2*(29+9*SQRT(5))) | | 6C | =(1/2)^2*6/TAN(PI()/6) |
| 17 [3,10,10] | 3 | 10 | | 20 | 12 | | =1/2*SQRT(1/2*(37+15*SQRT(5))) | | 8C | =(1/2)^2*8/TAN(PI()/8) |
| 18 [4,6,10] | 4 | 6 | 10 | 30 | 20 | 12 | =1/2*SQRT(31+12*SQRT(5)) | | 10C | =(1/2)^2*10/TAN(PI()/10) |
| | | | | | | | | | |
| s m l | 角数 | | | | | | | | nA | n角形のかど開き寸/2 |
| S M L | 面数 | | | | | | | | nB | n角形のかど心寸 |
| | | | | | | | | nC | n角形の面積 |
| |
2016年8月31日
Excel 多面体 諸量
多面体模型の製作方法を伝えるということが
このブログを立ち上げた 理由の大きな一つです。
模型のタイプは スケルトンな表示が特徴の レオナルドスタイルの一種です。
最初は 角棒を使った模型を主にお伝えしていました。
加工作業に かなりの労力 ( 加工に使う材料にもよりますが ) を必要としました。
テーマが決まると 実際にその都度製作の作業をし
工法の工夫や試作を 繰り返していました。
また 黙々と作業の継続が必要なことが多く 遅々として進まないことがありました。
でも 最近は 角棒でなく 板棒を用いることによって
作業負荷がかなり軽減されました。
だだ 正多面体の説明に 私自身のこだわりも色々あって 筆が進まず
伝えのこしも ありますが 正多面体 については シリーズの終わりとします。
正多面体の双対多面体も 正多面体で かなりシンプルで
製作や 資料作成の努力をする割に 達成感の程度が ゆるいものでした。
ちょっと気分転換をする必要があります。
これからは 2 × 10 の板棒で作る
アルキメデス多面体 を取り上げようと思っています。
手始めに [ 3,5,3,5 ] Icosidodecahedron 20･12面体 を考えています。
私の最も気に入っている多面体で 過去にもこだわってお伝えしたことがありますが
またやります。その 双対多面体もです。
アルキメデス多面体や その双対は それぞれ特徴があり
多面体模型を 完成品として手に持ったときの 感動を 私は毎回味わっています。
以下に 稜部品の接合部分の角度計算のための Excel 用の計算式を載せておきます。
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
稜寸 = 1 として計算しています。
| 角数 | 片かど底角 | 片かど底角R | | 片かど底寸 | | | | | | | |
| 03 | =(180-(360/A2))/2 | =(PI()-(PI()*2/A2))/2 | | =SIN(C2) | 03 | | | | | | |
| 04 | =(180-(360/A3))/2 | =(PI()-(PI()*2/A3))/2 | | =SIN(C3) | 04 | | | | | | |
| 05 | =(180-(360/A4))/2 | =(PI()-(PI()*2/A4))/2 | | =SIN(C4) | 05 | | | | | | |
| 06 | =(180-(360/A5))/2 | =(PI()-(PI()*2/A5))/2 | | =SIN(C5) | 06 | | | | | | |
| 08 | =(180-(360/A6))/2 | =(PI()-(PI()*2/A6))/2 | | =SIN(C6) | 08 | | | | | | |
| 10 | =(180-(360/A7))/2 | =(PI()-(PI()*2/A7))/2 | | =SIN(C7) | 10 | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | 頂芯寸 | 仰角(R) | 底面稜寸 | 片接合角S(R) | 片接合角M(R) | 片接合角L(R) | | 片接合角S(D) | 片接合角M(D) | 片接合角L(D) |
| 01 | [3,3,3] | 0.612372435695794 | =ASIN(0.5/C10) | =COS(D10) | =ASIN(E2/E10) | | | | =DEGREES(F10) | | |
| 02 | [3,3,3,3] | 0.707106781186547 | =ASIN(0.5/C11) | =COS(D11) | =ASIN(E2/E11) | | | | =DEGREES(F11) | | |
| 03 | [4,4,4] | 0.866025403784438 | =ASIN(0.5/C12) | =COS(D12) | =ASIN(E3/E12) | | | | =DEGREES(F12) | | |
| 04 | [3,3,3,3,3] | 0.951056516295153 | =ASIN(0.5/C13) | =COS(D13) | =ASIN(E2/E13) | | | | =DEGREES(F13) | | |
| 05 | [3,4,3,4] | 1 | =ASIN(0.5/C14) | =COS(D14) | =ASIN(E2/E14) | =ASIN(E3/E14) | | | =DEGREES(F14) | =DEGREES(G14) | |
| 06 | [3,6,6] | 1.17260393995585 | =ASIN(0.5/C15) | =COS(D15) | =ASIN(E2/E15) | =ASIN(E5/E15) | | | =DEGREES(F15) | =DEGREES(G15) | |
| 07 | [3,3,3,3,4] | 1.3437133737446 | =ASIN(0.5/C16) | =COS(D16) | =ASIN(E2/E16) | =ASIN(E3/E16) | | | =DEGREES(F16) | =DEGREES(G16) | |
| 08 | [3,4,4,4] | 1.3989663259659 | =ASIN(0.5/C17) | =COS(D17) | =ASIN(E2/E17) | =ASIN(E3/E17) | | | =DEGREES(F17) | =DEGREES(G17) | |
| 09 | [5,5,5] | 1.40125853844407 | =ASIN(0.5/C18) | =COS(D18) | =ASIN(E4/E18) | | | | =DEGREES(F18) | | |
| 10 | [4,6,6] | 1.58113883008418 | =ASIN(0.5/C19) | =COS(D19) | =ASIN(E3/E19) | =ASIN(E5/E19) | | | =DEGREES(F19) | =DEGREES(G19) | |
| 11 | [3,5,3,5] | 1.61803398874989 | =ASIN(0.5/C20) | =COS(D20) | =ASIN(E2/E20) | =ASIN(E4/E20) | | | =DEGREES(F20) | =DEGREES(G20) | |
| 12 | [3,8,8] | 1.77882364566392 | =ASIN(0.5/C21) | =COS(D21) | =ASIN(E2/E21) | =ASIN(E6/E21) | | | =DEGREES(F21) | =DEGREES(G21) | |
| 13 | [3,3,3,3,5] | 2.15583737511563 | =ASIN(0.5/C22) | =COS(D22) | =ASIN(E2/E22) | =ASIN(E4/E22) | | | =DEGREES(F22) | =DEGREES(G22) | |
| 14 | [3,4,5,4] | 2.23295050941569 | =ASIN(0.5/C23) | =COS(D23) | =ASIN(E2/E23) | =ASIN(E3/E23) | =ASIN(E4/E23) | | =DEGREES(F23) | =DEGREES(G23) | =DEGREES(H23) |
| 15 | [4,6,8] | 2.31761091289276 | =ASIN(0.5/C24) | =COS(D24) | =ASIN(E3/E24) | =ASIN(E5/E24) | =ASIN(E6/E24) | | =DEGREES(F24) | =DEGREES(G24) | =DEGREES(H24) |
| 16 | [5,6,6] | 2.47801865906761 | =ASIN(0.5/C25) | =COS(D25) | =ASIN(E4/E25) | =ASIN(E5/E25) | | | =DEGREES(F25) | =DEGREES(G25) | |
| 17 | [3,10,10] | 2.96944901586339 | =ASIN(0.5/C26) | =COS(D26) | =ASIN(E2/E26) | =ASIN(E7/E26) | | | =DEGREES(F26) | =DEGREES(G26) | |
| 18 | [4,6,10] | 3.80239449985129 | =ASIN(0.5/C27) | =COS(D27) | =ASIN(E3/E27) | =ASIN(E5/E27) | =ASIN(E7/E27) | | =DEGREES(F27) | =DEGREES(G27) | =DEGREES(H27) |
| |
| |
2016年8月13日
Compounds 多面体 諸量
正多面体とその双対多面体とでできる複合多面体についてまとめておきます。
このブログでの取り扱い対象の内容と 限定してです。
■複合多面体の種類は
[3,3,3] 正４面体 と [3,3,3] 正４面体 が複合したもの
[3,3,3,3] 正８面体 と [4,4,4] 正６面体 が複合したもの
[3,3,3,3,3] 正20面体 と [5,5,5] 正12面体 が複合したもの
の 三種類あり 正多面体の双対多面体も 正多面体です。
■複合多面体の稜の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸 1 に対し [3,3,3] の 稜寸も 1 整数比では 1 対 1
[3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [4,4,4] の 稜寸は 0.707107 整数比では 239 対 169
[4,4,4] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3] の 稜寸は 1.41420 整数比では 169 対 239
[3,3,3,3,3] の 稜寸 1 に対し [5,5,5] の 稜寸は 0.618034 整数比では 233 対 144
[5,5,5] の 稜寸 1 に対し [3,3,3,3,3] の 稜寸は 1.61803 整数比では 144 対 233
■正多面体の頂芯線に稜部品の先端の接合角と形状は
[3,3,3] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3] の 頂には ４本の稜が接し 360 / 4 の 90 の角度で ４本が接する。
[4,4,4] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
[3,3,3,3,3] の 頂には ５本の稜が接し 360 / 5 の 72 の角度で ５本が接する。
[5,5,5] の 頂には ３本の稜が接し 360 / 3 の 120 の角度で ３本が接する。
■正多面体の頂芯線と稜線とでできる突合せ角は
[3,3,3] の 仰角は 54.7356 なので 90 - 54.7356 で 35.2644
[3,3,3,3] の 仰角は 45 なので 90 - 45 で 45
[4,4,4] の 仰角は 35.2644 なので 90 - 35.2644 で 54.7356
[3,3,3,3,3] の 仰角は 31.7175 なので 90 - 31.7175 で 58.2825
[5,5,5] の 仰角は 20.9052 なので 90 - 20.9052 で 69.0948
■正多面体の稜寸と稜芯寸の寸法比は
[3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.353553 なので 280 対 099
[3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.5 なので 296 対 148
[4,4,4] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.707107 なので 239 対 169
[3,3,3,3,3] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 0.809017 なので 199 対 161
[5,5,5] の 稜寸は 1 として稜芯寸は 1.30902 なので 178 対 233
以下に 諸量の Excel 用のリストを載せておきます。
画面では 右はしが切れていますが 色付き部分をすべてコピーすれば
全件転記できます。
| 元の多面体 | 仰角 | 片接合角 | 90-仰角 | 90-片接合角 | 元稜寸 | 双稜寸 | 稜寸比 | 稜芯寸 | 1/ 稜芯寸 | 双対多面体 |
| 01[3,3,3] | 54.7356 | 60 | 35.2644 | 30 | 1 | 1 | 210/210 | 0.353553 | 280/099 | [3,3,3] |
| 02[3,3,3,3] | 45 | 45 | 45 | 45 | 1 | 0.707107 | 239/169 | 0.5 | 296/148 | [4,4,4] |
| 03[4,4,4] | 35.2644 | 60 | 54.7356 | 30 | 1 | 1.41421 | 169/239 | 0.707107 | 239/169 | [3,3,3,3] |
| 04[3,3,3,3,3] | 31.7175 | 36 | 58.2825 | 54 | 1 | 0.618034 | 233/144 | 0.809017 | 199/161 | [5,5,5] |
| 09[5,5,5] | 20.9052 | 60 | 69.0948 | 30 | 1 | 1.61803 | 144/233 | 1.30902 | 178/233 | [3,3,3,3,3] |
| |
| |
2016年8月10日
02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでできた
複合多面体製作への作業説明です。
少しずつ 思いつくままに 載せてゆきます。
画像右上 の右はしが 正六面体の上部の 四角形を作る稜部品に
稜の中心から この多面体の中芯とを通る直線を軸として
90°回転させた位置に部材を四枚分追加しています。
四角形の上部の一点で接しています。
その横のは 正八面体の上部の一つの面に 同じように三枚の部材を追加しています。
直角にクロスした部材の状態は 画像下方の 十二個の十字状の部材と
寸法 寸法比も同じものです。
このブログでお伝えしている多面体は
フラトン多面体と アルキメデス多面体 を主な対象にしています。
そして 複合多面体の 複合する二つの多面体の稜は
直角に交差するものに限定しています。
このことから 多面体と複合する もう一つの多面体は 双対多面体になります。
正多面体の双対四面体は 正多面体です。
正多面体以外の アルキメデス多面体のグループは 形状が正多面体とことなります。
面が一種類になり 辺の寸法が同一ではない 多角形になります。
正四面体の 双対多面体は 同じく 正四面体
正六面体の 双対多面体は 正八面体
正八面体の 双対多面体は 正六面体
正12面体の 双対多面体は 正20面体
正20面体の 双対多面体は 正12面体
あとの画像説明は今回 判じ絵にしておきます。
leonardo da vinci geometric drawings の検索画面を紹介します。
レオナルドスタイルの 画像が含まれています。
2016年8月8日
03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでできた複合多面体製作への
前段階の 作業の説明が続いています。
今回は [ 4,4,4 ] 正六面体の
稜部品の接合部分の加工に必要な治具について説明します。
すでに伝えている 四角棒で構成された多面体つくりの治具とは
異なる形状の治具です。 下画像の説明をします。
Ａ4用紙下に 25 × 25 × 110 の角棒 があります。
垂直面を保持するための治具で 数本あると便利です。
6 × 30 × 70 の板材を Ａ4用紙の下の辺に平行にさせ
2 × 10 × 70 の板棒を 用紙の対角線と平行に置いて
その上のような治具をつくります。
この治具で 部材を 54.74°の角度カットや その角度に成形させます。
上の 斜めカットの板材もその角度で 6 × 30× 70 の板を分割したものです。
その横の 二つの台形状のものは ５枚束ねた2 × 10 の板棒を
[ 4,4,4 ] 正六面体の稜部品として加工したものです。
小寸にカットした 板材は多くの作業で必要となります。
その都度カットするのは 煩雑であったり 寸法決定も悩んでしまったりで
6 × 30 の板材を 70mm の寸法にカットしてあるものを複数個 常備しています。
2 × 10 × 70 の板棒も 同様です。
Ａ4用紙の右の正六面体製作用治具の説明をします。
6 × 30 の板材に 斜めカットの板材と角棒とで
台形状部品を 54.74°の角度で貼っています。
その板材に傾斜を付けなければいけません。角度は 30°です。
Ａ4用紙右上横の 治具で 2 × 10 × 70 の板棒を 30°で二分割しています。
それを 板材の裏の中心に貼っています。
続きの説明は 後日にします。
2016年8月4日
Compounds 多面体 製作道具 諸量
2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。
[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体についてお伝えしようとしてます。
多面体を 板棒で製作するとき
稜と稜とが一点で集まる頂の形状を決める
接合部分の加工方法をすでに伝えました。
接合部分には 正多角形の角柱の空洞ができるが
削り屑とボンドを詰めものにしたり
先端の 2mm 巾面に少し丸みを持たせる加工を
正確な測定なしで施してもまずまずの出来になる。
とか
5 × 5 の角材で作るときに使用した クレィドル cradle
と同じ機能の治具を 板棒用にして用いる。
という意味の内容を記しました。
今回からは
今までとは違ったタイプの cradle で多面体を作る
方法を 説明してゆこうと思っています。
板棒だけでなく 角材の棒の加工にも使える方法です。
上の画像の説明です。
キッチンテーブルの上にトレィと 14cm のガラスプレィトがあります。
最近では 多面体製作は ほとんどこの空間で行っています。
試作つくりの効率アップに 電子レンジを多用しているためでもあります。
25 × 25 の角棒 2 × 10 の板棒 6 × 30 の板材
で加工したものが写っています。
左が 粗目( #80 ) の紙やすりを貼った角材です。
今までは ドレッサーという表現で 金属やすりを貼つたものを
用いてきましたが 同等もしくはそれ以上の機能があります。
安価で 種類が多く 手軽に入手でき 消耗品にしては 長持ちです。
番手の #80 は結構粗目ですが 私は現在これのみの使用です。
使い古すと番手が上がったようになり それも利用価値があります。
中ほどのが 新しいタイプの クレィドル cradle です。
右上の 正六面体を作る治具です。
この治具の加工に必要な角度は
片接合角 60°の 余角 30°( 90 – 60 )
仰角の余角 54.7356°( Ａ４用紙の対角線でできる角度 )
とりとめのない記述になりました。
あとは 後日にします。
以下のデータは Excel などの
ワークシートやセルに取り込み易い形式で記述しています。
■ 正多面体諸量( 稜寸は1 として) ■
| | 面積 | 体積 | 基本数 | 頂芯寸 | 稜芯寸 |
| 01[3,3,3] | 1.73205 | .117851 | .577350 | .612372 | .353553 |
| 02[3,3,3,3] | 3.46410 | .471404 | .707106 | .707106 | .500000 |
| 03[4,4,4] | 6.00000 | 1.00000 | .816496 | .866025 | .707106 |
| 04[3,3,3,3,3] | 8.66025 | 2.18169 | .850650 | .951056 | .809016 |
| 09[5,5,5] | 20.6457 | 7.66311 | .934172 | 1.40125 | 1.30901 |
| | | | | | |
| | 面芯寸 | 仰角 | 接合角/2 | 面角 | 1/稜芯寸 |
| 01[3,3,3] | .204124 | 54.7356 | 60.0000 | 70.5287 | 2.82842 |
| 02[3,3,3,3] | .408248 | 45.0000 | 45.0000 | 109.471 | 2.00000 |
| 03[4,4,4] | .500000 | 35.2643 | 60.0000 | 90.0000 | 1.41421 |
| 04[3,3,3,3,3] | .755761 | 31.7174 | 36.0000 | 138.189 | 1.23606 |
| 09[5,5,5] | 1.11351 | 20.9051 | 60.0000 | 116.565 | 0.76393 |
| |
2016年8月1日
Excel 多面体 製作道具 諸量
前回 A４用紙を主要なツールとして 角度を求める方法をお伝えしました。
A４用紙の寸法比は 規格で定められており
一つのパッケージに含まれる A４用紙一枚が規格に合致していると判断できれば
その用紙を含むパッケージの全ての用紙が規格に合致しているとしました。
以下が A４と関連する用紙の諸量です。
A０用紙 841 × 1189 841 × 1189.3536060 +0.000297309
A１用紙 594 × 841 594 × 840.04285605 -0.001139399
A２用紙 420 × 594 420 × 593.96969620 -0.000051019
A３用紙 297 × 420 297 × 420.02142802 +0.000051017
A４用紙 210 × 297 210 × 296.96484810 -0.000051019
A５用紙 148 × 210 148 × 209.30360723 -0.003327190
A４用紙/2 148.5 × 210 148.5 × 210.01071401 +0.000051017
A０用紙に対する上記の数値計算の方法は以下です。他の用紙も同様。
841 × √2 = 1189.3536060
1 - 1189 / 1189.3536060 = 0.000297309
A４用紙は手軽で安価に入手でき 直角と１対ルート２ の寸法比を
精度の高い値で表示ができるということです。
それと A４用紙を 半分に分割した用紙のほうが
A５用紙より精度が高いようです。
また 角度を整数比の値に換算したデータがあれば これらの用紙を用いて
様々な角度が精度高く得ることができます。
ただその用紙を直接カットし 定規として使用するには
寸法が大きすぎることがあったり もろくて弱いという欠点があります。
そこで 私は 写真用紙の L版や スケッチ用画用紙 メモカードなどで
A４用紙から 転記して使っています。
角度を整数比に換算した値は
このブログの “諸量” のカテゴリーの中からも得られますが
以下に Excel の 計算画面用データを載せておきます。
以前も 同じようなプログラムを載せていますが
それを少し変えて作っています。
“最大値+1” と “桁数” と”角度” に入力可能です。
■角度を A4 用紙に表示するための整数比換算の Excel 画面■
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste
| 251 |
'=最大値+1 |
|
|
=SMALL(D2:D81,1) |
桁数 |
5 |
| =A1-1 |
=TAN(RADIANS($G$2))*A2 |
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A2,0) |
=ROUND(ABS(B2-C2),$G$1) |
=IF(D2=$E$1,B2," ") |
角度 |
35.2643896827546 |
| =A2-1 |
=TAN(RADIANS($G$2))*A3 |
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A3,0) |
=ROUND(ABS(B3-C3),$G$1) |
=IF(D3=$E$1,B3," ") |
|
|
| |
B 列 から E 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。
そして A 列 2 行目から E 列 3 行目までを範囲指定し
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。
2016年7月20日
02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具
このブログでは 正確な角度を得るための方法を
主に三角定規やグラフ用紙を用いて説明してきました。
簡易な方法として A４用紙を用いることもありました。(ダイヤモンド結晶等)
今回は A４用紙 を主要なツールとして
角度を求める方法をお伝えします。
A４用紙は 210 : 297 の寸法比に なっいて
１: √２ の寸法比 の近似値で規格されています。
１: √２ は 1 対 1.414213562
210 : 297 は 1 対 1.414285714 でかなりの近似です。
カメラに撮るのに容易なように 75 : 106 のカードを
用いて下画像を作っています。 1 対 1.413333333 です。
画像右の ４枚のカードで カードの四隅が 全て９０度であることの
チェックを行っています。
縦方向に置いた２枚のカードの右側カードと
その２枚 を挟む 上下２枚のカードを固定し
縦方向に置いた 左側のカードを 自由にして
上下 左右 表裏 に向きを変えて隙間がないか確認します。
A４用紙はどれも ピッタリと言えるほど 一致すると思います。
ただ 別のパッケージの用紙とか メーカーが違う場合は
微妙な結果になる場合があるかもしれません。
次は カードが 1 対 ルート２ の寸法比であるかのチェックです。
カードを 縦方向 に二分割したものと横方向に二分割したものを用意します。
それらを使って 左下のカードで 45度 45度 90度 の定規を作りました。
この斜めカット部分は A４用紙の 長方向部分の寸法と一致するはずです。
A４用紙の規格と合致していると確認できた用紙を
１/２の長方向の寸法と 短辺とで 定規を作ります。
A４用紙を 対角線方向に二分するのと同じ角度関係になります。
1 対 ルート２は ( √2 / 2 ) 対 １ と等しいからです。
35.264度 54.736度( 90 – 35.264 ) 90度 の定規です。
40cm の定規では 対角線カットは出来ますが 30cm では無理です。
多くの人は 40cm の定規は持っていないと思ったからです。
35.264度 はダイヤモンド結晶や サイコロ形の正六面体と
それと関連した多面体に 現れてくる数値です。
次の加工は 三つの辺が同一寸の 60度 60度 60度 の定規です。
これらの定規で 2 × 10 の板棒でつくる
[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでの 複合多面体ができます。
次回も これの続きを書こうと思っています。
2016年7月16日
02[3,3,3,3] Compounds 多面体
[ 3,3,3,3 ] 正八面体についてお伝えします。
面のかどと 面のかどが接する 一つの頂が 正三角形 4つでできています。
2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。
下画像で説明します。
左中ほどに 完成品が写っています。
正三角形４つでできた 正四角錐二つを 底で合わせた形です。
部材の切断角度は
この多面体の仰角は 45° なので 90 – 45 となり 仰角と同じ値の 45° になります。
下右の治具は 45° 斜めに ガイドをつけて
5枚束ねた板棒の切断と 整形を行っています。
多面体の高さを他の正多面体に合わせて 50mm ほどにしています。
面から中芯までの距離 ( 面芯寸 ) は 稜寸 = 1 のとき 0.4082 なので
50 ÷ ( 0.4082 × 2 ) = 61.24 という計算になります。
厳密な高さ寸法の決定は必要ないので 稜部品の長さを 61mm にしています。
今回使用する 接着剤は合成ゴム系ボンドてす。
必要個数１２個で 正三角形を四つ作り 組み合わせるとあっけなく完成です。
次回は [ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体について お伝えしようと思っています。
2016年3月1日
03[4,4,4] 多面体
まず [ 4,4,4 ] 正六面体についてお伝えします。
下画像の上 三つが 稜寸 50mm の [ 4,4,4 ] です。
左が 2 × 10 の板棒製で 10mm 巾の面を 中芯方向に向けています。
中のが 厚み 2mm のアクリル板でできていて
右は 10 × 10 のバルサ材で 作っています。
[ 4,4,4 ] とは
面のかどと 面のかどが接する 一つの頂が
正四角形, 正四角形, 正四角形 となっていることを表示しています。
今回製作の部材は
2 × 10 の板棒を ５枚束ね セロテープを螺旋状に巻きつけて作ります。
下側の画像は 目的の角度に切断し 切断面の整形をしようとしているところです。
台形の板が 5枚 セロテープに巻かれた状態で 50mm の寸法になっています。
加工部材の断面が正方形になるので 板材の面の方向を間違って加工すると
とんでもない形状の部材ができてしまいます。( 何度も経験しています)
部材が 10mm 巾でなく 8mm でも 重ねが 5枚でなく 4枚でもいいのですが。
単なる私の好みです。
切断角度は
[ 4,4,4 ] の 仰角は 35.26° ですから 54.74° ( 90 – 35.26 ) になります。
直角三角形の 直角を挟む一つの辺を 169 もう一つの辺を 239 にすると
90° と 54.74° と 35.26° の角度からなる 直角三角形に
極めて近い角度が得られます。
画像下の部材を その方法で角度の決定をし 作っています。
接着は 木工用ボンドで行っています。
合成ゴム系ボンドでは 作業は簡単ですが 接着面の可塑性がなかなか消えず
グラグラして 気に入りません。
今回の 私の方法は
八つの部材で 正四角形を二つ作り 完全に接着部が乾燥してから
二つの四角形を あとの四つの部材で結合する というものでした。
接合部分には 正三角柱の空洞ができますが
削り屑とボンドを詰めものにしたり
先端の 2mm 巾面に少し丸みを持たせる加工を 正確な測定なしで施しても
まずまずの出来になります。
もう少し丁寧な方法は 複合多面体の説明と合わせて
お伝えしようと思っています。
2016年2月26日
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