多面体

正多面体 Platonic solid 6

02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具

[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでできた
複合多面体製作への作業説明です。
少しずつ 思いつくままに 載せてゆきます。

画像右上 の右はしが 正六面体の上部の 四角形を作る稜部品に
稜の中心から この多面体の中芯とを通る直線を軸として
90°回転させた位置に部材を四枚分追加しています。

四角形の上部の一点で接しています。

その横のは 正八面体の上部の一つの面に 同じように三枚の部材を追加しています。

直角にクロスした部材の状態は 画像下方の 十二個の十字状の部材と
寸法 寸法比も同じものです。



このブログでお伝えしている多面体は
フラトン多面体と アルキメデス多面体 を主な対象にしています。

そして 複合多面体の 複合する二つの多面体の稜は
直角に交差するものに限定しています。

このことから 多面体と複合する もう一つの多面体は 双対多面体になります。

正多面体の双対四面体は 正多面体です。
正多面体以外の アルキメデス多面体のグループは 形状が正多面体とことなります。
面が一種類になり 辺の寸法が同一ではない 多角形になります。

正四面体の 双対多面体は 同じく 正四面体
正六面体の 双対多面体は        正八面体
正八面体の 双対多面体は        正六面体
正12面体の 双対多面体は        正20面体
正20面体の 双対多面体は        正12面体

2016年8月8日

正多面体 Platonic solid 5

03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具

[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでできた複合多面体製作への
前段階の 作業の説明が続いています。

今回は [ 4,4,4 ] 正六面体の
稜部品の接合部分の加工に必要な治具について説明します。

すでに伝えている 四角棒で構成された多面体つくりの治具とは
異なる形状の治具です。 下画像の説明をします。

Ａ4用紙下に 25 × 25 × 110 の角棒 があります。
垂直面を保持するための治具で 数本あると便利です。
6 × 30 × 70 の板材を Ａ4用紙の下の辺に平行にさせ
2 × 10 × 70 の板棒を 用紙の対角線と平行に置いて
その上のような治具をつくります。

この治具で 部材を 54.74°の角度カットや その角度に成形させます。
上の 斜めカットの板材もその角度で 6 × 30× 70 の板を分割したものです。

その横の 二つの台形状のものは ５枚束ねた2 × 10 の板棒を
[ 4,4,4 ] 正六面体の稜部品として加工したものです。




小寸にカットした 板材は多くの作業で必要となります。
その都度カットするのは 煩雑であったり 寸法決定も悩んでしまったりで
6 × 30 の板材を 70mm の寸法にカットしてあるものを複数個 常備しています。
2 × 10 × 70 の板棒も 同様です。

Ａ4用紙の右の正六面体製作用治具の説明をします。

6 × 30 の板材に 斜めカットの板材と角棒とで
台形状部品を 54.74°の角度で貼っています。
その板材に傾斜を付けなければいけません。角度は 30°です。

Ａ4用紙右上横の 治具で 2 × 10 × 70 の板棒を 30°で二分割しています。
それを 板材の裏の中心に貼っています。

続きの説明は 後日にします。

2016年8月4日

数値の整数比変換 と 双対多面体諸量

Excel 諸量

数値の整数比変換 と 双対多面体諸量 を求める Excel 画面を載せておきます。
どちらも すでにお伝えしている 計算式の 機能を追加したものです。
以後の 多面体製作の説明に 必要と思えたからです。

■角度や数値を整数比に換算する Excel 画面■
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。


 298
'=最大値+1


=SMALL(D2:D81,1)
桁数
4



 =A1-1
=A2*($G$2)
=ROUND( B2,0)
=ROUND(ABS(B2-C2),$G$1)
=IF(D2=$E$1,B2," ")
数値
=H5



 =A2-1
=A3*($G$2)
=ROUND( B3,0)
=ROUND(ABS(B3-C3),$G$1)
=IF(D3=$E$1,B3," ")





 =A3-1
=A4*($G$2)
=ROUND( B4,0)
=ROUND(ABS(B4-C4),$G$1)
=IF(D4=$E$1,B4," ")
寸法a
0.5
           a/b


 =A4-1
=A5*($G$2)
=ROUND( B5,0)
=ROUND(ABS(B5-C5),$G$1)
=IF(D5=$E$1,B5," ")
寸法b
=0.707106781186547
=G4/G5


 =A5-1
=A6*($G$2)
=ROUND( B6,0)
=ROUND(ABS(B6-C6),$G$1)
=IF(D6=$E$1,B6," ")


   対辺/底辺


 =A6-1
=A7*($G$2)
=ROUND( B7,0)
=ROUND(ABS(B7-C7),$G$1)
=IF(D7=$E$1,B7," ")
角度
54.7356103172453
=TAN(RADIANS(G7))


  


B 列 から E 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 2 行目から E 列 7 行目までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。
a/b もしくは 対辺/底辺 の値を 数値の欄に入れ
=最大値+1　や 桁数 の値を色々変えて確認してください。

■双対多面体の諸量を求める Excel 画面■
色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste してください。
貼り付けのオプションは 貼り付け先の書式に合わせる(M)です。
２４行目以降はデータです。各行のデータを２行目にcopy and paste してください。

  
名称
S角数
M角数
L角数
S面数
M面数
L面数
頂芯寸

双稜寸形


11
[3,5,3,5]
3
5
0
20
12
0
1.61803398874989

SM 60















角数
個数
多角形のかど心寸
面芯寸
多角形の辺心寸
面積
体積






=C2
=F2
=0.5/SIN(PI()/A5)
=SQRT($I$2^2-C5^2)
=0.5/TAN(PI()/A5)
=E5/2*A5*B5
=F5*D5/3
総面積
=SUM(F5:F7)




=D2
=G2
=IF(B6>0,0.5/SIN(PI()/A6),0)
=IF(B6>0,SQRT($I$2^2-C6^2),0)
=IF(B6>0,0.5/TAN(PI()/A6),0)
=IF(B6>0,E6/2*A6*B6,0)
=IF(B6>0,F6*D6/3,0)






=E2
=H2
=IF(B7>0,0.5/SIN(PI()/A7),0)
=IF(B7>0,SQRT($I$2^2-C7^2),0)
=IF(B7>0,0.5/TAN(PI()/A7),0)
=IF(B7>0,E7/2*A7*B7,0)
=IF(B7>0,F7*D7/3,0)
総体積
=SUM(G5:G7)

SS 寸法












=G15*2




かど角/2 (R)
かど心寸
辺心寸
稜芯寸
心・かど・芯角
双頂芯寸
双面芯寸

SM 寸法


=C2
=F2
=PI()/2-PI()/A10
=0.5/COS(C10)
=0.5*TAN(C10)
=SQRT(I2^2-0.5^2)
=ACOS(D10/I2)
=F10^2/D5
=H10*SIN(G10)

=G15+G16


=A6
=G2
=IF(B11>0,PI()/2-PI()/A11,0)
=IF(B11>0,0.5/COS(C11),0)
=IF(B11>0,0.5*TAN(C11),0)
=IF(B11>0,F10,"")
=IF(B11>0,ACOS(D11/I2),"")
=IF(B11>0,F11^2/D6,"")
=IF(B11>0,H11*SIN(G11),"")

SL 寸法


=A7
=H2
=IF(B12>0,PI()/2-PI()/A12,0)
=IF(B12>0,0.5/COS(C12),0)
=IF(B12>0,0.5*TAN(C12),0)
=IF(B12>0,F11,0)
=IF(B12>0,ACOS(D12/I2),0)
=IF(B12>0,F12^2/D7,0)
=IF(B12>0,H12*SIN(G12),0)

=G15+G17












MM 寸法




双菱形長寸
双菱形短寸/2
個別双面積
個別双体積
双稜寸
双稜開角/2
双対面積

=G16+G16


=A10
=F2
=H10*COS(G10)
=0.5*SIN(C10)
=C15*D15*A15*B15
=E15*I10/3
=SQRT(H10^2-F10^2)
=DEGREES(ASIN(D15/G15))
=SUM(E15:E17)

ML 寸法


=A6
=G2
=IF(B16>0,H11*COS(G11),0)
=IF(B16>0,0.5*SIN(C11),0)
=IF(B16>0,C16*D16*A16*B16,0)
=IF(B16>0,E16*I11/3,0)
=IF(B16>0,SQRT(H11^2-F11^2),0)
=IF(B16>0,DEGREES(ASIN(D16/G16)),0)
双対体積

=G16+G17


=A7
=H2
=IF(B17>0,H12*COS(G12),0)
=IF(B17>0,0.5*SIN(C12),0)
=IF(B17>0,C17*D17*A17*B17,0)
=IF(B17>0,E17*I12/3,0)
=IF(B17>0,SQRT(H12^2-F12^2),0)
=IF(B17>0,DEGREES(ASIN(D17/G17)),0)
=SUM(F15:F17)



















面角
双対仰角

双接合角/2

双稜寸 / 稜芯寸


=K2&"  必要"


=A10
=F2
=DEGREES(ACOS(E10/F10))
=90-C20

=90-DEGREES(C10)

=G15/F10





=A6
=G2
=IF(B21>0,DEGREES(ACOS(E11/F11)),0)
=IF(B21>0,90-C21,0)

=IF(B21>0,90-DEGREES(C11),0)

=IF(B16>0,G16/F11,0)





=A7
=H2
=IF(B22>0,DEGREES(ACOS(E12/F12)),0)
=IF(B22>0,90-C22,0)

=IF(B22>0,90-DEGREES(C12),0)

=IF(B17>0,G17/F12,0)



















名称
S角数
M角数
L角数
S面数
M面数
L面数
頂芯寸

双稜寸形


1
[3,3,3]
3
0
0
4
0
0
0.612372435695794

SS  6


2
[3,3,3,3]
3
0
0
8
0
0
0.707106781186547

SS 12


3
[4,4,4]
4
0
0
6
0
0
0.866025403784438

SS 12


4
[3,3,3,3,3]
3
0
0
20
0
0
0.951056516295153

SS 30


5
[3,4,3,4]
3
4
0
8
6
0
1

SM 24


6
[3,6,6]
3
6
0
4
4
0
1.17260393995585

SM 12 MM  6


7
[3,3,3,3,4]
3
4
0
32
6
0
1.3437133737446

SS 36 SM 24


8
[3,4,4,4]
3
4
0
8
18
0
1.3989663259659

SM 24 MM 24


9
[5,5,5]
5
0
0
12
0
0
1.40125853844407

SS 30


10
[4,6,6]
4
6
0
6
8
0
1.58113883008418

SM 24 MM 12


11
[3,5,3,5]
3
5
0
20
12
0
1.61803398874989

SM 60


12
[3,8,8]
3
8
0
8
6
0
1.77882364566392

SM 24 MM 12


13
[3,3,3,3,5]
3
5
0
80
12
0
2.15583737511563

SS 90 SM 60


14
[3,4,5,4]
3
4
5
20
30
12
2.23295050941569

SM 60 ML 60


15
[4,6,8]
4
6
8
12
8
6
2.31761091289276

SM 24 SL 24 ML 24


16
[5,6,6]
5
6
0
12
20
0
2.47801865906761

SM 60 MM 30


17
[3,10,10]
3
10
0
20
12
0
2.96944901586339

SM 60 MM 30


18
[4,6,10]
4
6
10
30
20
12
3.80239449985129

SM 60 SL 60 ML 60


  

2016年8月3日

キッチン木工

Compounds 多面体 製作道具 諸量

2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。

[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体についてお伝えしようとしてます。

多面体を 板棒で製作するとき
稜と稜とが一点で集まる頂の形状を決める
接合部分の加工方法をすでに伝えました。

接合部分には 正多角形の角柱の空洞ができるが
削り屑とボンドを詰めものにしたり
先端の 2mm 巾面に少し丸みを持たせる加工を
正確な測定なしで施してもまずまずの出来になる。
とか
5 × 5 の角材で作るときに使用した クレィドル cradle
と同じ機能の治具を 板棒用にして用いる。
という意味の内容を記しました。

今回からは
今までとは違ったタイプの cradle で多面体を作る
方法を 説明してゆこうと思っています。
板棒だけでなく 角材の棒の加工にも使える方法です。



上の画像の説明です。
キッチンテーブルの上にトレィと 14cm のガラスプレィトがあります。
最近では 多面体製作は ほとんどこの空間で行っています。
試作つくりの効率アップに 電子レンジを多用しているためでもあります。

25 × 25 の角棒　2 × 10 の板棒 　 6 × 30 の板材
で加工したものが写っています。　

左が 粗目( #80 ) の紙やすりを貼った角材です。
今までは ドレッサーという表現で 金属やすりを貼つたものを
用いてきましたが　同等もしくはそれ以上の機能があります。
安価で 種類が多く 手軽に入手でき 消耗品にしては 長持ちです。

番手の #80 は結構粗目ですが 私は現在これのみの使用です。
使い古すと番手が上がったようになり それも利用価値があります。

中ほどのが 新しいタイプの クレィドル cradle です。
右上の 正六面体を作る治具です。

この治具の加工に必要な角度は
片接合角 60°の 余角 30°( 90 – 60 )
仰角の余角 54.7356°( Ａ４用紙の対角線でできる角度 )

とりとめのない記述になりました。
あとは 後日にします。

以下のデータは Excel などの 
ワークシートやセルに取り込み易い形式で記述しています。

■ 正多面体諸量( 稜寸は1 として) ■

 
　
 
面積
 
体積
 
基本数
 
頂芯寸
 
稜芯寸
 
 
 01[3,3,3]
 
1.73205
 
.117851
 
.577350
 
.612372
 
.353553
 
 
 02[3,3,3,3]
 
3.46410
 
.471404
 
.707106
 
.707106
 
.500000
 
 
 03[4,4,4]
 
6.00000
 
1.00000
 
.816496
 
.866025
 
.707106
 
 
 04[3,3,3,3,3]
 
8.66025
 
2.18169
 
.850650
 
.951056
 
.809016
 
 
 09[5,5,5]
 
20.6457
 
7.66311
 
.934172
 
1.40125
 
1.30901
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
面芯寸
 
仰角
 
接合角/2
 
面角
 
1/稜芯寸
 
 
 01[3,3,3]
 
.204124
 
54.7356
 
60.0000
 
70.5287
 
2.82842
 
 
 02[3,3,3,3]
 
.408248
 
45.0000
 
45.0000
 
109.471
 
2.00000
 
 
 03[4,4,4]
 
.500000
 
35.2643
 
60.0000
 
90.0000
 
1.41421
 
 
 04[3,3,3,3,3]
 
.755761
 
31.7174
 
36.0000
 
138.189
 
1.23606
 
 
 09[5,5,5]
 
1.11351
 
20.9051
 
60.0000
 
116.565
 
0.76393
 
 
　　　 
 

2016年8月1日

A４用紙からの 角度の求め方 2

Excel 多面体 製作道具 諸量

前回 A４用紙を主要なツールとして 角度を求める方法をお伝えしました。

A４用紙の寸法比は 規格で定められており
一つのパッケージに含まれる A４用紙一枚が規格に合致していると判断できれば
その用紙を含むパッケージの全ての用紙が規格に合致しているとしました。

以下が A４と関連する用紙の諸量です。
A０用紙    　841 × 1189     841 ×  1189.3536060     +0.000297309
A１用紙    　594 ×  841     594 ×  840.04285605     -0.001139399
A２用紙　    420 ×  594     420 ×  593.96969620     -0.000051019
A３用紙    　297 ×  420     297 ×  420.02142802     +0.000051017
A４用紙    　210 ×  297     210 ×  296.96484810     -0.000051019
A５用紙    　148 ×  210     148 ×  209.30360723     -0.003327190
A４用紙/2　148.5 ×  210   148.5 ×  210.01071401     +0.000051017

A０用紙に対する上記の数値計算の方法は以下です。他の用紙も同様。

841 × √2              = 1189.3536060
1 - 1189 / 1189.3536060 =  0.000297309

■角度を A4 用紙に表示するための整数比換算の Excel 画面■

色付けした全範囲を指定し 1 行目 A 列に copy and paste


 251
'=最大値+1
 
 
=SMALL(D2:D81,1)
桁数
5


=A1-1
=TAN(RADIANS($G$2))*A2
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A2,0)
=ROUND(ABS(B2-C2),$G$1)
=IF(D2=$E$1,B2,"   ")
角度
35.2643896827546


=A2-1
=TAN(RADIANS($G$2))*A3
=ROUND( TAN(RADIANS($G$2))*A3,0)
=ROUND(ABS(B3-C3),$G$1)
=IF(D3=$E$1,B3,"   ")
 
 


 

B 列 から E 列 までの範囲を指定し セルの書式設定で
分類を 数値にし
小数点以下の桁数を 15 にしてください。

そして A 列 2 行目から E 列 3 行目までを範囲指定し 
セルの右下にポインタを合わせ「＋」を
81 行目までドラッグする [オートフィル]機能 を使います。

2016年7月20日

A4用紙からの角度の求め方

02[3,3,3,3] 03[4,4,4] Compounds 多面体 製作道具

このブログでは 正確な角度を得るための方法を
主に三角定規やグラフ用紙を用いて説明してきました。

簡易な方法として A４用紙を用いることもありました。(ダイヤモンド結晶等)

今回は A４用紙 を主要なツールとして
角度を求める方法をお伝えします。

A４用紙は 210 : 297 の寸法比に なっいて
１: √２ の寸法比 の近似値で規格されています。

１: √２ は 1 対 1.414213562
210 : 297 は 1 対 1.414285714 でかなりの近似です。

カメラに撮るのに容易なように 75 : 106 のカードを
用いて下画像を作っています。 1 対 1.413333333 です。



画像右の ４枚のカードで カードの四隅が 全て９０度であることの
チェックを行っています。

縦方向に置いた２枚のカードの右側カードと
その２枚 を挟む 上下２枚のカードを固定し
縦方向に置いた 左側のカードを 自由にして
上下 左右 表裏 に向きを変えて隙間がないか確認します。

A４用紙はどれも ピッタリと言えるほど 一致すると思います。
ただ 別のパッケージの用紙とか メーカーが違う場合は
微妙な結果になる場合があるかもしれません。

次は カードが 1 対 ルート２ の寸法比であるかのチェックです。

カードを 縦方向 に二分割したものと横方向に二分割したものを用意します。
　
それらを使って 左下のカードで 45度 45度 90度 の定規を作りました。
この斜めカット部分は A４用紙の 長方向部分の寸法と一致するはずです。

A４用紙の規格と合致していると確認できた用紙を
１/２の長方向の寸法と 短辺とで 定規を作ります。

A４用紙を 対角線方向に二分するのと同じ角度関係になります。
1 対 ルート２は　( √2 / 2 ) 対 １ と等しいからです。
35.264度 54.736度( 90 – 35.264 ) 90度 の定規です。

40cm の定規では 対角線カットは出来ますが 30cm では無理です。
多くの人は 40cm の定規は持っていないと思ったからです。

35.264度 はダイヤモンド結晶や サイコロ形の正六面体と
それと関連した多面体に 現れてくる数値です。

次の加工は 三つの辺が同一寸の 60度 60度 60度 の定規です。

これらの定規で 2 × 10 の板棒でつくる
[ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体とでの 複合多面体ができます。

次回も これの続きを書こうと思っています。

2016年7月16日

伝えること 　番外

Compounds 未分類

2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。

「 次回は [ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体について お伝えしようと思っています。」
と言って そのままです。

もうすでに この複合多面体より複雑な
正多面体でつくる複合多面の作り方は お伝えしていますので
より 簡略で平易な作業でできる 作り方を述べようと思っています。

でも
2 × 10 の板棒でつくる 多面体製作については私は ” 初心者 ” なのです。

思いつく方法を 色々試しながら
完成にたどり着いたやり方が 何通りか でてきます。
その中から シンプルで
よりエレガントな方法を 選んで伝えているというのが現状です。

2 × 10 の板棒は 加工がし易いので 試作品が沢山出来てしまっています。
もう少ししたら またフリーマーケットに出せそうなくらいです。

私自身も初心者ですが 伝える相手も初心者を想定して How-to を書いています。
エレガントな方法がなかなか見つからないということもですが
どこまで詳しく 伝えるべきかも悩むところです。

伝える ということの難しさを 実際に伝えているなかで強く実感します。

伝えるということは 広報 教育 報道 対話 などの方法があります。
このブログでは その中で 対話 (チャット) の形式をとっているつもりです。

私は 以下の言い回しを意識して 言葉を選んで伝えるようにしています。
『うわつらかじりの知ったか君 受け売り 切り売り 上から目線。』

リサランドールが
知ったか君をすでに克服している人について 興味深いことを言っています。
以下です。

話のトーンは、
読者を見下していると思える事が多く

科学者を極端なまでにまつりあげているか
退屈なものでしかありませんでした。

研究成果についての
著者の説明は 読者をけむに巻くばかりで

それを発見した研究者を
褒めたたえるだけに ほとんど終始しています。

その理論体系のことや

その理論体系に

科学者が どのように近づいていったのか
の説明はあまりありません。

私が本当に知りたかったのは そのことだったのですが。

－－－ The tone often seemed condescending
to readers, overly worshipful of scientists, or boring. I felt the authors
mystified results or glorified the men who found them, rather than
describing science itself and the process by which scientists made their
connections. That was the part I actually wanted to know.

WARPED PASSAGES LISA RANDALL Preface and Acknowledgments(vii)


今回は
約束が 実行されていない 言い訳を言ってしまったり
知ったか君だったりでした。

2016年6月24日

春のスミレ　番外

嵯峨近辺 未分類

今 多面体製作の 記事を載せようと思えるほどの内容が整っていません。
そこで 存在を 番外で示しておきます。

植物には 興味を持つことはほとんど無いのですが
スミレは別格で この花が咲いているのを発見すると
やっと 春が来たんだと実感させられ ウキウキした 気分になります。

スミレには種類が沢山あって 特定しようと 図鑑で調べると
益々わからなくなってしまいます。

下の画像は 一般のスミレより ちょっと小ぶりのタイプですが 私の好みです。
いくつもの葉が根から上へ伸び しっかり緑色をしていて
ハート形を長く伸ばしたような形状をしています。

散歩の途中で見つけました。
日当りのいい 石垣や敷石のスキマ、舗装道路と歩道との境界などに見られ
自然豊かと思える野原などには あまり見かけたことはありません。

清凉寺山門 石段


私の家の庭には スミレがほとんど生えていません。植える庭がないのではなく
ある昆虫に 根絶やしに近い状態にされたからです。

それは ツマグロヒョウモンという蝶の幼虫です。

スミレと近縁のビオラやパンジーも 好物だと言われていますが
私の庭ではそれらには 一瞥もくれず スミレのみへの攻撃です。

ツマグロヒョウモンは 温暖な気候条件で生育するためか
最近やっと 関東地方でも飛来が確認されるようになったそうです。

邪悪な面は伝わらず 好意的に認知されているようです。
私は親虫や 幼虫がスミレの葉にいるのを発見すると 激しい殺意を覚えます。

2016年4月14日

正多面体 Platonic solid 4

02[3,3,3,3] Compounds 多面体

[ 3,3,3,3 ] 正八面体についてお伝えします。
面のかどと 面のかどが接する 一つの頂が 正三角形 4つでできています。

2 × 10 の板棒でつくる 正多面体製作のシリーズです。
下画像で説明します。

左中ほどに 完成品が写っています。
正三角形４つでできた 正四角錐二つを 底で合わせた形です。

部材の切断角度は
この多面体の仰角は 45° なので 90 – 45 となり 仰角と同じ値の 45° になります。

下右の治具は 45° 斜めに ガイドをつけて
5枚束ねた板棒の切断と 整形を行っています。



多面体の高さを他の正多面体に合わせて 50mm ほどにしています。

面から中芯までの距離 ( 面芯寸 ) は 稜寸 = 1 のとき 0.4082 なので
50 ÷ ( 0.4082 × 2 ) = 61.24 という計算になります。
厳密な高さ寸法の決定は必要ないので 稜部品の長さを 61mm にしています。

今回使用する 接着剤は合成ゴム系ボンドてす。
必要個数１２個で 正三角形を四つ作り 組み合わせるとあっけなく完成です。

次回は [ 3,3,3,3 ] 正八面体 と [ 4,4,4 ] 正六面体で作る
複合多面体について お伝えしようと思っています。

2016年3月1日

正多面体 Platonic solid 3

03[4,4,4] 多面体

まず [ 4,4,4 ] 正六面体についてお伝えします。

下画像の上 三つが 稜寸 50mm の [ 4,4,4 ] です。
左が 2 × 10 の板棒製で 10mm 巾の面を 中芯方向に向けています。
中のが 厚み 2mm のアクリル板でできていて
右は 10 × 10 のバルサ材で 作っています。



[ 4,4,4 ] とは
面のかどと 面のかどが接する 一つの頂が
正四角形, 正四角形, 正四角形 となっていることを表示しています。

今回製作の部材は
2 × 10 の板棒を ５枚束ね セロテープを螺旋状に巻きつけて作ります。
下側の画像は 目的の角度に切断し 切断面の整形をしようとしているところです。

台形の板が 5枚 セロテープに巻かれた状態で 50mm の寸法になっています。

加工部材の断面が正方形になるので 板材の面の方向を間違って加工すると
とんでもない形状の部材ができてしまいます。( 何度も経験しています)
部材が 10mm 巾でなく 8mm でも 重ねが 5枚でなく 4枚でもいいのですが。
単なる私の好みです。

切断角度は
[ 4,4,4 ] の 仰角は 35.26° ですから 54.74° ( 90 – 35.26 ) になります。

直角三角形の 直角を挟む一つの辺を 169 もう一つの辺を 239 にすると
90° と 54.74° と 35.26° の角度からなる 直角三角形に
極めて近い角度が得られます。
画像下の部材を その方法で角度の決定をし 作っています。

接着は 木工用ボンドで行っています。
合成ゴム系ボンドでは 作業は簡単ですが 接着面の可塑性がなかなか消えず
グラグラして 気に入りません。

今回の 私の方法は
八つの部材で 正四角形を二つ作り 完全に接着部が乾燥してから
二つの四角形を あとの四つの部材で結合する というものでした。

接合部分には 正三角柱の空洞ができますが
削り屑とボンドを詰めものにしたり
先端の 2mm 巾面に少し丸みを持たせる加工を 正確な測定なしで施しても
まずまずの出来になります。

もう少し丁寧な方法は 複合多面体の説明と合わせて
お伝えしようと思っています。

2016年2月26日

正多面体 Platonic solid 2

01[3,3,3] 02[3,3,3,3] 03[4,4,4] 04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 諸量

2×10 の板棒で作った 正多面体です。
画像手前の多面体は これからお伝えしようとしている 立体です。
左から 01[ 3,3,3 ] , 02[ 3,3,3,3 ] , 03[ 4,4,4 ] です。
後方左は 09[5,5,5] そして 04[3,3,3,3,3]。



諸量を表示しておきます (稜寸は 1 として)。

     面積     体積     基本数   頂芯寸   稜芯寸   面芯寸   仰角   片接合角   二面角
01  1.73205  .117851  .577350  .612372  .353553  .204124  54.7356  60.0000  70.5288
02  3.46410  .471405  .707107  .707107  .500000  .408248  45.0000  45.0000  109.471
03  6.00000  1.00000  .816497  .866025  .707107  .500000  35.2644  60.0000  90.0000
04  8.66025  2.18169  .850651  .951057  .809017  .755761  31.7175  36.0000  138.190
09  20.6457  7.66312  .934172  1.40126  1.30902  1.11352  20.9052  60.0000  116.565


作り方については 現在 資料作成中です。

画像下側左右は複合多面体です。

2016年2月24日

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] 再掲2

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 製作道具

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] の 前回作品の改良版です。
画像下右が それで 接合部分に空洞がないのが お判りでしょうか。
寸法の補正はせず 30mm と 49mm の部材で作っています。

二種類の 台形状の部材の作り方は同じで 加工作業を一つ追加しました。
その作業に必要な 治具が 下の二つです。
稜線の集合している 多面体の頂の部分に 部材が届くように
接合部分を尖らせる加工を 施すものです。

このブログで お伝えしている
角材でつくる多面体の クレィドル cradle と言っている治具と同じ機能です。

下左は 稜部品が 5本 均等に一点に集まるように 360/5 となる 36 × 2 の 角度に整形します。
36° の角度に加工した6mm 厚のファルカタ材 二つで作っています。

加工部分を 垂直にするために 仰角の 31.72° と同じ傾斜角度になっています。
部材と同じ 2mm 厚の 板棒で 傾きと添え板をつくっています。

もう一つの治具は 同じように 360/3 となる 60 × 2 の 角度の 開き角と
20.91° の仰角になっています。

2016年2月7日

複合多面体 [5,5,5]+[3,3,3,3,3] 再掲

04[3,3,3,3,3] 09[5,5,5] Compounds 多面体 製作道具 諸量

今回は [5,5,5] と [3,3,3,3,3] を複合させた立体についてお伝えします。
この複合多面体 は バルサ材の棒での製作説明でも 既にお伝えしています。

下画像 右上が それです。
大きさは その左側の二つと比べると 少し大きめです。

[5,5,5] に対応する 稜の寸法は 約 30mm で
前回まで説明している [5,5,5] と同じ寸法ですが
稜芯寸 × 2 が高さになるため 少し大きくなっています。

本来 多角形の組み合わせでてきる多面体の 面と面の接する部分(稜線) は線ですが
ここでは 幅のある線を用いるため
線と線とが 交わる点(頂) は仮想空間上に存在します。
一点に集まる 稜線の幅を 一辺とする 多角錐の頂点ともみなせます。

そのため 幅のある線の端から 頂までの距離は 多面体の形状によって異なります。
複合多面体模型の 幅のある稜線を作る部材の寸法には 補正が必要ということです。

補正する前の 計算としては
[5,5,5] の稜寸 30mm に対し [3,3,3,3,3] のは 約 49mm です。

補正の計算では
[5,5,5] の 30mm を 稜線の厚み分の 丁度 2mm をたした 32mm と
[3,3,3,3,3] は 約 49mm のそのままとなりました。

しかし 実際に製作してみると 30mm と 48mm の 値でうまくいったようです。
下画像がそれです。

全体の寸法のわりに 稜の幅が大きく 接着剤の厚みや 部材の加工誤差 等々
理由は 補正値の計算間違えの可能性も含めて 色々と考えられます。



部材の加工について説明します。

[5,5,5] の部材は 30mm から 板棒の厚み 2mm を引いた 28mm の半分にし
片側が 約69.1 度 もう一方が直角の 台形に整形し60個つくります。

[3,3,3,3,3] は 48mm の 左右約 58.3 度の角度をもつ 台形にし 30個。

二種類の部材を 十字状の ユニットに木工用ボンドで 30 組作り
合成ゴム系ボンドで 組み立てれば 完成です。

上画像の 四角い板でできた治具を台にして 十字状に加工します。
既に作った 十字状ユニットを 板に貼ってあるだけです。

長い部材を 短い二つの材で挟むように 台の上で合わせます。
しばらくすると 長いほうの部材を持って 上にあげても
形を維持しながら もちあがります。

慣れてくれば スムーズな作業ができます。
十字状ユニットをまとめて 電子レンジで 乾燥させ
(安全に対しては それぞれの方の 責任にてお願いします)
あとは 合成ゴム系ボンドで 接着すれば 意外と早く完成します。


以前は 製作説明を 10 × 10 のバルサ材の棒で 主にしていたので
作品の数が増えて 収納に困難をきたしました。

そのため バルサ材の棒で作った作品は フリーマーケットに出店し処分しました。
[5,5,5]+[3,3,3,3,3] の多面体も 含めてです。

後で少し後悔です。プロトタイプの 一点ものでした。

2016年1月24日

[3,3,3,3,3] Platonic solid 再掲

04[3,3,3,3,3] ポーカーの確率 多面体 製作道具

[3,3,3,3,3] 正二十面体 Icosahedron の 板棒での製作についてお伝えします。
前回までの [5,5,5] の説明を 理解されているものとして 説明します。

[5,5,5] と同じ大きさにしようとしています。
[5,5,5] の稜寸 は 30mm でしたので
面芯寸 1.11 × 30 × 2 で 高さは 約 67mm てした。

[3,3,3,3,3] の 面芯寸は 稜寸 1 に対して 約 0.756 なので
[3,3,3,3,3] の稜寸 は 67 / 2 / 0.756 で 約 44mm となります。

治具の加工角度は 90 – 31.72 で 約 58.28 度です。
直角を挟む二辺の 比としては 233/144 もしくは 288/178 が近似値です。
下画像 中ほどが その治具と 完成品です。

部材と部材の接合部分は 正五角形の筒状の空洞ができるようにします。
あとは正三角形に正三角形を次々と付けてゆくだけです。

三十枚の部材全部の両端に 合成ゴム系接着剤を塗布し
最初に塗った部材から 順次接着してゆけば あっけなく完成です。



画像右に電卓が二つ写っています。
上が Casio FX-915 で 三十年ほど前に買ったものです。
ソーラーバッテリーを電源とし 今も正常ですが
薄型のため 入力操作に 円滑さは不足しています。
ポーガーの確率計算で 組み合わせの数 52 C の 5 で
2598960 の 値が 簡単に 出てきたのに感激したのを覚えています。

下は 現在活用している Canon F-502G です。
今 最もリーズナブルに 購入できる 関数電卓の一つです。

2016年1月18日

[5,5,5] Platonic solid 再掲 5

09[5,5,5] 多面体

[5,5,5] の 部材の接合方法の 一つの例として 組み方を説明します。

下画像の 左下からその上へ 中下から上 右下から と説明します。
合成ゴム系接着剤 を使用しています。



左下の Ｙ字状ユニット は 三つの部材で 組み立てています。

平面上に二つの部材を接合し
もう一つの部材の片側にも 接着剤をつけて 数分放置します。

二つの部材の接着面を折り曲げ もう一つの部材とで
正三角柱の空洞ができるような接合をします。

Ｙ状のユニットの上のＨ状ユニットも 同じ方法で作っています。
このＨ状ユニットを 基本ユニットとして六個 製作しています。

中下で Ｈ状ユニット二つを 結合しようとしています。
部材を三つつなげた部分と 部材を二つつないだ部分とを合わせます。

そのようなユニットを 二つ接合しようとしているのが 中上です。

右下で 残りの二つの 基本ユニットを接合し 右上になります。

2016年1月11日

[5,5,5] Platonic solid 再掲 4

09[5,5,5] 多面体 製作道具

シリーズで お伝えしている [5,5,5] Dodecahedron 正12面体 についてです。
2 × 10× 30 の板棒の５枚組みを 作っています。

基準となるべき形状に加工し
５枚貼り合わせた部材を マザーとしています。赤く塗ったものがそれです。

セロテープて５枚結合した板棒の 切断部位と方向を 確認しているところです。

左右 69.1 度ぼどの角度の面をもつ 10× 10× 30 の 部材を ６個作ろうとしています。

のこぎりで切断した面は その都度 材料棒の面と部材の面の 両方を
治具で 整形し 部材は 基準と比較し 寸法合わせまでしています。

作業手順は 色々と考えられますが
私はこの方法が 歩留まりや 作業性 の面でいいと思っています。



私は 部材を整形する道具を ドレサーと いっています。

ドレサー ( dresser ) は 工業用語としては
以下のような意味があるようです。

使用を続けている中で 劣化が進み 性能が低下した道具の表面を
整え その部位の機能を回復させるもの。

加工途中の製品の表面を
平滑にし整え より完成品に近づけるもの。

2016年1月9日

[5,5,5] Platonic solid 再掲 3

09[5,5,5] 多面体

[5,5,5] Dodecahedron 正12面体 についてお伝えします。
下画像は 治具つくりと 板棒の扱いについて説明するために載せました。

厚さ 2 mm 幅 10 mm の 板棒で作ってゆきます。右側に 写っています。
2 × 10 の板棒と それを 5 枚束ねて
螺旋状にセロテープを巻き付けた 10 × 10 の棒です。

稜寸を 30 mm ぐらいにしようと思っています。
稜寸を 1 としたときの 多面体の面から 中芯までの寸法は
面芯寸なので 約 1.114 になります。
稜寸を 30 mm とした場合 30 × 1.114 × 2 で 66.84
約 67 mm の大きさになります。

長寸が 30 mm で 2 × 10 の板棒を
左右 69.095° にカットした 台形状の 部材を 30 個つくります。



Ａ４の罫線紙とコピー用紙が写っています。
[5,5,5] の仰角 20.905 度 を表す線が 3 本 記されています。
それは 直角三角形の斜辺ですから 90 から 20.905 を引いた
69.095 度も表示しています。この角度が今回必要な角度です。

Ａ４のコピー用紙には
対辺 089 底辺 233 と 対辺 110 底辺 288 で 直角三角形が描かれ
どちらも 斜辺の角度が 20.905 度の近似値になっています。

Ａ４のコピー用紙は 身近にあり いつでも
分度器よりも精度の高い角度を示すツールにはなりますが
角度を表す起点の位置に制約があります。

罫線紙の場合は 起点の位置にも自由度が高く
1 mm 刻みで 垂直線 水平線が得られ 利便性が高いです。

左の治具が 私のような左利きように作ろうとしているものです。
右の治具が それと鏡面対象になっています。
6 × 60 × 100 のファルカタ材と 10 × 10 のヒノキ材です。

続きは 後日にします。

2016年1月7日

正多面体 Platonic solid

sphericity 多面体 諸量

[5,5,5] を含む 五つの正多面体 を [5,5,5] に続いて 説明したいと思っています。
しかし 正月気分で まだ 説明内容がまとまっていません。
だからと言って
ブログの先頭を 年始の挨拶に いつまでもしておくわけにはいきません。
そこで 正多面体の 主な諸量を あらためて載せておきます。

各数値は稜寸=1として算出しています。
稜寸とは 多面体を構成する正多角形の辺の長さです。

仰角の後に記した整数比は 
直角を挟む 対辺 / 底辺 として その斜辺の角度が求まります。
その角度が 仰角の 近似値となります。

面芯寸の後に記した整数比は 稜寸を 1 としたときの
面芯寸 / 稜寸 つまり 
面芯寸 / 1 を 近似値の整数比に変換したものです。

01 [3,3,3]     仰  角 54.735610317245345685 ( 239/169 )
02 [3,3,3,3]   仰  角 45.000000000000000000 ( 180/180 )
03 [4,4,4]     仰  角 35.264389682754654315 ( 169/239 )
04 [3,3,3,3,3] 仰  角 31.717474411461005324 ( 144/233 )
09 [5,5,5]     仰  角 20.905157447889299033 ( 089/233 )

01 [3,3,3]     面芯寸 .20412414523193150818 ( 050/245 )
02 [3,3,3,3]   面芯寸 .40824829046386301637 ( 089/218 )
03 [4,4,4]     面芯寸 .50000000000000000000 ( 125/250 )
04 [3,3,3,3,3] 面芯寸 .75576131407617073048 ( 164/217 )
09 [5,5,5]     面芯寸 1.1135163644116067352 ( 157/141 )

以下は 球形度 sphericity についてです。

V/(S*R) は その多面体が どれほど球形に近いかを表す指標のひとつです。

外接球半径 とは 頂芯寸と同じ意味で
多面体の表面の正多角形の かど と かど とが接する点と 多面体の中芯との距離です。

以下も 稜寸=1 として算出しています。

　　　　 　　　 外接球半径 = R   表面積 = S        体積 = V         V/(S*R)
01[3,3,3]     .612372435695795 1.73205080756888 .117851130197758 .111111111111111 
02[3,3,3,3]   .707106781186548 3.46410161513775 .471404520791032 .192450089729875 
03[4,4,4]     .866025403784439 6.00000000000000 1.00000000000000 .192450089729875 
04[3,3,3,3,3] .951056516295154 8.66025403784439 2.18169499062491 .264884824097255 
09[5,5,5]     1.40125853844407 20.6457288070676 7.66311896062463 .264884824097255 

球体          1.00000000000000 12.5663706143592 4.18879020478639 .333333333333333

2016年1月3日

2016年 正月

嵯峨近辺 未分類

明けましておめでとうございます。

除夜の鐘を撞いてきました。95番目でした。
撞木を引いたあとの撞くタイミングがよかったのか
かなり大きな響きがありました。今年もいいことがありますように。
下画像左から 光の点々が続いているのが 京都市内の夜景です。

そのあと お目当ての ぜんざいのふるまいにも あずかってきました。

2016 元旦 00:30 am 常寂光寺


早朝 初詣に行ってきました。
昼間なら すごく多くの人 ( 特に最近は ) が来られているのですが
静寂を保っています。
下画像 中下 お神酒の酒樽が置いてあります。
小さな紙コップが 添えてあり
ご利益にあずかろうと なみなみと注いで いただきました。

2016 元旦 06:30 am 野宮神社


今年は
誰でも手軽に作れる多面体 をめざしてゆきます。

2016年1月1日

[5,5,5] Platonic solid 再掲 2

09[5,5,5] 多面体

[5,5,5] Platonic solid の 製作説明をします。

以下の画像の 右上がその完成品で
左右 69.095°  にカットした 台形状の
2×10×30 のヒノキ材 30個で てきています。

2mm 幅の稜線でできた 多面体ということになります。



製作の流れを 説明します。

69.095° に 板棒をカットできる治具をつくります。
その角度は 上画像の Ａ４(210 × 297) の用紙に
縦 110 横 288 で 表現されています。
実際の加工では 69° がせいぜいでしょうが。

でも 69.096° の値になっていて
小数点以下二けたまでは正確な近似値です。
作業のなかで 誤差が発生するとしても
できるだけ正確な数値を用いようとしています。

2×10×900 の板棒を 5枚合わせ セロテープを螺旋状に巻き付け
10×10 の棒を作り 左右を 69.095° にカットし
5 枚セロテープでくるんだ塊を6個つくります。

接着剤は 合成ゴム系ボンドを もちいます。
木工用ボンドで 色々工夫をしながら 作ってみたのですが
角度や状態を確保するための 補助治具が 必要となったり
手間のかかる割りに 完成度が もういち だったりでした。

画像左上の Ｙ字状のユニットが基本形状です。
部材を三方向から 一点に合わせた形で
正三角形の空洞が 中心にできます。これが大事です。
この形状のキープが 最も大切な秘訣です。

このＹ字状のユニットに 二つの部材を接合して
上画像の Ｈ状のユニットを 六個つくります。

このユニットの四隅を直線で囲んだら
ちょうど 正四角形になります。

完成品をイメージするとすれば

Ｈ状のユニットの四隅と同寸の正四角形でできた
正六面体 (サイコロ状立体) に
Ｈ状のユニットを交互に向きを変えて
六つの面に貼った状態だといえます。

後日 もっと詳しい説明をしようと思っています。

2015年12月28日